Пусть функция спроса задана уравнением Q=a(1-P/b), или P=b(1-Q/a).
Из свойств линейной функции спроса следует (это можно доказать, но можно и сослаться на знание этих свойств), что:
а) максимум выручки можно получить при цене равной b/2 и объеме продаж равном a/2;
б) максимум выручки соответствует точке, в которой функция спроса обладает единичной эластичностью.
Из условия, что «при объеме производства и продаж менее 80 ед. товара (спрос) характеризуется как эластичный, а при объеме производства и продаж более 80 ед. товара – как неэластичный» следует, что спрос обладает единичной эластичностью при объеме производства и продаж равном 80 ед. товара, а значит a=160.
Из условия, что «максимум выручки монополист может получить, если будет продавать продукцию по цене 50 ден. ед. за единицу товара» получаем, что b=100.
Отсюда получаем, что функция спроса на продукцию монополиста имеет вид Q=160-1,6P, или P=100-0,525Q. Следовательно, функция предельного дохода монополиста имеет вид MR=100-1,25Q.
Так как «средние переменные издержки монополиста не зависят от объема производства и равны 30 ден.ед.», то общие переменные издержки будут равны TVC=30Q, а значит, предельные издержки будут равны MC=30, т.е. как и средние переменные издержки они не зависят от объема производства и равны 30 ден. ед.
Приравниваем MR и MC. Получаем, что оптимальный объем производства равен 56 ед. товара.
Находим величину средних постоянных издержек при оптимальном объеме производства AFC=0,6*30=18. (Напоминаем, что в нашем случае предельные издержки не зависят от объема производства). Отсюда следует, что общие постоянные издержки будут равны TFC=18*56=1008 ден. ед.
Цена, которую установит монополист, для получения максимальной прибыли, равна P=100-0,625*56=65. Значит, выручка монополиста будет равна TR=PQ=56*65=3640 ден. ед.
Издержки монополиста будут равны TC=TFC+TVC=1008+56*30=2688 ден.ед. Таким образом, максимальная прибыль монополиста будет равна 3640-2688=952 ден. ед.
На рисунке представлен график, иллюстрирующий решение задачи.

Все наборы, состоящие из баночек с медом и баночек с вареньем, которые представляют для Карлсона интерес, лежат на прямой, имеющей вид Y=1,5X, где Х - это количество баночек с медом, а Y - количество баночек с вареньем. Эта прямая соответствует условию, что ежедневно Карлсону нужно 2 баночки меда и 3 баночки варенья.
А) Множество доступных Карлсону наборов (треугольник AOB) определяется бюджетным ограничением, которое описывается функцией Y=40-X, при $ 0 \le X \le 40$. Если Карлсон все деньги потратит на варенье, то сможет купить 40 баночек, а если на мед, то тоже только 40 баночек. Оптимальное решение в данном случае будет – купить 18 баночек меда и 24 баночки варенья. Это решение мы нашли, приравняв соответствующие функции 40-X=1,5X.
А это значит, что путешествовать с данным запасом меда и варенья Карлсон сможет 8 дней.

Б) Предложение продавца варенья расширит множество доступных Карлсону наборов. Если он будет покупать меньше 10 баночек варенья, то бюджетное ограничение у него будет описываться прежней функцией Y=40-X, а дальше начинает действовать дисконтная карта продавца варенья – теперь одна баночка варенья будет стоить для Карлсона только 10 крон. Снижая объем покупки меда на 1 баночку, он теперь имеет возможность дополнительно купить 2 баночки варенья. И если Карлсон все деньги потратит на варенье, то сможет купить $10+\frac{800-10 \cdot 20}{10}=70$ баночек.
В общем виде бюджетное ограничение в данном случае можно записать следующим образом:
$$Y = \begin{cases}
70-2X, & при \ 0 \le X \le 30 \\
40-X, & при \ 30 \le X \le 40
\end{cases} $$
Множество доступных Карлсону наборов – это четырехугольник $A_1OBC$. Линия, соответствующая рациональному выбору Карлсона пересекает новую бюджетную линию при объемах покупки варенья больше 10, а значит, мы может получить оптимальный набор, приравняв соответствующие функции 70-2X=1,5X.
Оптимальное решение в данном случае будет – купить 20 баночек меда и 30 баночки варенья.
С таким запасом Карлсон может путешествовать уже 10 дней.

Б) Предложение продавца меда еще больше расширит множество доступных Карлсону наборов. Если он будет покупать меньше 25 баночек меда, его бюджетное ограничение будет описываться прежней функцией Y=70-2X. А при покупке 25 баночек меда (т.е. целой коробки), у него появляются дополнительные возможности, связанные с возможностью экономии. Экономия составит (70-0,26*20)=130 крон. На эти деньги дополнительно можно приобрести 13 баночек варенья, т.е. теперь при покупке 25 баночек меда Карлсон имеет возможность купить уже не 20, а 33 баночки варенья. Если же Карлсон захочет большее количество меда, то в дальнейшем ради дополнительной баночки меда ему придется снижать количество закупаемого варенья на 2 баночки. Такое положение дел будет продолжаться до тех пор, пока количество закупаемых баночек варенья не сократится до 10. При покупке менее 10 баночек варенья Карлсон остается без дисконтной карты и вынужден за каждую баночку варенья, как и за баночку меда, платить 20 крон. Однако из-за того, что он сэкономил 130 крон на покупке коробки с медом, он дополнительно может купить 130/20=6,5 баночек меда. (Нецелое количество баночек – это, конечно, не очень хорошо, но что делать – таковы оказались условия сделки). Итак, при условии расходования всех денег на мед, Карлсон потенциально может приобрести 46,5 баночек меда.
В общем виде бюджетное ограничение в данном случае можно записать следующим образом:
$$Y = \begin{cases}
70-2X, & при \ 0 \le X \le 25 \\
83-2X, & при 25 \ \le X \le 36,5\\
46,5-X, & при 36,5 \ \le X \le 46,5\\
\end{cases} $$
И такое бюджетное ограничение расширяет возможности использования наборов для Карлсона. Наиболее наглядно это можно увидеть на рисунке. Теперь множество доступных Карлсону наборов – это многоугольник $A_1OB_1C_1DF$. Следует обратить особое внимание на то, что множество доступных наборов расширилось не только за счет наборов, которые можно купить, но и за счет наборов, которые купить нельзя, но которые оказались доступны в силу того, что при покупке набора, соответствующего точке на плоскости с координатами (X,Y), потребителю оказываются доступны наборы с координатами (x,y), где $x \le X$ и $y \le Y$. А это значит, что множество доступных наборов для Карлсона расширилось и на треугольник FDG. Теперь приобретая набор, соответствующей точке D (25 баночек меда и 33 баночки варенья), Карлсону становится доступен набор (22 баночки меда и 33 баночки варенья).
Итак, у Карлсона появилась возможность использовать набор - 22 баночки меда и 33 баночки варенья, и с таким запасом он может путешествовать на один день больше, т.е. путешествие может длиться 11 дней. При этом у него остаются 3 баночки меда, которые хотя и пригодятся Карлсону по возвращению из путешествия, но в рамках поставленной задачи не имеют для него никакой ценности. Вот если бы можно было обменять у Фрекен Бок одну баночку меда на 3 дополнительные баночки варенья… Тогда можно было бы путешествовать еще на один день больше.

Ответ на вопрос, сколько дней будет путешествовать Карлсон, также можно получить, если выполнить совсем несложные расчеты по сути не требующих никаких специальных знаний.
А) Без скидки расходы Карлсона на покупку «дневного» набора составляют:
$Q_{меда}P_{меда}+Q_{варенья}P_{варенья}$=2*20+3*20=100 крон. Значит, он сможет путешествовать 800/100=8 дней, купив (2·8)=16 баночек меда и (3·8)=24 баночки варенья.
Б) Получив предложение скидки от продавца варенья, Карлсон мог рассуждать примерно так: «И без скидки я могу путешествовать 8 дней, значит со скидкой наверное смогу купить продуктов больше и тогда удастся продлить путешествие. На 8 дней мне теперь потребуется всего (10*20)+(24-10)(20*0,05)+16*10=200+140+320=660 крон.
Экономия составила 800-660=140 крон.
Поскольку «дневной» набор теперь стоит (2*20+3*(20*0,5))=70 крон, то это значит, что сэкономленных денег хватит еще на 140/70=2 дня путешествия. Итак, теперь можно путешествовать 10 дней, купив (2·10)=20 баночек меда и (3·10)=30 баночки варенья».
В) Что дает оптовая скидка продавца меда? Покупать больше 20, но меньше 25 баночек меда Карлсону совсем не выгодно, так как придется сокращать объем покупки варенья, а значит и путешествовать 10 дней уже не получится. А вот если купить коробку меда (25 баночек), то с учетом оптовой скидки (26%) расходы на покупку меда составят (25·20·0,74)=370 крон. Посчитаем, сколько теперь можно купить варенья. Купив коробку меда и 10 баночек варенья (без скидки) Карлсон израсходует: 370+10*20=570 крон. На оставшиеся деньги (800-570)=230 крон Карлсон может купить 230/10=23 баночки варенья. Всего получается (10+23)=33 баночки варенья. Оценим, сколько дней с таким набором (25 баночек меда и 33 баночки варенья) сможет путешествовать Карлсон. Варенья ему хватает на 33/3=11 дней, а меда на 25/2=12,5 дней. Найдем минимум из этих двух чисел min{11 B 12,5}=11 дней Итак, Карлсон может продлить путешествие еще на один день. На 11 дней ему требуется 33 баночки варенья и 22 баночки меда. Еще осталось 3 баночки меда, их хватило бы еще на один день, но на покупку дополнительного варенья уже нет денег.

Обозначим за $S_k$ сумму, которая будет на счете через год, если арендатор заплатит за $k$ месяцев вперед. (Заметим, что случай $k=0$ соответствует отказу от предложения.)
$${S_k} = (X - 25000k) \cdot {1{,}01^{12}} - 26000 \cdot {1{,}01^{12 - k}} - ... - 26000 \cdot 1{,}01.$$
Рассмотрим выражение ${S_{k + 1}} - {S_k}$. Если это выражение больше 0 для некого $k$, то это $k$ не оптимально для арендатора: выгоднее выбрать значение на единицу больше.

$${S_{k + 1}} - {S_k} = \ldots = 26000 \cdot {1{,}01^{12 - k}} - 25000 \cdot {1{,}01^{12}} = {1{,}01^{12 - k}} \cdot 1000 \cdot (26 - 25 \cdot {1{,}01^k})$$
(Заметим, что для нахождения этой разницы нам не пришлось считать сумму прогрессии, при вычитании множество одинаковых слагаемых сократились).

Эта разность положительна при маленьких $k$, так что соглашаться на предложение лучше, чем не соглашаться. К тому же, она убывает по $k$, следовательно, если $k^*$ — наибольшее $k$, при котором она положительна, то оптимальным будет $k^*+1$.
Заметим, что ${S_4} - {S_3} > 0$, так как $25000 \cdot {1{,}01^3} = 25000 \cdot 1{,}030301 < 25000 \cdot 1{,}031 = 25775 < 26000$. С другой стороны, $1{,}01^4>1{,}04$, а значит, $25000 \cdot {1{,}01^4} > 25000 \cdot 1{,}04 = 26000$, и поэтому ${S_5} - {S_4} < 0$. Значит, оптимальным является $k=4$.

Первый индекс $I_1=\frac{P_1Q_0}{P_0Q_0}$ (известный как индекс Ласпейреса), скорее всего, будет больше, чем второй $I_2=\frac{P_1Q_1}{P_0Q_1}$ (известный как индекс Пааше). Потребитель переключается с дорожающих товаров на заменители (которые, возможно, дорожают меньше или даже дешевеют). Первый индекс учитывает удорожание потреблявшихся ранее товаров, второй индекс, напротив, не принимает эти товары в рассмотрение.
Можно рассмотреть следующий пример. Если на прошлой неделе в супермаркете была распродажа апельсинов, то потребитель был склонен их купить. На текущей неделе распродажа апельсинов закончилась, но зато началась распродажа яблок — в результате потребитель покупает яблоки, а апельсины — нет. Первый индекс учтет только подорожание апельсинов (по сравнению с распродажей), а второй — только удешевление яблок.

Метод 1.
Известно, что $Е_D^P(А) = dQ/dP*P/Q = - OP_1/P_1P_2$. Это формула отношения длин отрезков (см. рисунок).
Следовательно, $│Е_D^P(А)│ = OP_1/P_1P_2 = OP_1/(ОP_2 - ОP_1) = 1 / (OP_2/ OP_1 - 1).$
$OP_2 = P_2$; $OP_1=P1 →│Е_D^P(А)│= 1 / (P_2/ P_1 - 1).$
Очевидно, чем больше отношение $P_2/P_1$, тем больше знаменатель и тем меньше дробь, т.е. тем меньше эластичность спроса по цене в точке А, что и требовалось доказать.

Метод 2.

Вспомним, что если при снижении цены выручка растет, то спрос эластичный, если снижается – не эластичный. На графике изменение выручки в результате снижения цены – это разница площадей прямоугольников $OP_2E_2Q_2$ и $OP_1E_1Q_1$, или, что то же самое, площадей прямоугольников $Q_1Q_2E_2D$ и $P_2P_1E_1D$. Площадь $Q_1Q_2E_2D$ равна $P_2(Q_2-Q_1)$, то есть увеличение выручки за счет роста объемов продаж, или величина А. Площадь $P_2P_1E_1D$ равна $Q_1(P_1-P_2)$ или уменьшение выручки в результате снижения цены, то есть величина В. Таким образом $\Delta TR=P_2(Q_2-Q_1)+Q_1(P_1-P_2)=P_2(Q_2-Q_1)-Q_1(P_1-P_2)=A-B$. Если по абсолютному значению первое слагаемое превышает второе, то выручка растет, и значит, спрос эластичен. Итак, если A>B, или иначе A/B > 1, то спрос эластичен, и чем больше это отношение, тем выше степень его эластичности. Чем оно меньше, тем менее эластичен спрос, а когда A/B < 1, спрос становится неэластичным, и чем меньше это соотношение, тем выше степень его неэластичности.

Пусть функция спроса задана уравнением Q=a(1-P/b), или P=b(1-Q/a).
Из свойств линейной функции спроса следует (это можно доказать, но можно и сослаться на знание этих свойств), что:
а) максимум выручки можно получить при цене равной b/2 и объеме продаж равном a/2;
б) максимум выручки соответствует точке, в которой функция спроса обладает единичной эластичностью.
Из условия, что «при объеме производства и продаж менее 80 ед. товара (спрос) характеризуется как эластичный, а при объеме производства и продаж более 80 ед. товара – как неэластичный» следует, что спрос обладает единичной эластичностью при объеме производства и продаж равном 80 ед. товара, а значит a=160.
Из условия, что «максимум выручки монополист может получить, если будет продавать продукцию по цене 50 ден. ед. за единицу товара» получаем, что b=100.
Отсюда получаем, что функция спроса на продукцию монополиста имеет вид Q=160-1,6P, или P=100-0,525Q. Следовательно, функция предельного дохода монополиста имеет вид MR=100-1,25Q.
Так как «средние переменные издержки монополиста не зависят от объема производства и равны 30 ден.ед.», то общие переменные издержки будут равны TVC=30Q, а значит, предельные издержки будут равны MC=30, т.е. как и средние переменные издержки они не зависят от объема производства и равны 30 ден. ед.
Приравниваем MR и MC. Получаем, что оптимальный объем производства равен 56 ед. товара.
Находим величину средних постоянных издержек при оптимальном объеме производства AFC=0,6*30=18. (Напоминаем, что в нашем случае предельные издержки не зависят от объема производства). Отсюда следует, что общие постоянные издержки будут равны TFC=18*56=1008 ден. ед.
Цена, которую установит монополист, для получения максимальной прибыли, равна P=100-0,625*56=65. Значит, выручка монополиста будет равна TR=PQ=56*65=3640 ден. ед.
Издержки монополиста будут равны TC=TFC+TVC=1008+56*30=2688 ден.ед. Таким образом, максимальная прибыль монополиста будет равна 3640-2688=952 ден. ед.
На рисунке представлен график, иллюстрирующий решение задачи.

Все наборы, состоящие из баночек с медом и баночек с вареньем, которые представляют для Карлсона интерес, лежат на прямой, имеющей вид Y=1,5X, где Х - это количество баночек с медом, а Y - количество баночек с вареньем. Эта прямая соответствует условию, что ежедневно Карлсону нужно 2 баночки меда и 3 баночки варенья.
А) Множество доступных Карлсону наборов (треугольник AOB) определяется бюджетным ограничением, которое описывается функцией Y=40-X, при $ 0 \le X \le 40$. Если Карлсон все деньги потратит на варенье, то сможет купить 40 баночек, а если на мед, то тоже только 40 баночек. Оптимальное решение в данном случае будет – купить 18 баночек меда и 24 баночки варенья. Это решение мы нашли, приравняв соответствующие функции 40-X=1,5X.
А это значит, что путешествовать с данным запасом меда и варенья Карлсон сможет 8 дней.

Б) Предложение продавца варенья расширит множество доступных Карлсону наборов. Если он будет покупать меньше 10 баночек варенья, то бюджетное ограничение у него будет описываться прежней функцией Y=40-X, а дальше начинает действовать дисконтная карта продавца варенья – теперь одна баночка варенья будет стоить для Карлсона только 10 крон. Снижая объем покупки меда на 1 баночку, он теперь имеет возможность дополнительно купить 2 баночки варенья. И если Карлсон все деньги потратит на варенье, то сможет купить $10+\frac{800-10 \cdot 20}{10}=70$ баночек.
В общем виде бюджетное ограничение в данном случае можно записать следующим образом:
$$Y = \begin{cases}
70-2X, & при \ 0 \le X \le 30 \\
40-X, & при \ 30 \le X \le 40
\end{cases} $$
Множество доступных Карлсону наборов – это четырехугольник $A_1OBC$. Линия, соответствующая рациональному выбору Карлсона пересекает новую бюджетную линию при объемах покупки варенья больше 10, а значит, мы может получить оптимальный набор, приравняв соответствующие функции 70-2X=1,5X.
Оптимальное решение в данном случае будет – купить 20 баночек меда и 30 баночки варенья.
С таким запасом Карлсон может путешествовать уже 10 дней.

Б) Предложение продавца меда еще больше расширит множество доступных Карлсону наборов. Если он будет покупать меньше 25 баночек меда, его бюджетное ограничение будет описываться прежней функцией Y=70-2X. А при покупке 25 баночек меда (т.е. целой коробки), у него появляются дополнительные возможности, связанные с возможностью экономии. Экономия составит (70-0,26*20)=130 крон. На эти деньги дополнительно можно приобрести 13 баночек варенья, т.е. теперь при покупке 25 баночек меда Карлсон имеет возможность купить уже не 20, а 33 баночки варенья. Если же Карлсон захочет большее количество меда, то в дальнейшем ради дополнительной баночки меда ему придется снижать количество закупаемого варенья на 2 баночки. Такое положение дел будет продолжаться до тех пор, пока количество закупаемых баночек варенья не сократится до 10. При покупке менее 10 баночек варенья Карлсон остается без дисконтной карты и вынужден за каждую баночку варенья, как и за баночку меда, платить 20 крон. Однако из-за того, что он сэкономил 130 крон на покупке коробки с медом, он дополнительно может купить 130/20=6,5 баночек меда. (Нецелое количество баночек – это, конечно, не очень хорошо, но что делать – таковы оказались условия сделки). Итак, при условии расходования всех денег на мед, Карлсон потенциально может приобрести 46,5 баночек меда.
В общем виде бюджетное ограничение в данном случае можно записать следующим образом:
$$Y = \begin{cases}
70-2X, & при \ 0 \le X \le 25 \\
83-2X, & при 25 \ \le X \le 36,5\\
46,5-X, & при 36,5 \ \le X \le 46,5\\
\end{cases} $$
И такое бюджетное ограничение расширяет возможности использования наборов для Карлсона. Наиболее наглядно это можно увидеть на рисунке. Теперь множество доступных Карлсону наборов – это многоугольник $A_1OB_1C_1DF$. Следует обратить особое внимание на то, что множество доступных наборов расширилось не только за счет наборов, которые можно купить, но и за счет наборов, которые купить нельзя, но которые оказались доступны в силу того, что при покупке набора, соответствующего точке на плоскости с координатами (X,Y), потребителю оказываются доступны наборы с координатами (x,y), где $x \le X$ и $y \le Y$. А это значит, что множество доступных наборов для Карлсона расширилось и на треугольник FDG. Теперь приобретая набор, соответствующей точке D (25 баночек меда и 33 баночки варенья), Карлсону становится доступен набор (22 баночки меда и 33 баночки варенья).
Итак, у Карлсона появилась возможность использовать набор - 22 баночки меда и 33 баночки варенья, и с таким запасом он может путешествовать на один день больше, т.е. путешествие может длиться 11 дней. При этом у него остаются 3 баночки меда, которые хотя и пригодятся Карлсону по возвращению из путешествия, но в рамках поставленной задачи не имеют для него никакой ценности. Вот если бы можно было обменять у Фрекен Бок одну баночку меда на 3 дополнительные баночки варенья… Тогда можно было бы путешествовать еще на один день больше.

Ответ на вопрос, сколько дней будет путешествовать Карлсон, также можно получить, если выполнить совсем несложные расчеты по сути не требующих никаких специальных знаний.
А) Без скидки расходы Карлсона на покупку «дневного» набора составляют:
$Q_{меда}P_{меда}+Q_{варенья}P_{варенья}$=2*20+3*20=100 крон. Значит, он сможет путешествовать 800/100=8 дней, купив (2·8)=16 баночек меда и (3·8)=24 баночки варенья.
Б) Получив предложение скидки от продавца варенья, Карлсон мог рассуждать примерно так: «И без скидки я могу путешествовать 8 дней, значит со скидкой наверное смогу купить продуктов больше и тогда удастся продлить путешествие. На 8 дней мне теперь потребуется всего (10*20)+(24-10)(20*0,05)+16*10=200+140+320=660 крон.
Экономия составила 800-660=140 крон.
Поскольку «дневной» набор теперь стоит (2*20+3*(20*0,5))=70 крон, то это значит, что сэкономленных денег хватит еще на 140/70=2 дня путешествия. Итак, теперь можно путешествовать 10 дней, купив (2·10)=20 баночек меда и (3·10)=30 баночки варенья».
В) Что дает оптовая скидка продавца меда? Покупать больше 20, но меньше 25 баночек меда Карлсону совсем не выгодно, так как придется сокращать объем покупки варенья, а значит и путешествовать 10 дней уже не получится. А вот если купить коробку меда (25 баночек), то с учетом оптовой скидки (26%) расходы на покупку меда составят (25·20·0,74)=370 крон. Посчитаем, сколько теперь можно купить варенья. Купив коробку меда и 10 баночек варенья (без скидки) Карлсон израсходует: 370+10*20=570 крон. На оставшиеся деньги (800-570)=230 крон Карлсон может купить 230/10=23 баночки варенья. Всего получается (10+23)=33 баночки варенья. Оценим, сколько дней с таким набором (25 баночек меда и 33 баночки варенья) сможет путешествовать Карлсон. Варенья ему хватает на 33/3=11 дней, а меда на 25/2=12,5 дней. Найдем минимум из этих двух чисел min{11 B 12,5}=11 дней Итак, Карлсон может продлить путешествие еще на один день. На 11 дней ему требуется 33 баночки варенья и 22 баночки меда. Еще осталось 3 баночки меда, их хватило бы еще на один день, но на покупку дополнительного варенья уже нет денег.

Обозначим за $S_k$ сумму, которая будет на счете через год, если арендатор заплатит за $k$ месяцев вперед. (Заметим, что случай $k=0$ соответствует отказу от предложения.)
$${S_k} = (X - 25000k) \cdot {1{,}01^{12}} - 26000 \cdot {1{,}01^{12 - k}} - ... - 26000 \cdot 1{,}01.$$
Рассмотрим выражение ${S_{k + 1}} - {S_k}$. Если это выражение больше 0 для некого $k$, то это $k$ не оптимально для арендатора: выгоднее выбрать значение на единицу больше.

$${S_{k + 1}} - {S_k} = \ldots = 26000 \cdot {1{,}01^{12 - k}} - 25000 \cdot {1{,}01^{12}} = {1{,}01^{12 - k}} \cdot 1000 \cdot (26 - 25 \cdot {1{,}01^k})$$
(Заметим, что для нахождения этой разницы нам не пришлось считать сумму прогрессии, при вычитании множество одинаковых слагаемых сократились).

Эта разность положительна при маленьких $k$, так что соглашаться на предложение лучше, чем не соглашаться. К тому же, она убывает по $k$, следовательно, если $k^*$ — наибольшее $k$, при котором она положительна, то оптимальным будет $k^*+1$.
Заметим, что ${S_4} - {S_3} > 0$, так как $25000 \cdot {1{,}01^3} = 25000 \cdot 1{,}030301 < 25000 \cdot 1{,}031 = 25775 < 26000$. С другой стороны, $1{,}01^4>1{,}04$, а значит, $25000 \cdot {1{,}01^4} > 25000 \cdot 1{,}04 = 26000$, и поэтому ${S_5} - {S_4} < 0$. Значит, оптимальным является $k=4$.

А) Импорт равен нулю, если мировая цена равна внутренней равновесной. Из уравнения импорта $0=80-5P_{H}$ получаем, что $P_{H}=16$. В стране-импортере внутренняя цена всегда выше мировой, следовательно, $P_{W}=16-6=10$ ден.ед. Подставив значение мировой цены в функцию импорта, получаем Im=80-5*10=30 ед.

б) Функция экспорта, исходя из условия, может быть записана $Exp=10(P_W-P_H), \ P_W > P_H$. Свободного члена в этом уравнении нет, так при $P_W=P_H, Exp=0$ .
После введения новой технологии (и пока еще нулевых транспортных затратах) функция экспорта будет выглядеть $Exp=10(P_W-P_H'), \ P_W > P_H'$, где $P_H'$ – новая равновесная цена внутреннего рынка.
Следует показать, что в результате введения новой технологии коэффициент кратности объема экспорта разрыву мировой и внутренней цены не изменяется.
Внутренняя равновесная цена страны-экспортера — это константа, поэтому увеличение разрыва между ней и мировой ценой на единицу эквивалентно увеличению мировой цены на единицу. Поскольку такое увеличение, по условию, всегда ведет к увеличению потенциальных объемов экспорта на 10, функция экспорта имеет вид: Exp=a+10P. Из пункта а) мы знаем, что при $P_W=10$ экспорт равен 30, значит, a+10*10=30 и Exp=10P-70. Эта функция есть разность функций предложения и спроса, поэтому рост предложения на 10 при любой цене увеличит экспорт также на 10: $Exp_{new}=10P-60$.
После введения платы посреднику цены в странах должны отличаться на эту плату: $P_{Exp}+t=P_{IMP}$, кроме того, экспорт должен быть равен импорту и равен 20 (на треть меньше, чем раньше): $10P_{Exp}-60=80-P_{IMP}=20$. Решая эту систему уравнений, получаем $t=P{Exp}-P_{IMP}=12-8=4$. Следовательно, доходы от экспорта равны 8*20=160, а расходы на импорт 12*20=240.

Запишем функции спроса и предложения страны-экспортёра в общем виде:
$Q_d=a-bP$, $Q_s=c+dP$, где $Q_d$ и $Q_s$ – объемы спроса и предложения (единиц) соответственно, P – цена (денежных единиц). Тогда функция экспорта в общем виде записывается следующим образом: $Q_{exp}=Q_s-Q_d=(c-a)+(d+b)P_W$, (*)
где $Q_{exp}$ – объем экспорта (ед.), $P_W$ – мировая цена (ден. ед.). Внутренняя равновесная цена определяется как $P_H=\frac{a-c}{b+d}$. Следовательно, $c-a=-(b+d)P_H$.
Тогда $Q_{exp}=-(b+d)P_H+(b+d)P_W$ или $Q_{exp}=(b+d)(P_W-P_H)$.
Заметим, что последняя формула имеет ясную интерпретацию: экспорт страны прямо зависит от разницы мировой и внутренней цены, т.е. чем более превышает мировая цена внутреннюю, тем больше экспорт.
Таким образом, коэффициент кратности объема экспорта разрыву мировой и внутренней цены равен (b+d) и определяется суммой угловых коэффициентов функций спроса и предложения, но не зависит от параметров параллельного сдвига лини предложения или спроса.
Поскольку до всех событий, описанных в п.Б, равновесная мировая цена была 10, а объем импорта 30, из уравнения экспорта $30=10(10-P_H)$ следует, что равновесная цена в стране-экспортере $P_H=7$.
Поскольку горизонтальный параллельный сдвиг линии предложения в стране-экспортере равен 10, то очевидно, что после введения новой технологии при $P_W=7$ ден. ед. объем экспорта будет равен 10 ед. (см. рисунок). Тогда, используя новую функцию экспорта без учета транспортных затрат $Exp=10(P_W-P_H') $, и подставив соответствующие значения, получаем $10=10(7-P_H'); \ P_H'=6$. Таким образом, новая функция экспорта без транспортных затрат $Exp'=10(P_W-6)=10P_W-60$, а с транспортными затратами t ден. ед. за штуку $Exp'=10(P_W-t)-60$.

Новую функцию экспорта можно определить и алгебраически, используя не график, а уравнение (*). Поскольку до всех событий, описанных в п.Б, $P_H=7$ (см. выше), то функция экспорта была $Exp=10P_W-70$. , с учетом сдвига линии предложения (на 10 увеличивается параметр с в уравнении предложения) $Exp'=10P_W-60$. .
Из условия известно, что объем торговли сократился на треть, то есть стал равен 20 ед. Осталось решить систему уравнений импорта и экспорта для новой ситуации:
$$ \begin{cases}
80-5P_W=20\\
10(P_W-t)-60=20
\end{cases} $$
Итак, $P_W=12$ ден. ед., t=4 ден. ед. Следовательно, доходы от экспорта равны (12-4)*20=160, а расходы на импорт 12*20=240.

Первый индекс $I_1=\frac{P_1Q_0}{P_0Q_0}$ (известный как индекс Ласпейреса), скорее всего, будет больше, чем второй $I_2=\frac{P_1Q_1}{P_0Q_1}$ (известный как индекс Пааше). Потребитель переключается с дорожающих товаров на заменители (которые, возможно, дорожают меньше или даже дешевеют). Первый индекс учитывает удорожание потреблявшихся ранее товаров, второй индекс, напротив, не принимает эти товары в рассмотрение.
Можно рассмотреть следующий пример. Если на прошлой неделе в супермаркете была распродажа апельсинов, то потребитель был склонен их купить. На текущей неделе распродажа апельсинов закончилась, но зато началась распродажа яблок — в результате потребитель покупает яблоки, а апельсины — нет. Первый индекс учтет только подорожание апельсинов (по сравнению с распродажей), а второй — только удешевление яблок.

Метод 1.
Известно, что $Е_D^P(А) = dQ/dP*P/Q = - OP_1/P_1P_2$. Это формула отношения длин отрезков (см. рисунок).
Следовательно, $│Е_D^P(А)│ = OP_1/P_1P_2 = OP_1/(ОP_2 - ОP_1) = 1 / (OP_2/ OP_1 - 1).$
$OP_2 = P_2$; $OP_1=P1 →│Е_D^P(А)│= 1 / (P_2/ P_1 - 1).$
Очевидно, чем больше отношение $P_2/P_1$, тем больше знаменатель и тем меньше дробь, т.е. тем меньше эластичность спроса по цене в точке А, что и требовалось доказать.

Метод 2.

Вспомним, что если при снижении цены выручка растет, то спрос эластичный, если снижается – не эластичный. На графике изменение выручки в результате снижения цены – это разница площадей прямоугольников $OP_2E_2Q_2$ и $OP_1E_1Q_1$, или, что то же самое, площадей прямоугольников $Q_1Q_2E_2D$ и $P_2P_1E_1D$. Площадь $Q_1Q_2E_2D$ равна $P_2(Q_2-Q_1)$, то есть увеличение выручки за счет роста объемов продаж, или величина А. Площадь $P_2P_1E_1D$ равна $Q_1(P_1-P_2)$ или уменьшение выручки в результате снижения цены, то есть величина В. Таким образом $\Delta TR=P_2(Q_2-Q_1)+Q_1(P_1-P_2)=P_2(Q_2-Q_1)-Q_1(P_1-P_2)=A-B$. Если по абсолютному значению первое слагаемое превышает второе, то выручка растет, и значит, спрос эластичен. Итак, если A>B, или иначе A/B > 1, то спрос эластичен, и чем больше это отношение, тем выше степень его эластичности. Чем оно меньше, тем менее эластичен спрос, а когда A/B < 1, спрос становится неэластичным, и чем меньше это соотношение, тем выше степень его неэластичности.

Пусть функция спроса задана уравнением Q=a(1-P/b), или P=b(1-Q/a).
Из свойств линейной функции спроса следует (это можно доказать, но можно и сослаться на знание этих свойств), что:
а) максимум выручки можно получить при цене равной b/2 и объеме продаж равном a/2;
б) максимум выручки соответствует точке, в которой функция спроса обладает единичной эластичностью.
Из условия, что «при объеме производства и продаж менее 80 ед. товара (спрос) характеризуется как эластичный, а при объеме производства и продаж более 80 ед. товара – как неэластичный» следует, что спрос обладает единичной эластичностью при объеме производства и продаж равном 80 ед. товара, а значит a=160.
Из условия, что «максимум выручки монополист может получить, если будет продавать продукцию по цене 50 ден. ед. за единицу товара» получаем, что b=100.
Отсюда получаем, что функция спроса на продукцию монополиста имеет вид Q=160-1,6P, или P=100-0,525Q. Следовательно, функция предельного дохода монополиста имеет вид MR=100-1,25Q.
Так как «средние переменные издержки монополиста не зависят от объема производства и равны 30 ден.ед.», то общие переменные издержки будут равны TVC=30Q, а значит, предельные издержки будут равны MC=30, т.е. как и средние переменные издержки они не зависят от объема производства и равны 30 ден. ед.
Приравниваем MR и MC. Получаем, что оптимальный объем производства равен 56 ед. товара.
Находим величину средних постоянных издержек при оптимальном объеме производства AFC=0,6*30=18. (Напоминаем, что в нашем случае предельные издержки не зависят от объема производства). Отсюда следует, что общие постоянные издержки будут равны TFC=18*56=1008 ден. ед.
Цена, которую установит монополист, для получения максимальной прибыли, равна P=100-0,625*56=65. Значит, выручка монополиста будет равна TR=PQ=56*65=3640 ден. ед.
Издержки монополиста будут равны TC=TFC+TVC=1008+56*30=2688 ден.ед. Таким образом, максимальная прибыль монополиста будет равна 3640-2688=952 ден. ед.
На рисунке представлен график, иллюстрирующий решение задачи.

Все наборы, состоящие из баночек с медом и баночек с вареньем, которые представляют для Карлсона интерес, лежат на прямой, имеющей вид Y=1,5X, где Х - это количество баночек с медом, а Y - количество баночек с вареньем. Эта прямая соответствует условию, что ежедневно Карлсону нужно 2 баночки меда и 3 баночки варенья.
А) Множество доступных Карлсону наборов (треугольник AOB) определяется бюджетным ограничением, которое описывается функцией Y=40-X, при $ 0 \le X \le 40$. Если Карлсон все деньги потратит на варенье, то сможет купить 40 баночек, а если на мед, то тоже только 40 баночек. Оптимальное решение в данном случае будет – купить 18 баночек меда и 24 баночки варенья. Это решение мы нашли, приравняв соответствующие функции 40-X=1,5X.
А это значит, что путешествовать с данным запасом меда и варенья Карлсон сможет 8 дней.

Б) Предложение продавца варенья расширит множество доступных Карлсону наборов. Если он будет покупать меньше 10 баночек варенья, то бюджетное ограничение у него будет описываться прежней функцией Y=40-X, а дальше начинает действовать дисконтная карта продавца варенья – теперь одна баночка варенья будет стоить для Карлсона только 10 крон. Снижая объем покупки меда на 1 баночку, он теперь имеет возможность дополнительно купить 2 баночки варенья. И если Карлсон все деньги потратит на варенье, то сможет купить $10+\frac{800-10 \cdot 20}{10}=70$ баночек.
В общем виде бюджетное ограничение в данном случае можно записать следующим образом:
$$Y = \begin{cases}
70-2X, & при \ 0 \le X \le 30 \\
40-X, & при \ 30 \le X \le 40
\end{cases} $$
Множество доступных Карлсону наборов – это четырехугольник $A_1OBC$. Линия, соответствующая рациональному выбору Карлсона пересекает новую бюджетную линию при объемах покупки варенья больше 10, а значит, мы может получить оптимальный набор, приравняв соответствующие функции 70-2X=1,5X.
Оптимальное решение в данном случае будет – купить 20 баночек меда и 30 баночки варенья.
С таким запасом Карлсон может путешествовать уже 10 дней.

Б) Предложение продавца меда еще больше расширит множество доступных Карлсону наборов. Если он будет покупать меньше 25 баночек меда, его бюджетное ограничение будет описываться прежней функцией Y=70-2X. А при покупке 25 баночек меда (т.е. целой коробки), у него появляются дополнительные возможности, связанные с возможностью экономии. Экономия составит (70-0,26*20)=130 крон. На эти деньги дополнительно можно приобрести 13 баночек варенья, т.е. теперь при покупке 25 баночек меда Карлсон имеет возможность купить уже не 20, а 33 баночки варенья. Если же Карлсон захочет большее количество меда, то в дальнейшем ради дополнительной баночки меда ему придется снижать количество закупаемого варенья на 2 баночки. Такое положение дел будет продолжаться до тех пор, пока количество закупаемых баночек варенья не сократится до 10. При покупке менее 10 баночек варенья Карлсон остается без дисконтной карты и вынужден за каждую баночку варенья, как и за баночку меда, платить 20 крон. Однако из-за того, что он сэкономил 130 крон на покупке коробки с медом, он дополнительно может купить 130/20=6,5 баночек меда. (Нецелое количество баночек – это, конечно, не очень хорошо, но что делать – таковы оказались условия сделки). Итак, при условии расходования всех денег на мед, Карлсон потенциально может приобрести 46,5 баночек меда.
В общем виде бюджетное ограничение в данном случае можно записать следующим образом:
$$Y = \begin{cases}
70-2X, & при \ 0 \le X \le 25 \\
83-2X, & при 25 \ \le X \le 36,5\\
46,5-X, & при 36,5 \ \le X \le 46,5\\
\end{cases} $$
И такое бюджетное ограничение расширяет возможности использования наборов для Карлсона. Наиболее наглядно это можно увидеть на рисунке. Теперь множество доступных Карлсону наборов – это многоугольник $A_1OB_1C_1DF$. Следует обратить особое внимание на то, что множество доступных наборов расширилось не только за счет наборов, которые можно купить, но и за счет наборов, которые купить нельзя, но которые оказались доступны в силу того, что при покупке набора, соответствующего точке на плоскости с координатами (X,Y), потребителю оказываются доступны наборы с координатами (x,y), где $x \le X$ и $y \le Y$. А это значит, что множество доступных наборов для Карлсона расширилось и на треугольник FDG. Теперь приобретая набор, соответствующей точке D (25 баночек меда и 33 баночки варенья), Карлсону становится доступен набор (22 баночки меда и 33 баночки варенья).
Итак, у Карлсона появилась возможность использовать набор - 22 баночки меда и 33 баночки варенья, и с таким запасом он может путешествовать на один день больше, т.е. путешествие может длиться 11 дней. При этом у него остаются 3 баночки меда, которые хотя и пригодятся Карлсону по возвращению из путешествия, но в рамках поставленной задачи не имеют для него никакой ценности. Вот если бы можно было обменять у Фрекен Бок одну баночку меда на 3 дополнительные баночки варенья… Тогда можно было бы путешествовать еще на один день больше.

Ответ на вопрос, сколько дней будет путешествовать Карлсон, также можно получить, если выполнить совсем несложные расчеты по сути не требующих никаких специальных знаний.
А) Без скидки расходы Карлсона на покупку «дневного» набора составляют:
$Q_{меда}P_{меда}+Q_{варенья}P_{варенья}$=2*20+3*20=100 крон. Значит, он сможет путешествовать 800/100=8 дней, купив (2·8)=16 баночек меда и (3·8)=24 баночки варенья.
Б) Получив предложение скидки от продавца варенья, Карлсон мог рассуждать примерно так: «И без скидки я могу путешествовать 8 дней, значит со скидкой наверное смогу купить продуктов больше и тогда удастся продлить путешествие. На 8 дней мне теперь потребуется всего (10*20)+(24-10)(20*0,05)+16*10=200+140+320=660 крон.
Экономия составила 800-660=140 крон.
Поскольку «дневной» набор теперь стоит (2*20+3*(20*0,5))=70 крон, то это значит, что сэкономленных денег хватит еще на 140/70=2 дня путешествия. Итак, теперь можно путешествовать 10 дней, купив (2·10)=20 баночек меда и (3·10)=30 баночки варенья».
В) Что дает оптовая скидка продавца меда? Покупать больше 20, но меньше 25 баночек меда Карлсону совсем не выгодно, так как придется сокращать объем покупки варенья, а значит и путешествовать 10 дней уже не получится. А вот если купить коробку меда (25 баночек), то с учетом оптовой скидки (26%) расходы на покупку меда составят (25·20·0,74)=370 крон. Посчитаем, сколько теперь можно купить варенья. Купив коробку меда и 10 баночек варенья (без скидки) Карлсон израсходует: 370+10*20=570 крон. На оставшиеся деньги (800-570)=230 крон Карлсон может купить 230/10=23 баночки варенья. Всего получается (10+23)=33 баночки варенья. Оценим, сколько дней с таким набором (25 баночек меда и 33 баночки варенья) сможет путешествовать Карлсон. Варенья ему хватает на 33/3=11 дней, а меда на 25/2=12,5 дней. Найдем минимум из этих двух чисел min{11 B 12,5}=11 дней Итак, Карлсон может продлить путешествие еще на один день. На 11 дней ему требуется 33 баночки варенья и 22 баночки меда. Еще осталось 3 баночки меда, их хватило бы еще на один день, но на покупку дополнительного варенья уже нет денег.

Первый индекс $I_1=\frac{P_1Q_0}{P_0Q_0}$ (известный как индекс Ласпейреса), скорее всего, будет больше, чем второй $I_2=\frac{P_1Q_1}{P_0Q_1}$ (известный как индекс Пааше). Потребитель переключается с дорожающих товаров на заменители (которые, возможно, дорожают меньше или даже дешевеют). Первый индекс учитывает удорожание потреблявшихся ранее товаров, второй индекс, напротив, не принимает эти товары в рассмотрение.
Можно рассмотреть следующий пример. Если на прошлой неделе в супермаркете была распродажа апельсинов, то потребитель был склонен их купить. На текущей неделе распродажа апельсинов закончилась, но зато началась распродажа яблок — в результате потребитель покупает яблоки, а апельсины — нет. Первый индекс учтет только подорожание апельсинов (по сравнению с распродажей), а второй — только удешевление яблок.

Метод 1.
Известно, что $Е_D^P(А) = dQ/dP*P/Q = - OP_1/P_1P_2$. Это формула отношения длин отрезков (см. рисунок).
Следовательно, $│Е_D^P(А)│ = OP_1/P_1P_2 = OP_1/(ОP_2 - ОP_1) = 1 / (OP_2/ OP_1 - 1).$
$OP_2 = P_2$; $OP_1=P1 →│Е_D^P(А)│= 1 / (P_2/ P_1 - 1).$
Очевидно, чем больше отношение $P_2/P_1$, тем больше знаменатель и тем меньше дробь, т.е. тем меньше эластичность спроса по цене в точке А, что и требовалось доказать.

Метод 2.

Вспомним, что если при снижении цены выручка растет, то спрос эластичный, если снижается – не эластичный. На графике изменение выручки в результате снижения цены – это разница площадей прямоугольников $OP_2E_2Q_2$ и $OP_1E_1Q_1$, или, что то же самое, площадей прямоугольников $Q_1Q_2E_2D$ и $P_2P_1E_1D$. Площадь $Q_1Q_2E_2D$ равна $P_2(Q_2-Q_1)$, то есть увеличение выручки за счет роста объемов продаж, или величина А. Площадь $P_2P_1E_1D$ равна $Q_1(P_1-P_2)$ или уменьшение выручки в результате снижения цены, то есть величина В. Таким образом $\Delta TR=P_2(Q_2-Q_1)+Q_1(P_1-P_2)=P_2(Q_2-Q_1)-Q_1(P_1-P_2)=A-B$. Если по абсолютному значению первое слагаемое превышает второе, то выручка растет, и значит, спрос эластичен. Итак, если A>B, или иначе A/B > 1, то спрос эластичен, и чем больше это отношение, тем выше степень его эластичности. Чем оно меньше, тем менее эластичен спрос, а когда A/B < 1, спрос становится неэластичным, и чем меньше это соотношение, тем выше степень его неэластичности.