Заключительный этап: второй день 10-11 классы

1. Всё по P рублей!

21 февраля вы решали задачу «99 цен», в которой получалось, что магазин поставит на товар с номером $i$ цену $p_i=1000/i$ рублей. Напомним условие:

В магазине продаются 99 разных товаров. Магазин закупает товар $i$ ($i=1, 2, \ldots, 99$) по цене $500/i$ рублей. Если магазин назначит цену $p$ на товар $i$, покупатели купят $i/p^2$ единиц этого товара. Магазин стремится получить максимальную прибыль (разницу между своими доходами и своими расходами на закупку) от перепродажи товаров. Допустим, магазин может назначать на товары любые цены. Какую цену он назначит на~товар с номером $i$?

Сегодня вам предлагается проанализировать в рамках того же условия несколько новых ценовых политик. Мы будем говорить, что какая-то ценовая политика \emph{выгодна}, если она не уменьшает общую прибыль магазина по сравнению со случаем, который был рассмотрен вами 21 февраля.

Находясь на отдыхе за границей, владелец магазина увидел там необычные супермаркеты, в которых все товары продавались по одной и той же цене, и решил сделать у себя то же самое, не меняя ассортимент продаваемых товаров. Владелец рассчитывает, что необычная ценовая политика привлечет новых покупателей, в результате чего при цене $p$ в магазине купят не $i/p^2$ единиц, а $K\cdot i/p^2$ единиц товара $i$, где $K\ge 1$.
а) Допустим, $K=1$. Докажите, что «политика одной цены» не будет выгодна магазину.
б) Обозначим за $K^\star$ минимальное значение $K$, при котором «политика одной цены» выгодна владельцу магазина. Для каждого $K\geqslant K^\star$ найдите цену $P$, которую он назначит на все товары. Будут ли среди продаваемых товаров такие, цена на которые для потребителей будет ниже, чем цена закупки для мага\nна? Если да, укажите их номера.
в) Рассмотрим теперь «политику двух цен», то есть политику, при которой на каждый из товаров назначена либо цена $P_1$, либо цена $P_2$. Пусть спрос на каждый товар такой же, как при политике одной цены. Обозначим за $K^{\star\star}$ минимальное значение $K$, при котором «политика двух цен» выгодна владельцу магазина. Основываясь на экономической интуиции и не проводя расчетов, сравните $K^\star$ и $K^{\star\star}$.

Решение

а) При $K=1$ спрос на каждый из товаров точно такой же, как и в случае, когда на каждый товар устанавливается своя цена. Допустим, при политике одной цены магазин установил оптимальную цену $P^{\star}$ и прибыль равна $\pi$. Заметим, что в ситуации, когда магазин устанавливал на каждый товар свою цену, он мог сделать все цены, равными $P^{\star}$, и прибыль также была бы равна $\pi$. Однако, как мы знаем, это решение не являлось оптимальным, так как оптимальная цена на товар $i$ равна $1000/i$. Значит, $\pi$ меньше, чем максимальная прибыль фирмы в предыдущей задаче.

б) При цене $P$ суммарная прибыль магазина будет равна $$\sum_{i=1}^{99}
K\frac{i}{P^2}\left(P-\frac{500}{i}\right)=K\sum_{i=1}^{99}
\left(\frac{i}{P}-\frac{500}{P^2}\right).$$
Заметим, что оптимальная цена не будет зависеть от константы $K$. Таким образом, нам нужно найти максимум функции
$$\frac{1+2+\ldots+99}{P}-\frac{99\cdot 500}{P^2}=\frac{99\cdot 50}{P}-\frac{99\cdot 500}{P^2}.$$ Это квадратичная функция относительно $1/P$, и ветви параболы направлены вниз. Значит, оптимум достигается в вершине параболы $1/P=50/1000=1/20$. Отсюда получаем, что независимо от $K$, $P=20$. Продаваться <<в убыток>> будут товары, для которых $500/i>20$, то есть товары 1, 2, $\ldots$, 24.

в) Политика одной цены невыгодна магазину при $K=1$, так как магазин лишается возможности устанавливать цену продажи в зависимости от закупочной цены и спроса. Политика одной цены станет выгодной, только если величина $K$ будет достаточно большой, чтобы перекрыть эти потери. Таким образом, $K^{\star}$ отражает как раз величину потерь от того, что в случае единой цены (почти) каждый из товаров продается по неоптимальной цене. Аналогично, $K^{\star\star}$ отражает величину потерь от неоптимального ценообразования при политике двух цен.

При политике двух цен, однако, потери от неоптимального ценооборазования меньше. Действительно, теперь магазин назначит цену $P_1$ на относительно дешевые товары и $P_2>P_1$ на относительно дорогие, что нельзя было сделать при политике одной цены. В итоге цена на каждый из товаров будет ближе к своей оптимальной цене $1000/i$, чем при политике одной цены. Таким образом, $K^{\star\star} < K^\star$.

2. Фирма, самолет, менеджер

Компания «Elppa» собирается нанять топ-менеджера. В собственности фирмы есть небольшой частный самолет, который предназначен для передвижения менеджера по служебным надобностям. Менеджер, однако, может злоупотреблять служебным положением и использовать самолет в личных целях, что создает для компании дополнительные затраты.

Если менеджер не согласится работать в фирме «Elppa», ее прибыль будет равна нулю. Если менеджер согласится на работу и не будет пользоваться самолетом компании в личных целях, то ее прибыль (до выплаты зарплаты менеджера) составит 800, если будет — всего лишь 162. Владельцы фирмы не могут наблюдать действия менеджера и не знают, как прибыль зависит от использования самолета, поэтому не могут запретить менеджеру использовать самолет в личных целях. Менеджер, в отличие от владельцев фирмы, знает, как прибыль фирмы зависит от использования самолета.

Пусть $w\ge 0$ — зарплата менеджера, а $j$ — переменная, равная 1, если менеджер использует самолет в личных целях, и 0 в противном случае. Менеджер выбирает свои действия так, чтобы значение величины $U=0,1\sqrt{w}+j$   было наибольшим. Обладая редким талантом, менеджер всегда может уйти работать в конкурирующую компанию «Gnusmas». Условия работы у конкурентов соответствуют $U=2$. Считайте, что менеджер благожелателен к фирме «Elppa»: если ему безразлично, на какой фирме работать, то он соглашается на работу в «Elppa»; если ему безразлично, использовать самолет или нет, то он не использует самолет.
а) Допустим, зарплата менеджера не зависит от прибыли фирмы (и при этом такова, что менеджеру выгодно согласиться работать в фирме). Будет ли он использовать самолет в личных целях?
б) Допустим, зарплата менеджера равна некой доле $\alpha$ от прибыли фирмы ($0<\alpha<1$). При каком минимальном значении $\alpha$ менеджер согласится работать в фирме и не будет использовать самолет в личных целях? Что выгоднее для фирмы — предлагать менеджеру фиксированную зарплату (как в пункте а)) или найденную вами в этом пункте долю $\alpha$ от прибыли?
в) Допустим, согласно контракту, зарплата менеджера равна $w_1$, если прибыль фирмы равна 800, и $w_2$, если прибыль фирмы равна 162. Существуют ли произвольные значения $w_1$ и $w_2$ такие, что контракт $(w_1, w_2)$ более выгоден для фирмы, чем контракт, согласно которому менеджеру выплачивается доля от прибыли фирмы, найденная вами в б)?

Решение

а) Какова бы ни была зарплата $w$, $0,1\sqrt{w}+1>0,1\sqrt{w}$, и поэтому менеджер будет использовать самолет.

б) Чтобы менеджер, не используя самолет, согласился работать в фирме, должно выполняться условие $0,1\sqrt{800\alpha}\geqslant 2$, откуда $\alpha\geq 1/2$. При этом ему должно быть выгоднее не использовать самолет, чем использовать, то есть также должно выполняться неравенство $0,1\sqrt{800\alpha}\geqslant 0,1\sqrt{162\alpha}+1$. Заметим, что $\alpha=1/2$ удовлетворяет этому неравенству, а значит, именно это число и будет ответом.

Если фирма предложит менеджеру половину прибыли, менеджер не будет пользоваться самолетом, и прибыль компании после выплаты зарплаты менеджеру составит 400. Если же фирма будет предлагать фиксированную зарплату, менеджер будет пользоваться самолетом, и потому прибыль фирмы после выплаты зарплаты будет меньше, чем 162. Значит, предлагать долю прибыли выгоднее.

в) Если $w_1$ и $w_2$ таковы, что менеджер будет пользоваться самолетом, то прибыль фирмы после выплаты зарплаты составит не больше, чем 162, и потому не может быть больше, чем при выплате половины прибыли. Если же $w_1$ и $w_2$ таковы, что менеджер не будет пользоваться самолетом, должно выполняться неравенство $0,1\sqrt{w_1}\geqslant 2$, откуда $w_1\geq 400$, а значит, прибыль фирмы после выплаты зарплаты менеджеру будет не больше 400. Таким образом, не существует контракта, который был бы выгоднее для фирмы, чем контракт, согласно которому менеджеру выплачивается половина прибыли. (При этом существует много других контрактов, приносящих фирме ту же выгоду: например, $(w_1, w_2)=(400, 0)$.)

3. Магазины в Кукумбрии

Страна Кукумбрия имеет форму прямой дороги длиной 100 километров. В стране есть 101 житель, каждый из них живет в отдельном доме. Все дома расположены на одной стороне дороги, расстояние между любыми соседними домами равно 1 км (считайте, что сами дома не имеют ширины). Другая сторона дороги предназначена для магазинов, в которых продется единственный товар — огурцы. В зависимости от ситуации, количество магазинов может оказаться разным, единственное ограничение — два магазина не могут располагаться ближе, чем на расстоянии 1 км друг от друга. Например, если в стране будет 4 магазина на расстоянии 14, 32, 71 и 94 км от начала дороги, то ситуация будет выглядеть следующим образом:

cuc1.png

Каждый житель Кукумбрии каждый день отправляется в ближайший к нему магазин и покупает там ровно один огурец по установленной государством цене 18 тугриков. Если ближайших к нему магазинов два (он живет посередине между ними), то он ходит в них поочередно, поэтому можно считать, что каждый из этих магазинов зарабатывает на нем в среднем 9 тугриков в день.

Фирма «Пупырышек» рассматривает возможность открыть в Кукумбрии магазин или сеть магазинов. Издержки на содержание одного магазина составят 100 тугриков в день независимо от того, сколько огурцов там будет продано, других издержек у фирмы нет (сами огурцы имеются у нее в неограниченном количестве бесплатно).

Фирма «Пупырышек» сама выбирает, сколько и где магазинов открыть, максимизируя суммарную прибыль всех своих магазинов. Опишите, как будет выглядеть сеть магазинов «Пупырышек» (сколько будет магазинов и где они будут располагаться) в каждом из следующих случаев.
а) Других магазинов в стране нет, то есть до прихода «Пупырышка» ситуация выглядела так:

cuc2.png

б) В стране уже работает фирма «Зернышко», единственный магазин которой расположен в середине дороги:

cuc3.png

в) Шесть магазинов сети «Зернышко» расположены через 20 км друг от друга:

cuc4.png

г) Одиннадцать магазинов сети «Зернышко» расположены через 10 км друг от друга:

cuc5.png

Решение

В целом, фирме выгодно открывать магазин, если доход от него будет выше издержек на его содержание. Если количество покупателей в данном магазине равно $N$, то магазин выгоден при $18N>100$. С учетом целочисленности покупателей, это эквивалентно $N\ge 6$, то есть магазин выгоден, если привлекает не меньше шести покупателей. При этом, если фирма решила открыть магазин, то ей нужно стремиться максимизировать количество покупателей, потому что издержки от него не зависят.
а) Где бы ни был расположен магазин, все покупатели придут в него. $101>6$, так что фирма откроет один магазин в любой точке. Открывать второй магазин невыгодно, поскольку он увеличивает издержки, не меняя доходов.
б) В этом случае страна как бы разбивается на два зеркально симметричных отрезка длиной 50 км. Рассмотрим левый отрезок $[0; 50]$. На нем, если считать концы, живет 51 покупатель. Тот из них, который живет в точке 50 (на правом конце отрезка, в середине страны), всегда будет ходить в магазин «Зернышко», поскольку он для него точно будет ближайшим. Покажем, как фирме «Пупырышек» заполучить 50 остальных покупателей. Покупатель, живущий в координате 49, придет к ней, если она будет стоять к нему ближе, чем магазин «Зернышко», то есть на интервале $(48;50)$. Поскольку ближе, чем на километр от конкурента, вставать нельзя, множество точек, позволяющих получить этого покупателя, составляет $(48; 49]$. Вставая в любую из этих точек, магазин получает максимальную прибыль от продаж жителям отрезка $[0;50]$.

Рассуждая аналогично, можно показать, что в правой части страны единственный нужно разместить на отрезке $[51;52)$. Таким образом, у фирмы будет 2 магазина, в каждый из которых придет 50 покупателей (они обозначены точками):

в) В этом случае страна разбивается на 5 отрезков, каждый длиной 20 км. Рассмотрим первый из них. Поставив один магазин в середине, фирма может привлечь 10 покупателей (8 будут ходить только в этот магазин и еще двое - чередовать), $11>6$, так что выгодно открыть по крайней мере один магазин. При этом если магазин открыт в координате $x$, то в «зону влияния» фирмы Пупырышек попадает отрезок $[x/2;(20+x)/2]$. Длина этого отрезка в любом случае равна 10, и выручка с него в любом случае будет равна 180 (при этом иногда это будут 10 целых покупателей, а иногда 9 целых и два «половинчатых»), а прибыль $180-100=80$.

Может ли фирма получить б\'{о}льшую прибыль с отрезка, если разместит там больше одного магазина? Как и в предыдущем пункте, в этом случае нужно размещать магазины близко к конкурентам, чтобы заполучить максимальное количество покупателей (точнее, первый магазин должен располагаться в точке из интервала $[1; 2)$, а второй - в точке из интервала $(18; 19]$). Так можно стимулировать прийти всех покупателей, кроме тех, которые живут непосредственно рядом с магазинами конкурентов. Таким образом, в два магазина придут 19 покупателей, общая прибыль на отрезке составит $19\times 18 - 2\times 100 = 142$. Это больше, чем 80, которые можно было получить с одного магазина. Любые дополнительные магазины не увеличат прибыль фирмы, так как больше 19 покупателей с каждого отрезка всё равно получить нельзя.

То же самое нужно проделать на остальных отрезках, общая ситуация будет выглядеть следующим образом:


г) Если фирма поместит на каком-то из 10 отрезков, на которые разбивается страна, один магазин, то он привлечет только 5 покупателей, но $5<6$, так что открывать один магазин невыгодно. Вместе с тем, больше 9 покупателей на каждом отрезке также нельзя привлечь (покупатели, живущие в координатах, кратных 10, привязаны к «Зернышкам»), так что открытие двух или бОльшего числа магазинов тоже не может быть выгодным. Получаем, что в этих условиях фирма «Пупырышек» не откроет ни одного магазина.

4. Дилемма центробанка

Во Фруктовой стране спросом среди потребителей пользуются только два товара — дурианы и фейхоа. Дурианы производятся на территории Фруктовой страны, их цена для потребителей равна $P_d$ рублей. Фейхоа импортируются из соседней страны, где их цена составляет 1 доллар. Обменный курс валюты Фруктовой страны равен $k$ рублей за доллар, так что цену фейхоа в рублях для отечественных потребителей ($P_f$) можно посчитать как $P_f=1\cdot k$.

Потребители дурианов готовы платить за единицу этого фрукта $v$ рублей, тогда как производство его единицы стоит $c$ рублей, причем $v>c$. В соответствии с традицией, потребители и производители дурианов поровну делят выгоду от торговли, так что $P_d=(v+c)/2$.

Назовем уровнем цен ($P$) среднюю цену на товары, потребляемые в стране: $P=(P_d+P_f)/2$. Центробанк Фруктовой страны преследует цель минимизации уровня цен в следующем году. Для простоты предположим, что единственный инструмент, которым может управлять центробанк, — значение процентной ставки, по которой он выдает кредиты коммерческим банкам. Обозначим эту ставку за r (в долях), то есть будем считать, что центральный банк выдает кредиты коммерческим по ставке 100r % годовых.

Каждая из трех переменных v, c и k зависит от r: $v=14-3r$; $c=2+50r^2$; $k=10-5r$.
а) Объясните, почему v убывает с ростом r.
б) Объясните, почему c возрастает с ростом r.
в) Объясните, почему k убывает с ростом r.
г) Предположим, что в настоящий момент $r=0,15$ (15 %). Следует ли Центробанку снижать ставку, повышать ее или оставить неизменной, чтобы достичь своей цели?

Решение

Решение пунктов а)---в) основывается на том, что чем больше $r$, тем больше будут процентные ставки по кредитам и депозитам в экономике.
а) Чем больше $r$, тем сложнее будет взять кредит на покупку товаров; в то же время, станет выгоднее сберегать деньги, а не тратить.
б) Как правило, фирмы активно берут кредиты на осуществление текущей деятельности. Действительно, платежи поставщикам и поступления от покупателей могут быть значительно отдалены друг от друга во времени; кроме того, само время (и объем) платежей от покупателей во многом случайны. Вследствие этого, без кредитной поддержки фирмам не обойтись. Процентные платежи по кредитам, таким образом, является частью издержек предприятия; при росте $r$ вырастут и издержки.
в) При росте процентной ставки в экономике увеличивается спрос на финансовые активы, номинированные в национальной валюте, и потому увеличивается спрос на эту валюту, а значит валюта укрепляется, а валютный курс снижается. На практике это может проявляться в том, что при росте процентной ставки становится невыгодно брать кредиты в национальной валюте для того, чтобы вкладывать кредитные средства в иностранную валюту (в <<спекуляции>> на валютном рынке).
г) Легко посчитать, что $P(r)=9+(50r^2-13r)/4$, это парабола с ветвями вверх, значит, оптимальная процентная ставка находится в вершине параболы и равна 13 % ($r=0,13$). Значит, центробанку следует снизить $r$.

5. Перераспределение доходов спортивных клубов

Согласно правилам многих спортивных лиг, каждая команда должна перечислять определенную долю своих доходов на специальный счет, средства с которого затем распределяются поровну между всеми командами. Эта мера призвана уменьшать неравенство доходов между командами, что, как предполагается, должно приводить к выравниванию команд по силе и тем самым делать матчи более интересными.

В этой задаче вам предлагается проанализировать последствия введения такой меры в рамках следующей простой модели. Представим себе лигу, состоящую из двух команд — А и B. Выручка каждой команды возрастает при росте вероятности ее победы в матче против другой команды (ничьих в этой лиге не бывает). Эта вероятность для каждой команды, в свою очередь, возрастает при увеличении таланта ее игроков и убывает при увеличении таланта игроков соперника. Издержки команды тем больше, чем более талантливых игроков она нанимает. Команда выбирает уровень таланта своих игроков таким образом, чтобы ее прибыль была наибольшей.

Команда А более популярна, чем команда B, вследствие чего при каждом значении вероятности победы над соперником выручка команды А больше, чем выручка команды B.

При ответе на вопросы использование формул не требуется, но и не запрещается.
а) Как введение перераспределения доходов между командами повлияет на уровень таланта игроков, нанимаемых командой А? Командой B?
б) Может ли введение перераспределения доходов между командами привести к тому, что разница в силе команд не уменьшится, как обычно предполагается, а наоборот, увеличится (что сделает матчи более скучными)?
в) Может ли введение перераспределения доходов между командами привести к тому, что суммарная прибыль команд увеличится?

Решение

а) Заметим, что после введения перераспределения доходов выгоды для каждой команды от покупки каждой дополнительной единицы таланта снизятся: во-первых, часть заработанной от этого выручки придется отдать (эффект $\star$), а во-вторых, при росте силы команды снизится вероятность победы соперника, а значит, и снизится объем выручки, перераспределяемой к данной команде от соперника (эффект $\star\star$). Издержки же на найм единицы таланта не изменятся. Значит, инвестировать в силу команды станет менее выгодно, и в итоге обе команды изменят составы таким образом, чтобы уменьшить уровень таланта своих игроков.

б) Заметим, что до введения перераспределения команда $A$ должна была быть более сильной, так как в связи с большим объемом рынка у нее было больше стимулов инвестировать в талант игроков. В (а) мы показали, что обе команды станут играть слабее после введения перераспределения доходов. Ясно, что эффект ($\star$) сильнее для команды $A$, а эффект ($\star\star$) сильнее для более слабой команды, команды $B$. Если эффект ($\star\star$) более весом, чем эффект ($\star$), в итоге талант команды $B$ уменьшится сильнее, чем талант команды $A$, и разница в силе команд увеличится.

в) Казалось бы, очевидно, что суммарная прибыль не может измениться - в конечном итоге, мы всего лишь перераспределяем некий пирог между двумя командами. Однако, из-за того, что перераспределение меняет стимулы команд к инвестированию в свою силу, сам размер этого пирога может измениться.

Заметим сначала, что суммарные издержки команд на найм игроков уменьшатся (это явно следует из пункта (а)). Что будет с суммарной выручкой команд? Рассмотрим ситуацию, когда в результате введения перераспределения доходов разница в силе команд растет. Значит, вероятность победы команды $A$ (и выручка этой команды до фактического перераспределения) растет, а вероятность победы команды $B$ (и ее выручка до фактического перераспределения) падает. Однако, выручка команды $A$, скорее всего, вырастет сильнее, чем упадет выручка команды $B$ (так как $A$ - клуб с большим объемом рынка). Например, если зависимость выручки от вероятности победы линейна, это точно будет так.
Значит, возможна ситуация, при которой суммарная выручка команд вырастет.

Следовательно, и суммарная прибыль команд может вырасти.

Заключительный этап: второй день 8-9 классы

1. Гаджет и Микросхемов

Господин Гаджет, которого вы встречали 21 февраля, всё еще является единственным продавцом гаджетов. Если он установит на свою продукцию цену $p\le 100$ рублей за штуку, то у него купят, как и раньше, $100-p$ единиц продукции (в ином случае не купят ничего).

За прошедшие две недели, однако, он узнал о существовании нового типа микросхем, производимых господином Микросхемовым, и решил использовать их в своем производстве. Между ними давняя история отношений: раньше Микросхемов работал на фирме господина Гаджета, но затем уволился, создал свою фирму и стал единственным производителем микросхем нового типа, которые подходят господину Гаджету (больше такие микросхемы никому не нужны). Обладая таким опытом, господин Микросхемов хорошо знает, что для производства каждого гаджета требуется всего две микросхемы нового типа, а также знает спрос на гаджеты. Сам господин Микросхемов тратит на производство единицы своей продукции 10 рублей.

Взаимодействие между ними устроено следующим образом. Сначала господин Микросхемов назначает цену на единицу своей продукции, после этого господин Гаджет решает, сколько микросхем закупить и по какой цене продавать гаджеты. Каждый из них при принятии решения учитывает его последствия и стремится заработать как можно большую прибыль (разницу между доходами и расходами). Чему будет равна максимальная прибыль каждого из предпринимателей?

Решение

Пусть Микросхемов установил цену за одну микросхему в размере $q$. Тогда господин Гаджет, назначив цену за один гаджет $p\leqslant 100$, сможет получить прибыль в размере
$$
\pi_G(p,q)=p(100-p)-2(100-p)q=-p^2+p(100+2q)-200q.
$$
Графиком этой функции является парабола с рожками, напраленными вниз. Вершина параболы находится в точке $50+q$. Если $q\leqslant 50$, то $q+50\leqslant 100$ и господин Гаджет получит прибыль в размере
$$
\pi_G(50+q,q)=(q-50)^2.
$$
Если $q>50$, то максимальная прибыль Гаджета будет достигаться при цене $p=100$, и она будет равна 0, он не продаст ни одного гаджета и не купит ни одной микросхемы. Если $q<50$, то прибыль Микросхемова имеет вид
$$
\pi_M(q+50)=2(100-50-q)(q-10)=2(q-10)(50-q).
$$
Графиком этой функции также является парабола с рожками вниз, ее вершина находится в точке $q=30$. Тогда прибыль Микросхемова будет равна 800 рублей, а прибыль Гаджета - 400 рублей. }

2. ЛДН

OOO «ЛДН» производит три товара — Л, Д и Н. В производстве каждого из трех товаров используются два материала — A и B. Компания, поставляющая эти материалы, уведомила ООО «ЛДН», что в следующем месяце она не сможет поставить больше, чем по 2750 единиц каждого из материалов. Других поставщиков компания найти в течение месяца не сможет.

Информация о трех товарах приведена в таблице:

Товар Л Д Н
Расход материала А на ед. товара, ед. 4 5 4
Расход материала B на ед. товара, ед. 5 3 7
Максимальный спрос, ед. в месяц 150 200 250
Прибыль от продажи единицы товара, руб./ед 15 12 16

Определите, сколько каждого из товаров следует произвести фирме, чтобы ее прибыль была наибольшей.

Решение

Сначала проверим, хватит ли фирме материалов, чтобы удовлетворить максимальный спрос на каждый из трех товаров. Расход материала А в этой ситуации составит $4\cdot 150+ 5\cdot 200+ 4\cdot 250=2600<2750$ единиц, то есть этого материала в любом случае хватит. В дальнейшем можно не учитывать этот материал.

Расход материала B составит $5\cdot 150+3\cdot 200+7\cdot 250=3100>2750$. Таким образом, этого материала не хватит, а значит, один или несколько товаров придется в продать в меньшем количестве.

Как определить, какие количества товаров следует произвести фирме? Наш редкий ресурс --- материал B; нужно распределить его исходя из того, какова отдача на одну единицу этого ресурса.

Рассчитаем эту отдачу для трех товаров. Для товара Л она равна $15/5=3$ рубля, для товара Д она равна $12/3=4$ рубля , для товара Н она равна $16/7$ рубля, что меньше 3.

Таким образом, в первую очередь нужно будет тратить материал B на товар Д, во вторую очередь на товар Л, и только в третью очередь на товар Н. При этом на товары Д и Л мы потратим в сумме $150\cdot 5+200\cdot 3=1350$ единиц материала B, и на Н мы сможем потратить лишь $2750-1350-1400$ единиц. Значит, максимальное количество товара Н, которое фирма сможет произвести, равно $1400/7=200$ единиц.

3. Магазины в Кукумбрии

Страна Кукумбрия имеет форму прямой дороги длиной 100 километров. В стране есть 101 житель, каждый из них живет в отдельном доме. Все дома расположены на одной стороне дороги, расстояние между любыми соседними домами равно 1 км (считайте, что сами дома не имеют ширины). Другая сторона дороги предназначена для магазинов, в которых продется единственный товар — огурцы. В зависимости от ситуации, количество магазинов может оказаться разным, единственное ограничение — два магазина не могут располагаться ближе, чем на расстоянии 1 км друг от друга. Например, если в стране будет 4 магазина на расстоянии 14, 32, 71 и 94 км от начала дороги, то ситуация будет выглядеть следующим образом:

cuc1.png

Каждый житель Кукумбрии каждый день отправляется в ближайший к нему магазин и покупает там ровно один огурец по установленной государством цене 18 тугриков. Если ближайших к нему магазинов два (он живет посередине между ними), то он ходит в них поочередно, поэтому можно считать, что каждый из этих магазинов зарабатывает на нем в среднем 9 тугриков в день.

Фирма «Пупырышек» рассматривает возможность открыть в Кукумбрии магазин или сеть магазинов. Издержки на содержание одного магазина составят 100 тугриков в день независимо от того, сколько огурцов там будет продано, других издержек у фирмы нет (сами огурцы имеются у нее в неограниченном количестве бесплатно).

Фирма «Пупырышек» сама выбирает, сколько и где магазинов открыть, максимизируя суммарную прибыль всех своих магазинов. Опишите, как будет выглядеть сеть магазинов «Пупырышек» (сколько будет магазинов и где они будут располагаться) в каждом из следующих случаев.
а) Других магазинов в стране нет, то есть до прихода «Пупырышка» ситуация выглядела так:

cuc2.png

б) В стране уже работает фирма «Зернышко», единственный магазин которой расположен в середине дороги:

cuc3.png

в) Шесть магазинов сети «Зернышко» расположены через 20 км друг от друга:

cuc4.png

г) Одиннадцать магазинов сети «Зернышко» расположены через 10 км друг от друга:

cuc5.png

Решение

В целом, фирме выгодно открывать магазин, если доход от него будет выше издержек на его содержание. Если количество покупателей в данном магазине равно $N$, то магазин выгоден при $18N>100$. С учетом целочисленности покупателей, это эквивалентно $N\ge 6$, то есть магазин выгоден, если привлекает не меньше шести покупателей. При этом, если фирма решила открыть магазин, то ей нужно стремиться максимизировать количество покупателей, потому что издержки от него не зависят.
а) Где бы ни был расположен магазин, все покупатели придут в него. $101>6$, так что фирма откроет один магазин в любой точке. Открывать второй магазин невыгодно, поскольку он увеличивает издержки, не меняя доходов.
б) В этом случае страна как бы разбивается на два зеркально симметричных отрезка длиной 50 км. Рассмотрим левый отрезок $[0; 50]$. На нем, если считать концы, живет 51 покупатель. Тот из них, который живет в точке 50 (на правом конце отрезка, в середине страны), всегда будет ходить в магазин «Зернышко», поскольку он для него точно будет ближайшим. Покажем, как фирме «Пупырышек» заполучить 50 остальных покупателей. Покупатель, живущий в координате 49, придет к ней, если она будет стоять к нему ближе, чем магазин «Зернышко», то есть на интервале $(48;50)$. Поскольку ближе, чем на километр от конкурента, вставать нельзя, множество точек, позволяющих получить этого покупателя, составляет $(48; 49]$. Вставая в любую из этих точек, магазин получает максимальную прибыль от продаж жителям отрезка $[0;50]$.

Рассуждая аналогично, можно показать, что в правой части страны единственный нужно разместить на отрезке $[51;52)$. Таким образом, у фирмы будет 2 магазина, в каждый из которых придет 50 покупателей (они обозначены точками):

в) В этом случае страна разбивается на 5 отрезков, каждый длиной 20 км. Рассмотрим первый из них. Поставив один магазин в середине, фирма может привлечь 10 покупателей (8 будут ходить только в этот магазин и еще двое - чередовать), $11>6$, так что выгодно открыть по крайней мере один магазин. При этом если магазин открыт в координате $x$, то в «зону влияния» фирмы Пупырышек попадает отрезок $[x/2;(20+x)/2]$. Длина этого отрезка в любом случае равна 10, и выручка с него в любом случае будет равна 180 (при этом иногда это будут 10 целых покупателей, а иногда 9 целых и два «половинчатых»), а прибыль $180-100=80$.

Может ли фирма получить б\'{о}льшую прибыль с отрезка, если разместит там больше одного магазина? Как и в предыдущем пункте, в этом случае нужно размещать магазины близко к конкурентам, чтобы заполучить максимальное количество покупателей (точнее, первый магазин должен располагаться в точке из интервала $[1; 2)$, а второй - в точке из интервала $(18; 19]$). Так можно стимулировать прийти всех покупателей, кроме тех, которые живут непосредственно рядом с магазинами конкурентов. Таким образом, в два магазина придут 19 покупателей, общая прибыль на отрезке составит $19\times 18 - 2\times 100 = 142$. Это больше, чем 80, которые можно было получить с одного магазина. Любые дополнительные магазины не увеличат прибыль фирмы, так как больше 19 покупателей с каждого отрезка всё равно получить нельзя.

То же самое нужно проделать на остальных отрезках, общая ситуация будет выглядеть следующим образом:


г) Если фирма поместит на каком-то из 10 отрезков, на которые разбивается страна, один магазин, то он привлечет только 5 покупателей, но $5<6$, так что открывать один магазин невыгодно. Вместе с тем, больше 9 покупателей на каждом отрезке также нельзя привлечь (покупатели, живущие в координатах, кратных 10, привязаны к «Зернышкам»), так что открытие двух или бОльшего числа магазинов тоже не может быть выгодным. Получаем, что в этих условиях фирма «Пупырышек» не откроет ни одного магазина.

4. Билеты на футбол

Президент футбольного клуба города N-ска обратил внимание, что доходы клуба от продажи билетов на матчи команды очень невелики. На заседании совета директоров клуба он произнес пламенную речь:

«Позор! Я получил последние данные о доходах клуба. Они чрезвычайно низки. Особенно низки доходы от продажи билетов на стадион. Они даже упали по сравнению с доходами прошлого сезона, и это несмотря на то, что перед нынешним сезоном мы успешно продали права на трансляцию матчей нашей команды в N-ске кабельному оператору!.. Посмотрите, например, на команду из города М-ска! На ее матчи стабильно приходит в три, а то и в четыре раза больше зрителей, чем на наши матчи. А чем мы хуже? Значит, и на наши матчи может приходить в 4 раза больше болельщиков! Давайте искать выход из этой ситуации. Купим несколько звезд. Иванов, какие игроки тебе нужны? Месси? Роналду? Что? Говоришь, лучше поднимем цены на билеты? Голова, Иванов! Фёдоров, со следующего матча поднимай цены на билеты на 20 \%! Запомните: пока не научимся получать высокий доход, мы обречены на поражения! Иванов, опять мысль пришла? Отменить абонементы на все матчи сезона со следующего чемпионата? Действительно, за те же матчи мы бы получили большую сумму, если бы продавали билеты по отдельности на каждый матч. Голова, Иванов, голова!..»

Есть ли в произнесенной речи экономические ошибки? Если да, процитируйте все соответствующие утверждения и поясните, почему они не соответствуют экономической логике.

Решение

  1. <<Они даже упали по сравнению с доходами прошлого сезона, и это несмотря на то, что перед нынешним сезоном мы успешно продали права на трансляцию матчей нашей команды в N-ске кабельному оператору!>>

    Продажа прав на телетрансляцию футбольных матчей клуба в родном городе может иметь несколько разнонаправленных эффектов на спрос на билеты на стадион. С одной стороны, телетрансляции могут привлечь на стадион новых болельщиков, которые до этого не знали о том, что в N-ске существует футбольная команда. С другой стороны, те, кто раньше ходил на стадион, теперь могут предпочесть смотреть футбол в более комфортных условиях дома. Неочевидно, какой из этих эффектов сильнее, поэтому однозначно утверждать, что в новом сезоне посещаемость домашних матчей команды должна была возрасти, нельзя.

  2. <<Посмотрите, например, на команду из города М! На ее матчи стабильно приходит в три, а то и в четыре раза больше зрителей, чем на наши матчи. А чем мы хуже? Значит, и на наши матчи может приходить в 4 раза больше болельщиков!>>

    Некорректно сравнивать посещаемость матчей разных команд, да еще и из разных городов. Во-первых, города N и M могут быть несопоставимы по количеству жителей. Во-вторых, даже в одном городе разные команды могут изначально иметь совершенно разный уровень поддержки. В-третьих, у команд могут быть разные по вместимости стадионы.

  3. <<Давайте искать выход из этой ситуации. Купим несколько звезд. Иванов, какие игроки тебе нужны? Месси? Роналду?>>

    Несмотря на то, что покупка футбольных звезд действительно может привлечь на стадион больше болельщиков, изменение прибыли клуба в результате совершения такой операции, скорее всего, будет отрицательным - стоимость футбольных суперзвезд несопоставимо выше потенциальных дополнительных доходов от продажи билетов.

  4. <<Говоришь, лучше поднимем цены на билеты? Голова, Иванов! Фёдоров, со следующего матча поднимай цены на билеты на 20 %!>>
    Такая мера может, наоборот, привести к сокращению прибыли. Увеличение цены на билеты приведет к снижению числа болельщиков на стадионе. Необходимо было сначала провести исследование, компенсирует ли дополнительный доход от увеличения цены на билеты для тех, кто продолжит ходить на стадион, потери, связанные с отказом покупать билеты по более высокой цене частью болельщиков.
  5. <<Запомните: пока не научимся получать высокий доход, мы обречены на поражения!>>

    Максимизация дохода и максимизация вероятности победы в турнире - это разные задачи. Бывают команды, которые обладают не очень большим бюджетом, но при этом показывают гораздо более хорошие спортивные результаты, чем команды с большим бюджетом.

  6. <<Отменить абонементы на все матчи сезона со следующего чемпионата? Действительно, за те же матчи мы бы получили большую сумму, если бы продавали билеты по отдельности на каждый матч>>.

    Проблема в том, что болельщик не обязан покупать билет на каждый матч. Он может заболеть, уехать в отпуск, да и просто разочароваться в любимой команде. А покупая абонемент, он сразу платит за все матчи сезона (пусть и меньшую сумму). Поэтому отмена абонементов может привести к сокращению доходов клуба. Кроме того, поскольку готовность платить за каждый следующий матч отдельно взятого болельщика может быть меньше, чем за предыдущий, продавая все билеты сразу (в виде абонемента), можно установить более высокую среднюю цену посещения матча.

5. Рассрочка

Рассрочка — это способ продажи товара, при котором сумма, уплачиваемая покупателем, распределяется во времени. В отличие от обычного кредита, при рассрочке не должно быть никаких дополнительных переплат: процентов, комиссий и т. п. — общая сумма, уплаченная покупателем в итоге, должна быть равна цене товара. Как правило, стоимость товара вносится через небольшие промежутки времени (например, раз в месяц) равными частями. В случае покупки товара в рассрочку между покупателем и продавцом нет посредника в виде банка, то есть продавец получает деньги не сразу (как было бы в случае банковского кредита), а в том же режиме, в каком потребитель их платит.
а) Аристарх Ксенофонтович пришел в магазин за пылесосом и увидел, что продавец предлагает всем желающим рассрочку платежа. Он отказался от предложения, высказав следующий аргумент: «Если бы у меня не было необходимой суммы, то это было бы выгодным предложением. Но поскольку сумма, равная цене пылесоса, уже заготовлена и лежит у меня в кошельке, никакой выгоды от рассрочки для меня нет». Прав ли Аристарх Ксенофонтович? Приведите рассуждения и/или расчеты, подтверждающие или опровергающие его слова.
б) Аполлинарий Ермолаевич, менеджер торговой сети по продаже бытовой техники, утверждает: «Нам нет никакого смысла продавать наш товар в рассрочку, потому что получить оплату сразу всегда выгоднее, чем через какое-то время». Прав ли Аполлинарий Ермолаевич? Приведите рассуждения и/или расчеты, подтверждающие или опровергающие его слова.
в) Несмотря на мнение Аполлинария Ермолаевича, некоторые магазины всё же продают товар в рассрочку. Как вы думаете, с какими еще проблемами (помимо позднего получения денег) они могут столкнуться при этом?
Решение

а) Если Аристарх Ксенофонтович не заплатит всю сумму сразу, а согласится на рассрочку, то он может положить в банк остаток денег и снимать их по мере того, как будут подходить сроки очередных платежей. Проценты, которые банк будет выплачивать по депозиту, станут чистым выигрышем Аристарха Ксенофонтовича.
б) Поскольку продажа товаров в рассрочку выгодна покупателям (см. пункт а)), появление такой услуги может увеличить спрос на продукцию торговой сети, создав конкурентное преимущество (некоторые из тех, кто не могут или не хотят покупать товар сразу, могут купить его в рассрочку). Таким образом, потери, связанные с отсрочкой платежей, могут быть компенсированы возросшим спросом.
в)

  • В отличие от продажи товара с оплатой сразу (а также от продажи товара в кредит с посредником в виде банка), в случае рассрочки магазин не получает деньги сразу, при этом сразу передает товар. Магазин, таким образом, сталкивается с риском, что покупатель не сможет совершить очередной платеж (например, он внезапно потеряет работу). Магазин сможет потребовать товар обратно, но не факт, что товар, которым потребитель пользовался несколько месяцев, будет в идеальном состоянии и иметь товарный вид. Все эти риски придется закладывать в цену, что может при прочих равных условиях снизить конкурентное преимущество, создаваемое рассрочкой.
  • Даже если снижение величины спроса, вызванное повышением цены из-за рисков, будет несущественным, может быть еще одна проблема. Магазин, в отличие от банка, не является организацией, специализирующейся на оценке кредитных рисков, поэтому его расчеты (на сколько повысить цену, кому одобрять рассрочку и т. п.) могут содержать систематические ошибки, и он может понести убытки.

Заключительный этап: первый день 10-11 классы

1. Вклад Марьи

В день своего восемнадцатилетия Марья открыла вклад в банке и положила на него некоторую сумму. Банк начислял на сумму вклада 10 % в конце каждого года перед очередным Днем рождения Марьи и прибавлял эти проценты к основной сумме (каждый следующий год проценты начислялись на бoльшую сумму, чем предыдущий. В каждый свой День рождения Марья добавляла на вклад 10 000 рублей, никаких других операций с деньгами на вкладе не производилось. Когда Марье исполнилось 22 года, она впервые не стала добавлять 10 000 рублей ко вкладу, а закрыла его. В этот момент на вкладе было 80 333 рубля. Какую сумму нужно было бы Марье положить в банк в день своего восемнадцатилетия, чтобы она принесла столько же денег за 4 года без пополнений вклада? Запишите ответ в рублях, при необходимости округлив его до целых.
Решение

Если бы Марья положила на счет сумму $X$ и ничего не делала с ней в течение 4 лет, то она увеличилась бы в 1,1 раза (на 10 %) четырежды. В итоге она стала равна $X\times 1,1^4$. Составим уравнение:
$$X\times 1,1^4 = 80 333.$$ Отсюда $X\approx 54 869$.

2. Девяносто девять цен

В магазине продаются 99 разных товаров. Магазин закупает товар i ($i=1, 2, \ldots, 99$) по цене $500/i$ рублей. Если магазин назначит цену $p$ на товар $i$, покупатели купят $i/p^2$ единиц этого товара. Магазин стремится получить максимальную прибыль (разницу между своими доходами и своими расходами на закупку) от перепродажи товаров. Допустим, магазин может назначать на товары любые цены. Какую цену он назначит на товар с номером i?
Решение

Если магазин назначит цену $p_i$ за товар $i$, то будет куплено $q_i=i/p^2$ единиц товара. Тогда его прибыль от продажи этого товара будет равна
$$\pi_i=\frac{i}{p_i^2}\left(p_i - \frac{500}{i}\right)=\frac{i}{p_i^{\phantom{1}}}- \frac{500}{p_i^2}.$$ Проведем замену $t=1/p_i$, получим $\pi_i=i t - 500t^2$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз, ее вершина находится в точке
$$
t^\star=\frac{i}{1000}, \qquad p_i^\star=\frac{1000}{i}.
$$

3. Двойной пирог

Агриппина и Валентин делят вкусный пирог. Пирог представляет собой прямоугольник 100 см × 10 см и может быть разрезан на две части только вдоль короткой стороны так, чтобы длина каждой из сторон составляла целое число сантиметров. Одна половина пирога (50 см × 10 см) состоит из птичьего молока, а другая — из бисквита, при этом Агриппина больше любит птичье молоко, а Валентин — бисквит. Каждый из ребят из двух кусков всегда предпочитает тот, в котором больше его любимого ингредиента, а если любимого ингредиента в кусках поровну, то тот, который больше по площади.

Механизм дележа устроен следующим образом. Агриппина подбрасывает монетку, по результатам этого определяется очередность дальнейших ходов. Тот, кто выиграл жребий, разрезает пирог любым возможным способом на две части, после чего второй выбирает себе часть, а вторая часть остается разрезавшему. На сколько процентов площадь куска, доставшегося Агриппине, при благоприятном для нее исходе жребия будет больше, чем при неблагоприятном? При необходимости округлите ответ до целого числа процентов.

Решение

Пусть кто-то каким-то образом разрезал пирог. Тогда второй участник дележа будет поступать следующим образом. Если среди двух частей есть часть, в которой больше его любимого ингридиента, то он выберет именно эту часть. Если обе части содержат одинаковое количество его любимого ингридиента, то он выберет большую по площади часть. Это означает, что тот, кто выбирает одну из двух частей, может гарантировать себе как минимум половину от общей массы своего любимого ингридиента при любом разрезе. Значит, тот, кто производит разрез, в лучшем случае может претендовать на 100 % любимого ингридиента плюс чуть меньше половины менее любимого ингридиента. Чтобы обеспечить себе максимально хороший результат, он должен разрезать пирог на два куска: 74 см $\times$ 10 см и 26 см $\times$ 10 см, где кусок 26 см $\times$ 10 см целиком состоит из нелюбимого ингридиента. Тогда разрезавший пирог получит кусок площадью 740 $\text{см}^2$ (причем он получит всю часть со своим любимым ингридиентом), а выбирающий одну из двух частей получит кусок пирога площадью 260 $\text{см}^2$. Поэтому при удачном жребии площадь доставшегося пирога будет на $$\frac{740-260}{260}\times 100 \%\approx 185 \%$$ больше, чем при неудачном.

4. Два ковбоя

Версия 8—9 классов

Два ковбоя зашли в салун. У каждого из них в кармане по 5 монет. В салуне стоит музыкальный автомат и продается молоко. Прослушивание одной песни и кружка молока стоят по одной монете, можно прослушать только целое число песен и выпить целое количество кружек молока. Кружка молока приносит каждому из ковбоев по 2 единицы удовольствия, прослушивание одной песни приносит первому ковбою 1 единицу удовольствия, а второму — 2 единицы удовольствия. (Если один из ковбоев платит за прослушивание песни, второй также слышит ее.) Каждый из ковбоев потратил все свои деньги на молоко.

Могли ли ковбои договориться таким образом, чтобы удовольствие каждого было строго больше? Если не могли, напишите «нет», а если могли, то приведите пример такой договоренности в виде $(m_1, m_2, s_1, s_2)$, где $m_1$ и $m_2$ — количество выпитого первым и вторым ковбоем молока, а $s_1$ и $s_2$ — количество заказанных первым и вторым ковбоем песен. (Изначальная комбинация в этом виде записывается как $(5, 5, 0, 0)$.)

Версия 10—11 классов

Два ковбоя зашли в салун. У каждого из них в кармане по 5 монет. В салуне стоит музыкальный автомат и продается молоко. Прослушивание одной песни и кружка молока стоят по одной монете, можно прослушать только целое число песен и выпить целое количество кружек молока. Кружка молока приносит каждому из ковбоев по 2 единицы удовольствия, прослушивание одной песни приносит первому ковбою 1 единицу удовольствия, а второму — 2 единицы удовольствия. (Если один из ковбоев платит за прослушивание песни, второй также слышит ее.) Каждый из ковбоев потратил все свои деньги на молоко.

На следующий день ковбои согласовали действия так, чтобы удовольствие каждого из них было строго больше, чем в первый день. Какое максимальное количество кружек молока мог при этом выпить второй ковбой во второй день?

Решение

Версия 8—9 классов

Могли.

Удовольствие первого ковбоя можно посчитать по формуле $U_1=2m_1+s_1+s_2$, а удовольствие второго ковбоя равно $U_2=2m_2+2(s_1+s_2)$. Тогда в изначальном варианте удовольствие каждого ковбоя равно 10. Рассмотрим, например, четверку чисел $(4, 3, 1, 2)$, при которой каждый ковбой тратит все свои 5 монет. В этом случае удовольствие первого ковбоя будет равно $U_1=2\times 4 + 1+ 2=11$, а удовольствие второго ковбоя будет равно $2\times 3+ 2\times (1+2)=12$, то есть каждому ковбою стало лучше, чем было. Можно построить и другие примеры подходящих распределений монет.

Почему так происходит? Заказывая две песни вместо двух кружек молока, второй ковбой не меняет свое удовольствие (кружка и песня стоят одинаково и приносят одинаковое удовольствие), но повышает удовольствие первого ковбоя на две единицы. Второй ковбой может ответить взаимностью: заказав одну песню вместо кружки молока, он уменьшит свое удовольствие на единицу (но всё равно будет в плюсе в результате действий второго ковбоя), но увеличит удовольствие второго. Максимизируя не только свое удовольствие, каждый ковбой улучшает общую ситуацию.

Версия 10—11 классов

1) Допустим, второй ковбой пьет 5 кружек молока во второй день. Значит, он не слушает ни одной песни. Значит, чтобы ему стало строго лучше, чем в первый день, первый ковбой должен заказать хотя бы одну песню. Однако в этом случае удовольствие первого будет строго ниже, чем в первый день, так как песни приносят ему меньше удовольствия, чем молоко. Значит, в этой ситуации не может быть так, что удовольствие каждого из них строго больше во второй день, чем в первый.

2) Допустим, второй ковбой пьет 4 кружки молока во второй день и слушает 1 песню. Если первый ковбой не закажет ни одной песни, удовольствие второго будет равно 10, как и в первый день. Значит, первый должен заказать хотя бы одну песню. Обозначим, количество заказываемых им песен за $s_1>0$. Чтобы удовольствие первого было строго больше, чем в первый день, должно выполняться неравенство $1+s_1+2(5-s_1)>10$, то есть $s_1<1$, что противоречит $s_1>0$. Значит, в этой ситуации не может быть так, что удовольствие каждого из них строго больше во второй день, чем в первый.

3) Приведем пример ситуации, когда второй ковбой пьет 3 кружки молока во второй день, и обоим лучше, чем в первый день. Пусть первый ковбой пьет 4 кружки и заказывает 1 песню, а второй пьет 3 кружки заказывает 2 песни. Тогда удовольствие первого будет равно $4\times 2+3\times 1 =11>10$, а второго — $3\times 2+3\times 2=12>10$.

5. Спринтеры

Два ученика легкоатлетической школы олимпийского резерва, Аристарх и Платон, решили устроить между собой неофициальное соревнование — кто из них будет лучше бегать стометровку в течение летнего сезона. Их тренер Владимир Петрович сообщил, что в течение сезона ожидается 5 контрольных забегов, на каждом из которых будет фиксироваться время финиша Аристарха $(a_1, \ldots, a_5)$ и Платона $(p_1, \ldots, p_5)$, где $a_i> 0$, $p_i>0$ — время финиша Аристарха и Платона на i-м забеге соответственно, $i=1, \ldots, 5$. Спортсмены задумались, как им определить по этим результатам, кто из них лучше бегает. Предлагается 4 схемы.

  1. Аристарх предлагает посчитать среднее арифметическое результатов и сравнить их.
  2. Платон считает, что справедливо было бы сравнивать между собой только лучшее время Аристарха и Платона.
  3. Владимир Петрович предлагает попробовать систему, похожую на систему оценок в прыжках в воду: отбросить лучший и худший результат каждого, а оставшиеся результаты сравнить по среднему арифметическому.
  4. Жена Владимира Петровича Елена Никифоровна, узнав о споре, тоже предложила свою систему сравнения результатов. Она предлагает после каждого забега рассмотреть разность результатов атлетов на этом забеге (время Аристарха минус время Платона) и прибавить ее к разнице, накопленной за предыдущие забеги. Если после 5 забегов эта накопленная разность будет положительной, то выиграл Платон, если отрицательной — Аристарх, а если нулевой, то ничья.

Будем говорить, что две системы сравнения результатов эквивалентны, если для любого возможного набора результатов $(a_1, \ldots, a_5)$ и $(p_1, \ldots, p_5)$, обе системы отдают первенство одному и тому же участнику. Какие из четырех приведенных систем сравнения результатов эквивалентны, а какие — нет? Для каждой пары либо докажите эквивалентность, либо приведите контрпример.

Решение

Покажем сначала, что первый и четвертый способы сравнения результатов эквивалентны. Пусть $a_1, \ldots, a_5$ — результаты Аристарха, а $p_1, \ldots, p_5$ — результаты Платона. Разность сравниваемых величин при использовании первой схемы равна
$$
\frac{a_1+\ldots+a_5}{5}-\frac{p_1+\ldots+p_5}{5}=\frac{1}{5}\cdot \left((a_1-p_1)+\ldots+(a_5-p_5)\right).
$$
Но последняя сумма — это ровно одна пятая от накопленной разности результатов, используемой в четвертой схеме сравнения, а значит она принимает тот же самый знак. Следовательно, при любом наборе результатов забегов первая и четвертая схемы определят одного и того же победителя.

Чтобы доказать, что две схемы неэквиваленты, приведем набор результатов, на котором эти схемы отдают предпочтение разным участникам.

1) Первая и вторая схемы неэквивалентны. Пусть
$$
a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=10, \quad p_1=p_2=p_3=10, \quad p_4=9,9, \quad p_5=11.
$$
Тогда при использовании первой схемы сравнения результатов победит Аристарх, а при второй — Платон.

2) Первая и третья схемы неэквивалентны. Положим
$$
a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=10, \quad p_1=p_2=10, \quad p_3=p_4=9,9, \quad p_5=11.
$$
Тогда при использовании первой схемы сравнения результатов победит Аристарх, а при третьей — Платон.

3) Вторая и третья схемы неэквивалентны. Рассмотрим набор результатов
$$
a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=10, \quad p_1=p_2=10, \quad p_3=9,9, \quad p_4=p_5=11.
$$
Тогда при использовании второй схемы сравнения результатов победит Платон, а при третьей — Аристарх.

Поскольку первая схема эквивалентна четвертой и не эквивалентна никакой другой, то четвертая схема не эквивалентна ни второй, ни третьей схеме.

6. Расселение

Алексей, Борис, Владимир и Георгий поступили в университет и получили право жить в общежитии. На данный момент в общежитии свободны как раз 4 места в 4 разных комнатах, в которых уже живут другие студенты. Ребята имеют различные предпочтения относительно соседей, с которыми они хотели бы жить, и потому различные предпочтения относительно четырех имеющихся мест. Информация о предпочтениях приведена в таблице.

Студент Предпочтения
Алексей $1 \succ 2 \succ 3 \ \succ 4$
Борис $1 \succ 3 \succ 4 \ \succ 2$
Владимир $3 \succ 1 \succ 2 \ \succ 4$
Георгий $4 \succ 1 \succ 2 \ \succ 3$

Запись $1 \succ 3 \succ 4 \ \succ 2$, например, означает, что для Бориса первая комната лучше, чем третья, та, в свою очередь, лучше, чем четвертая, и, наконец, четвертая лучше, чем вторая.

Назовем распределение четверых ребят по комнатам неэффективным, если они могут поменяться комнатами так, чтобы никому не стало хуже и хотя бы одному из них стало лучше. В противном случае будем называть распределение эффективным.

а) Является ли эффективным распределение $(\text{А}-2;\text{Б}-3;\text{В}-4;\text{Г}-1)$?
б) Сколько всего существует эффективных распределений?

Решение

а) Это распределение не является эффективным, так как если Борис переедет в комнату 1, Владимир переедет в комнату 3, а Георгий — в комнату 4, то этим троим ребятам станет строго лучше, а Алексею будет не хуже (так как он останется в той же комнате).
б) Проведем организованный перебор.

1) Алексей живет к комнате 4. Значит, Георгий — не в комнате 4. Следовательно, если Алексей и Георгий поменяются комнатами, им обоим станет лучше (а остальным будет не хуже). Значит, любое такое распределение неэффективно.

2) Алексей живет в комнате 3. Значит, Владимир живет не в комнате 3. Если он живет в комнатах 1 или 2, он может поменяться с Алексеем, и обоим станет лучше. Если он живет в комнате 4, он может поменяться с Георгием, и обоим станет лучше. Значит, любое распределение, при котором Алексей живет в комнате 3, неэффективно.

3) Алексей живет в комнате 2. Значит, остальные ребята занимают комнаты 1, 3 и 4. Заметим, что при распределении (Б – 1;В – 3;Г – 4) каждый из трех остальных ребят получает лучшую, со своей точки зрения, комнату. Поэтому распределение (А – 2;Б – 1;В – 3;Г – 4) эффективно, и, если Алексей живет в комнате 2, эффективно только это распределение.

4) Алексей живет в комнате 1. Нетрудно видеть, что распределения (А – 1; Б – 2; В – 3; Г – 4), (А – 1; Б – 3; В – 2; Г – 4) и (А – 1; Б – 4; В – 3; Г – 2) эффективны, а распределения (А – 1; Б – 3; В – 4; Г – 2), (А – 1; Б – 2; В – 4; Г – 3) и (А – 1; Б – 4; В – 2; Г – 3) — нет.
Таким образом, существует 4 эффективных распределения.

7. Рейтинги

Чтобы определить стоимость того или иного финансового инструмента (ценной бумаги), нужно учесть множество факторов, характеризующих как сам инструмент и его эмитента (того, кто выпустил ценную бумагу), так и общую ситуацию в экономике. Провести такую оценку, однако, иногда очень сложно, и не все инвесторы в каждом случае могут позволить себе это сделать. Чтобы лучше понять риски вложения, они зачастую опираются на рейтинг, присвоенный той или иной ценной бумаге независимым кредитным рейтинговым агентством. Эта оценка обычно выглядит как комбинация букв, по которой можно определить, как высоко рейтинговое агентство оценивает риски вложения в тот или иной инструмент. Например, AAA — самый лучший рейтинг (надежная, стабильная компания), а C — самый худший (вероятность банкротства очень высока). Cуществует две альтернативные формы устройства рынка рейтингов. При первой схеме инвесторы платят за доступ к рейтингу, при этом для компаний, которым присваиваются рейтинги, эта услуга бесплатна. При второй схеме только компания платит за получение своего рейтинга, а инвесторы имеют свободный доступ к нему.
а) Первая схема была доминирующей на рынке рейтингов до начала 1970-х годов, а после этого периода почти во всех агентствах ей на смену пришла вторая. Предположите, почему это могло произойти? Приведите один самый важный, на ваш взгляд, аргумент.
б) Есть мнение, что вторая схема подвержена конфликту интересов. Объясните, в чем он заключается.
в) В наше время есть три крупнейших мировых рейтинговых агентства: «Standard & Poor's», «Moody's Investors Service» и «Fitch Ratings» (все три американские), которые занимают примерно 95 % рынка. Новым компаниям не удается захватить сколько-нибудь существенную рыночную долю, несмотря на то, что, казалось бы, затраты на старт подобного бизнеса не очень высоки. Предположите, что может быть таким прочным барьером для входа на рынок рейтингов?
Решение

а) Технологические изменения, происходившие в мире в то время, оказали существенное влияние на рынок рейтингов. Благодаря техническому прогрессу, копирования полученной информации стало значительно дешевле, поэтому один инвестор, получив рейтинги, мог дальше заняться «пиратством» почти без издержек. Это делало систему, при который платит инвестор за доступ к рейтингам, бессмысленной, поэтому рейтинговые агентства перешли на систему, когда платит рейтингуемая компания.
б) Если компании платят за рейтинг, они получают ложные стимулы платить за сфабрикованное завышение рейтинга, чтобы их стоимость была больше. Рейтинговые агентства в таком случае ввязываются в «неценовую конкуренцию»: больше компаний обратятся к тому из них, кто ставит более благоприятные рейтинги. Таким образом, у агентств есть противоречащие друг другу стимулы: с одной стороны, нужно ставить справедливые рейтинги (чтобы заработать хорошую репутацию), а с другой, заработать побольше денег.
в) По нескольким причинам, включая описанную в предыдущем пункте, на рынке агентств критическое значение имеет репутация. Эти три агентства уже завоевали доверие инвесторов, поэтому новые агентства не могут войти на рынок.

8. Типичные пингвины

На рынке плюшевых пингвинов «Тоша» действует фирма «ВОШ», а фирма «МОШ» готовится войти на рынок и стать ее конкурентом. Взаимодействие на рынке происходит так: сначала «ВОШ» выбирает объем выпуска $q_1>0$ тыс. шт. и объявляет его, а затем «МОШ», узнав объем выпуска конкурента, решает, входить на рынок или нет. Если она входит, то производит $q_2>0$ тыс. шт., а если не входит, то $q_2=0$. Чтобы попасть в перечень фирм, имеющих право производить плюшевых пингвинов, «МОШ» должна получить лицензию правительства («ВОШ» в лицензии не нуждается). Правительство выдает лицензии бесплатно, но только тем фирмам, у которых хорошо организовано производство, так что фирме «МОШ» придется потратить 100 тыс. рублей на начальные инвестиции, чтобы начать работать. «МОШ» решит войти на рынок, только если разница между доходами и расходами на производство пингвинов будет превосходить эти затраты. Цена одного плюшевого пингвина формируется исходя из объема предложения обеих фирм и равна $P=(110-q_1-q_2)$ руб. Производство типичного пингвина обходится любой из фирм в 10 руб., фирмы при принятии решений учитывают их последствия и стараются получить как можно большую прибыль (разницу между доходами и расходами). Сколько плюшевых пингвинов произведет фирма «ВОШ»?
Решение

Поскольку фирма «ВОШ» первой принимает решение, она может предсказать поведение фирмы «МОШ». Выбирая $q_2$, фирма «МОШ» максимизирует функцию
$$
\pi_2=\begin{cases}
(110-q_1-q_2)q_2-10q_2-100, & \text{если } q_2 > 0, \\
0, & \text{если } q_2=0.
\end{cases}
$$
Если фирма решит выбрать положительное $q_2$, то ее прибыль — парабола с ветвями вниз относительно $q_2$ и вершиной в точке $q_2^\star=50-q_1/2$. Максимальная ее прибыль в этом случае составит (в тысячах рублей)
$$
\pi_2^\star=(100-q_1-(50-q_1/2))(50-q_1/2)-100=(50-q_1/2)^2-100.
$$
Заметим, что эта прибыль положительна при $q_1< 80$, то есть при $q_1\ge 80$ фирма «МОШ» не войдет на рынок. Таким образом, оптимальный выбор второй фирмы задается такой зависимостью:
$$
q_2=\begin{cases}
50-q_1/2, & \text{если } q_1 <80, \\
0, & \text{если } q_1\ge 80.
\end{cases}
$$
Зная реакцию фирмы «МОШ», фирма «ВОШ» может принять одно из двух решений:

1) Производить меньше 80 единиц продукции и допустить вход на рынок фирмы «МОШ». Тогда ее прибыль составит
$$
\pi_1=(100-q_1-(50-q_1/2))q_1=(50-q_1/2)q_1.
$$
Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $q_1^\star=50$. Прибыль фирмы равна $\pi_1^\star=1250$.

2) Произвести $q_2\ge 80$ и остаться единственной фирмой на рынке. В этом случае ее прибыль составит
$$
\pi_1=(100-q_1)q_1.
$$
Это парабола с ветвями вниз с вершиной в точке $q_1=50$, однако эта точка фирме недоступна (при $q_1=50$ вторая фирма войдет на рынок), а самая лучшая из доступных точек $q_1^\star=80$. В этом случае прибыль равна $\pi_1^\star=1600$, что больше, чем прибыль в варианте 1).

Заключительный этап: первый день 8-9 классы

1. Вклад Ивана

В день своего восемнадцатилетия Иван открыл вклад в банке и положил на него некоторую сумму. Банк начислял на эту сумму 10 % в конце каждого года перед очередным Днем рождения Ивана и прибавлял эти проценты к основной сумме вклада (следовательно, каждый следующий год проценты начислялись на большую сумму, чем предыдущий). Никаких других операций с~деньгами на вкладе не производилось. Когда Ивану исполнилось 22 года, он сразу же закрыл вклад, дождавшись очередного начисления процентов. В этот момент на вкладе было 36 602,5 рубля. Какую сумму Иван положил в банк изначально? Запишите ответ в рублях, при необходимости округлив его до целых.
Решение

Пусть искомая сумма равна $X$. Тогда после каждого начисления процентов она увеличивалась на 10 %, то есть в 1,1 раза. Всего начислений было 4, так что $$X\times 1,1^4=36 602,5.$$ Отсюда $X=25 000$.

2. Дели и выбирай

Старший и младший брат делят вкусный пирог. Каждый хочет съесть как можно больший кусок пирога, при этом пирог одинаковый со всех сторон, так что имеет значение только доля, которую съест каждый. Механизм дележа устроен следующим образом. Сначала старший брат подбрасывает монетку, по результатам этого определяется очередность дальнейших ходов. Тот, кто выиграл жребий, разрезает пирог любым способом на две части, после чего второй брат выбирает себе часть, а вторая часть остается разрезавшему.
Предположим, что у старшего брата есть фальшивая монета, на обеих сторонах которой нарисован орел, а младший брат об этом не знает. Старший брат решает использовать фальшивую монету, чтобы гарантированно получить выгодный ему результат жребия. На какое максимальное количество процентов может в результате этого трюка измениться его доля пирога? При необходимости округлите ответ до целого числа процентов.
Решение

Пусть один из братьев каким-то образом разрезал пирог. Тогда второй брат, действуя рационально, выберет большую часть, если одна часть больше другой, и любую из частей, если обе части одинаковы по размеру. Это означает, что тот, кто выбирает одну из двух частей, может гарантировать себе как минимум половину пирога при любом произведенном другим братом разрезе. Значит, тот, кто производит разрез, в лучшем случае может претендовать на половину пирога. Но половину пирога он может обеспечить, для этого ему надо разрезать пирог на две равные по объему части. Следовательно, и тот, кто производит разрез, и тот, кто выбирает одну из двух частей, получат ровно по половине пирога. Поэтому не имеет значения, кто выиграл, а кто проиграл подбрасывание монетки — в любом случае оба брата получат половину пирога.

3. Господин Гаджет

Господин Гаджет является единственным продавцом гаджетов. Если он установит на свою продукцию цену $p\le 100$ рублей за штуку, то у него купят $100-p$ единиц продукции (в ином случае не купят ничего). Чтобы произвести $q$ единиц продукции, требуется $q^2$ микросхем, каждая из которых стоит 9 рублей. Господин Гаджет стремится произвести столько гаджетов, чтобы его прибыль (разница между доходами и расходами) была максимальной. Чему будет равна максимальная прибыль?
Решение

В случае $p>100$ господин Гаджет ничего не продаст и его прибыль будет равна 0. Рассмотрим случай $p\le 100$. В этом случае $p=100-q$ — цена, которую готовы заплатить потребители при покупке $q$ единиц продукции. Прибыль тогда равна $$(100-q)q-9q^2.$$ Это парабола с ветвями вниз, ее вершина находится в точке $q=5$, прибыль равна $250$.

4. Два ковбоя

Версия 8—9 классов

Два ковбоя зашли в салун. У каждого из них в кармане по 5 монет. В салуне стоит музыкальный автомат и продается молоко. Прослушивание одной песни и кружка молока стоят по одной монете, можно прослушать только целое число песен и выпить целое количество кружек молока. Кружка молока приносит каждому из ковбоев по 2 единицы удовольствия, прослушивание одной песни приносит первому ковбою 1 единицу удовольствия, а второму — 2 единицы удовольствия. (Если один из ковбоев платит за прослушивание песни, второй также слышит ее.) Каждый из ковбоев потратил все свои деньги на молоко.

Могли ли ковбои договориться таким образом, чтобы удовольствие каждого было строго больше? Если не могли, напишите «нет», а если могли, то приведите пример такой договоренности в виде $(m_1, m_2, s_1, s_2)$, где $m_1$ и $m_2$ — количество выпитого первым и вторым ковбоем молока, а $s_1$ и $s_2$ — количество заказанных первым и вторым ковбоем песен. (Изначальная комбинация в этом виде записывается как $(5, 5, 0, 0)$.)

Версия 10—11 классов

Два ковбоя зашли в салун. У каждого из них в кармане по 5 монет. В салуне стоит музыкальный автомат и продается молоко. Прослушивание одной песни и кружка молока стоят по одной монете, можно прослушать только целое число песен и выпить целое количество кружек молока. Кружка молока приносит каждому из ковбоев по 2 единицы удовольствия, прослушивание одной песни приносит первому ковбою 1 единицу удовольствия, а второму — 2 единицы удовольствия. (Если один из ковбоев платит за прослушивание песни, второй также слышит ее.) Каждый из ковбоев потратил все свои деньги на молоко.

На следующий день ковбои согласовали действия так, чтобы удовольствие каждого из них было строго больше, чем в первый день. Какое максимальное количество кружек молока мог при этом выпить второй ковбой во второй день?

Решение

Версия 8—9 классов

Могли.

Удовольствие первого ковбоя можно посчитать по формуле $U_1=2m_1+s_1+s_2$, а удовольствие второго ковбоя равно $U_2=2m_2+2(s_1+s_2)$. Тогда в изначальном варианте удовольствие каждого ковбоя равно 10. Рассмотрим, например, четверку чисел $(4, 3, 1, 2)$, при которой каждый ковбой тратит все свои 5 монет. В этом случае удовольствие первого ковбоя будет равно $U_1=2\times 4 + 1+ 2=11$, а удовольствие второго ковбоя будет равно $2\times 3+ 2\times (1+2)=12$, то есть каждому ковбою стало лучше, чем было. Можно построить и другие примеры подходящих распределений монет.

Почему так происходит? Заказывая две песни вместо двух кружек молока, второй ковбой не меняет свое удовольствие (кружка и песня стоят одинаково и приносят одинаковое удовольствие), но повышает удовольствие первого ковбоя на две единицы. Второй ковбой может ответить взаимностью: заказав одну песню вместо кружки молока, он уменьшит свое удовольствие на единицу (но всё равно будет в плюсе в результате действий второго ковбоя), но увеличит удовольствие второго. Максимизируя не только свое удовольствие, каждый ковбой улучшает общую ситуацию.

Версия 10—11 классов

1) Допустим, второй ковбой пьет 5 кружек молока во второй день. Значит, он не слушает ни одной песни. Значит, чтобы ему стало строго лучше, чем в первый день, первый ковбой должен заказать хотя бы одну песню. Однако в этом случае удовольствие первого будет строго ниже, чем в первый день, так как песни приносят ему меньше удовольствия, чем молоко. Значит, в этой ситуации не может быть так, что удовольствие каждого из них строго больше во второй день, чем в первый.

2) Допустим, второй ковбой пьет 4 кружки молока во второй день и слушает 1 песню. Если первый ковбой не закажет ни одной песни, удовольствие второго будет равно 10, как и в первый день. Значит, первый должен заказать хотя бы одну песню. Обозначим, количество заказываемых им песен за $s_1>0$. Чтобы удовольствие первого было строго больше, чем в первый день, должно выполняться неравенство $1+s_1+2(5-s_1)>10$, то есть $s_1<1$, что противоречит $s_1>0$. Значит, в этой ситуации не может быть так, что удовольствие каждого из них строго больше во второй день, чем в первый.

3) Приведем пример ситуации, когда второй ковбой пьет 3 кружки молока во второй день, и обоим лучше, чем в первый день. Пусть первый ковбой пьет 4 кружки и заказывает 1 песню, а второй пьет 3 кружки заказывает 2 песни. Тогда удовольствие первого будет равно $4\times 2+3\times 1 =11>10$, а второго — $3\times 2+3\times 2=12>10$.

5. Тугрики и еврики

С наступлением нового года мистер Франк решил подвести итоги года прошедшего. Ровно год назад он пришел в отделение банка с целью взять два кредита: один для покупки машины, а другой — на образование сыну. Изучив условия кредитов, предлагаемых банком, он решил взять сумму 120 000 тугриков под 32 % годовых, а также эквивалент этой суммы в евриках под 10 % годовых. Обменный курс на тот момент составлял 60 тугриков за 1 еврик. Срок погашения обоих кредитов — один год, то есть вернуть оба кредита с процентами нужно сейчас. Считайте, что в любой момент можно менять валюты в любую сторону по действующему на этот момент валютному курсу.

В середине года еврики неожиданно подорожали относительно тугриков на $X$ %. Какие значения может принимать $X$, если известно, что кредит в тугриках оказался выгоднее кредита в евриках?

Решение

Взяв в банке 120 000 тугриков, мистер Франк должен заплатить в конце $120 000\times 1,32=158 400$. Эквивалентом изначальной суммы в евриках было $120 000/60=2 000$ евриков. Значит, через год он должен вернуть $2 000\times 1,10=2 200$ евриков, что на этот момент эквивалентно $2 200\times 60\times (1+X/100)$ тугриков. Чтобы кредит в тугриках оказался выгоднее, выплата по нему должна быть меньше, то есть должно быть выполнено $158 400< 2 200\times 60\times (1+X/100)$. Решая это неравенство, получаем $X>20$ %.

6. Филолог Сергей

Выпускник филологического факультета Сергей подрабатывает двумя видами деятельности. Во-первых, он дает частные уроки русского языка и литературы. Каждый урок длится 1,5 часа, Сергей зарабатывает 2000 рублей за каждый урок. Во-вторых, Сергей осуществляет редакторскую правку материалов в крупном СМИ. За один материал Сергею платят 900 рублей. Продуктивность Сергея в правке материалов падает по ходу дня: в течение первых 2 часов работы над материалами он тратит на статью 20 минут, в течение следующих 2 часов — по 30 минут на статью, дальше — по часу на статью. Сергей работает не более 8 часов в день и может делить их между видами деятельности произвольным образом (с учетом того, что количество уроков, как и количество отредактированных статей, должно быть целым). Какую максимальную сумму денег он может заработать за день? Укажите ответ в рублях.
Решение

Всего Сергей может провести от 0 до 5 уроков. Составим таблицу:

Уроки Часы на уроки Часы на статьи Статьи Заработок
0 0 8 14 12 600
1 1,5 6,5 12 12 800
2 3 5 11 13 900
3 4,5 3,5 9 14 100
4 6 2 6 13 400
5 7,5 0,5 1 10 900

При построении таблицы считается, что Сергей работает непрерывно за исключением, возможно, времени в конце дня, которого недостаточно даже для редактирования еще одной статьи. Получаем, что Сергею нужно провести 3 урока и потратить 3,5 часа на редактирование статей. Он заработает 14 100 рублей.

7. Импортозамещение

Прочитайте следующее рассуждение. Есть ли в выводах (выделены курсивом) его автора экономические ошибки? Если вы считаете, что есть, то перепишите фрагменты текста, в которых содержатся неверные утверждения, и объясните, почему вы так считаете.

Наша фирма производит товар, у которого на рынке есть множество иностранных аналогов; с другой стороны, мы, в отличие от других фирм в нашей отрасли, вообще не используем в производстве импортные материалы, не покупаем импортные станки и не нанимаем иностранных рабочих. Поэтому удешевление национальной валюты не принесет нам никакого вреда, а наоборот, пойдет нам только на пользу: импортные аналоги станут дороже, поэтому потребители переключатся на наш товар, что увеличит нашу выручку, при этом наши издержки (в расчете на единицу продукции) не изменятся.

Примечание: если для анализа выводов вы будете использовать понятие ставки процента по~кредитам, то считайте для простоты, что она фиксирована и не зависит от колебаний валютного курса.

Решение

Рассуждение неверно, так как не только цены на импортные факторы производства (выраженные в национальной валюте), но и цены на отечественные факторы производства изменятся в результате падения курса национальной валюты. Действительно, после падения курса и подорожания иностранных факторов отечественные фирмы, которые раньше использовали иностранные факторы, теперь будут покупать отечественные, в результате чего спрос на них повысится, а цены вырастут.

Кроме того, в новых условиях увеличится экспорт отечественных факторов производства в другие страны, что уменьшит внутреннее предложение этих факторов и также создаст давление на их цены в сторону повышения.

8. Франчайзинг

Некоторые крупные сети ресторанов (а также другие виды бизнеса) не владеют всеми своими заведениями, а продают право пользоваться своей торговой маркой другим предпринимателям. Такая практика называется франчайзинг. Так, если вы хотите открыть ресторан «Макдоналдс» в Москве, вам не нужно устраиваться туда на работу — можно купить франшизу (заплатить владельцу бренда фиксированную сумму сразу и/или часть выручки потом) и продавать стандартные блюда под торговой маркой этой известной сети ресторанов. При этом вы будете получать все доходы и нести все расходы от деятельности ресторана, выплачивая владельцу марки некоторое вознаграждение. В этой задаче вам нужно обсудить различные аспекты такой практики.
а) Какие положительные и отрицательные особенности данного механизма вы видите? Рассмотрите ситуацию как со стороны владельца торговой марки, так и со стороны покупателя франшизы, приведите не более двух положительных и отрицательных особенностей для каждой из сторон, которые кажутся вам наиболее важными. Ситуацию владельца марки нужно сравнивать с самостоятельным открытием им ресторана, а ситуацию владельца открываемого ресторана — с вариантом использования им собственного нового бренда.
б) Схема выплат за франшизу может быть устроена по-разному: так, компания — владелец марки может потребовать заплатить большую сумму при открытии предприятия под ее брендом, а потом брать небольшой процент с продаж. Можно поступить по-другому: требовать не большой первоначальный взнос, а существенную долю дальнейшей прибыли. Тем не менее, первоначальный взнос, как правило, существует и является довольно существенным (по некоторым данным, для «Макдоналдс» он может составлять около 1 миллиона долларов США), при этом выбирается для каждого клиента индивидуально. В чем заключаются преимущества этого варианта для владельца торговой марки?
Решение

а) Среди плюсов для владельца марки можно отметить следующие:

  • возможность одновременного открытия множества точек;
  • личная выгода создает стимул для предпринимателя достигать в «своем» ресторане наибольшей эффективности, эти стимулы могут быть выше, чем у наемного менеджера ресторана.

Плюсы для покупателя франшизы:

  • возможность пройти «школу» предпринимательства, обучение делу, не неся ответственность за маркетинг и затраты, связанные с брендом;
  • доступ к технологиям крупной фирмы и прочая поддержка с ее стороны.

Минусы для владельца марки:

  • риск доверить бренд плохому предпринимателю, репутация может пострадать, если фирма будет работать плохо;
  • фирма получит не всю возможную прибыль — может быть, меньше, чем получила бы, открыв ресторан самостоятельно.

Минусы для покупателя франшизы:

  • риск взять в аренду недоработанные технологии (при заключении контракта только владелец марки может знать все особенности производства);
  • ограниченность действий: арендатор вынужден придерживаться исходной политики фирмы.

б) Первый взнос — способ преодоления асимметрии информации: владелец марки при заключении контракта может не знать всех мотивов покупателя франшизы; большой первоначальный взнос — сигнал о серьезных намерениях со стороны арендатора. Кроме того, даже покупатель с серьезными намерениями может потерпеть неудачу в будущем бизнесе, в этом случае у владельца марки останется хотя бы первоначальный взнос.

При этом разные предприниматели могут позволить себе заплатить за франшизу разные суммы: это зависит от месторасположения будущего ресторана, оценки спроса и т. п., поэтому владельцу марки имеет смысл назначать разную плату для разных покупателей, чтобы максимизировать свою прибыль.