Фирма тратит 6 денежных единиц на каждую произведённую единицу продукции, постоянные издержки равны 0. Найдите оптимальный объём производства для фирмы, цену, по которой она будет реализовывать свою продукцию, а также укажите, сколько групп потребителей будут покупать продукцию фирмы.
Можно решать задачу, используя обратную функцию спроса.
Тогда функция прибыли от цены имеет вид:
$$\pi (p)=\begin{cases}
(48-4p)(p-6),p \in [0,8] \\
(32-2p)(p-6),p \in [8,16]
\end{cases}$$ (5 баллов).
Каждый участок функции прибыли ‒ парабола с ветвями вниз, вершина первой параболы в точке p = 8, вершина второй параболы в точке p = 11 (обе координаты принадлежат соответствующим участкам). Поскольку прибыль
в точке (8, 32) лежит и на второй части тоже, можно заключить, что p = 11 максимизирует прибыль. Поскольку это участок с высокими ценами, продукцию будут покупать только потребители из второй группы (5 баллов).
(2 балла за верные вычисления).
То есть функция предложения проходит через центр координат. Вычислим размер дефицита, когда цена на молоко равна нулю: $10-b\cdot 0 - 0=10$.
Поскольку угол наклона функции спроса противоположен углу наклона функции предложения, то равновесная величина спроса и предложения будет равна 10/2 = 5 тыс. литров молока (можно показать на графике равнобедренный треугольник) (3 балла).
1) Какое наибольшее суммарное количество задач могут составить А и Б?
2) Перед А и Б поставлена цель: составить 11 задач для 11-го класса и 11 задач для 9-го класса. Смогут ли они справиться с этой нелёгкой работой?
3) Так получилось, что А устал и не стал составлять задачи для олимпиады.
Б должен в одиночку составить все задания. Известно, что на рынке олимпиадных задач есть агент С. Он готов обменять у Б одну олимпиадную задачу для 9-го класса на одну задачу для 11-го класса. Укажите на графике все возможные комбинации задач для 9-го и 11-го классов, которые составитель
Б может получить.
Аналогичным образом рассуждая, получим, что Б следует составлять только задачи для 11-го класса. Тогда получим, что наибольшее число возможных задач равно 10 + 15 = 25. (3 балла).
2) Да, они справятся с поставленной целью. Составителю А следует сделать 10 задач для 9-го класса, а составитель Б должен сделать одну задачу для 9-го класса и 11 задач для 11-го. Покажем, что каждый из них справится с этой работой. Для составителя А в условии указано, что он может справиться
с составлением 10 задач для девятиклассников.
Для составителя Б КПВ задаётся уравнением y = 15 – 3x. Где х – задачи для
9-го класса, у – для 11-го. Подставим x = 1. Получим у = 12. То есть составитель
Б может сделать одну задачу для 9-го класса и 12 задач для 11-го. Другими словами, и 11 задач для 11-го он запросто сделает (3 балла).
3) Б может обменивать одну задачу для 11-го класса на одну задачу для 9-го класса. То есть ему выгодно произвести 15 задач для 11-го класса и обменивать их все.
График при этом выглядит следующим образом (серая область – достижимые количества соответствующих задач, а чёрной линией отмечено первоначальное ограничение составителя Б):