10-й класс

1. Капрезе

У каждого человека есть свои причуды. Баба Валя — скромная пенсионерка, которая все, что остается от пенсии после квартплаты, тратит на продукты: помидоры и моцареллу. Как и многие пожилые люди, она консервативна: покупает только итальянскую моцареллу, несмотря на то, что в продаже появился такой же сыр отечественного производства, и только российские помидоры по 100 руб. за 1 кг, несмотря на наличие более дешевых китайских. В последнее время произошли только два события, повлиявшие на поведение бабы Вали: сначала на валютном рынке сильно подешевел рубль, а затем правительство щедро повысило пенсии.
На рисунке представлены бюджетные ограничения до, между и после этих событий. Точки A, B и C на рисунке — точки выбора бабы Вали при разных ситуациях.
kap.jpg
а) Укажите ситуации, которым соответствует каждая из этих трех точек. Объясните ваши ответы.
б) Посчитайте расходы бабы Вали на моцареллу в каждом случае.
в) Внучка подарила бабе Вале бутылку оливкого масла и посоветовала есть помидоры и моцареллу только в составе салата капрезе (нужно взять одинаковые по весу количества помидор и моцареллы и добавить немного масла). Бабе Вале так понравился салат, что она решила есть только его, причем как можно больше. Отметьте на графике выбор бабы Вали после повышения пенсии и укажите координаты отмеченной точки.

2. Жульен из мухоморов

В Царстве лесных гномов ни одно праздничное застолье не обходится без жульена из мухоморов, который можно купить только в тавернах, где его готовят специально обученные повара по старинным рецептам, которые держатся в строжайшем секрете. Таверны работают в условиях рынка совершенной конкуренции, спрос и предложение на котором представлены линейными функциями.

Король гномов Урфин IV, фанатичный сторонник здорового образа жизни, решил ограничить потребление населением этих грибов, полагая, что такая традиция уже не первое столетие не лучшим образом сказывается на здоровье гномов. Не долго думая, он объявил, что, начиная с будущего понедельника, все продавцы мухоморового жульена должны будут платить налог по 3 ден. ед. за каждую проданную порцию.

На следующий день к Урфину пришел его министр финансов, фанатичный противник госдолга, и сказал:

Ваше Величество! Ваше решение, как всегда, гениально, однако в результате введения такого налога потребление сократится только лишь на 8 тыс. порций в месяц. Сейчас каждый месяц продается 28 тыс. порций по 5 ден. ед., а эластичность предложения в точке равновесия в 2 раза превышает эластичность спроса (по модулю). Я знаю, какой должна быть величина налога, чтобы еще больше сократить потребление и максимально увеличить доходы казны. И тогда мы, наконец, сможем вернуть весь наш долг эльфийскому королю!

Какую величину фиксированного потоварного налога рекомендовал ввести министр финансов?

Решение

Утверждение: Если при линейных функциях спроса и предложения эластичность предложения в точке равновесия в 2 раза превышает эластичность спроса, то при введении фиксированного потоварного налога на продавцов цена поднимется на величину, равную 2/3Т (Т – величина налога).
Доказательство:
Если $|E_S|=2|E_D|$, то есть $|(∂Q_S)/∂P \cdot P^e/Q^e |=2 \cdot |(∂Q_D)/∂P \cdot P^e/Q^e |$, то угловой коэффициент функции предложения в 2 раза превышает угловой коэффициент функции спроса:$ Q_D=a-bP, Q_S=c+2bP.$ Тогда равновесная цена определяется как $P_0^e=(a-c)/3b.$
Если вводится налог в размере Т ден. ед., уплачиваемый производителями, то $Q_D=a-bP, Q_S=c+2b(P-T) \ и \ P_1^e=(a-c)/3b+2/3 T=P_0^e+2/3 T.$
Следовательно, при Т=3 новая цена равна 7 ден. ед., а новое равновесное количество 20 тыс. порций (см. рис.)
zhulen.png
Теперь, зная координаты двух точек на линейной функции спроса, можем определить ее вид: $Q_D=48-4P.$ Угловой коэффициент функции предложения равен 8, и координат исходной точки равновесия достаточно, чтобы определить вид функции $S_0: Q_S=-12+8P.$
Теперь не трудно определить величину налога, максимизирующего налоговые сборы.
Пусть величина потоварного налога равна Т ден. ед. Тогда $Q_S=-12+8(P-T)$, функция спроса не меняется, а равновесное количество определяется Q^e=28-8/3 T. Максимизируем функцию налоговых поступлений: $TQ^e=28T-8/3 T^2→max!$
$28-16/3 T=0 →T=5,25$

3. Заемные средства и оптимум фирмы

Для производства 1 единицы уникального товара М нужна 1 единица сырья стоимостью 17 д. е. и 1 единица труда стоимостью 3 д. е. Денежные ресурсы, которые фирма может потратить на закупку факторов производства, однако, не безграничны. Всего на счету фирмы в настоящий момент есть L д.е. Фирма может привлечь дополнительные средства, взяв в банке краткосрочный кредит по ставке $r_c$, вернуть который нужно после продажи товара. Также часть средств можно не вкладывать в производство, а положить на депозит по ставке $r_d$ на тот же период. Если фирма назначит цену P на свою продукцию, то потребители будут готовы купить 52-P единиц товара M. Фирма максимизирует сумму денег, которая останется у нее после производства и продажи товара и расплаты с банком.

а) Допустим, $r_c=r_d=10\%$. Найдите оптимальный выпуск фирмы как функцию от L. Постройте график этой функции.

б) Допустим, $r_c=20\%, r_d=10$. Найдите оптимальный выпуск фирмы как функцию от L. Постройте график этой функции.

Решение

(а) Найдем функцию предельных издержек (с точки зрения суммы на счету в конце периода). «Производственные» предельные издержки, равны, очевидно, 17+3=20 д.е. за единицу товара.

Если для выпуска данной единицы нужно привлекать заемные средства, то кроме этих 20 д.е. фирме придется заплатить и процент: $r_c \cdot 20=0,1 \cdot 20=2$д.е. Итого предельные издержки составят 22 д.е.

Если для выпуска данной единицы не нужно привлекать заемные средства, то производя эту единицу, фирма потеряет процент, который она могла бы получить, держа средства на депозите: $r_d \cdot 20=0,1 \cdot 20=2$д.е. Итого предельные издержки составят 22 д.е.

Таким образом, независимо от L, предельные издержки фирмы постоянны и равны 22 д.е.
Функция предельного дохода также не зависит от L: $MR=52-2Q$.
Пересекая предельный доход и предельные издержки, получаем, что, независимо от L, оптимальный выпуск равен 15. Итак, $Q^*(L)=const=15$
d.jpg
(б). Вновь найдем (при данном L), функцию предельных издержек фирмы. Производственные издержки равны 20. Допустим, фирма решает произвести Q единиц продукции. Если денег хватает (при $20Q\le L$), то фирма при производстве дополнительной единицы продукции теряет процент по депозитам. Предельные издержки равны $(1+r_c) \cdot 20=24$д.е. Если приходится привлекать заемные средства (при $20Q\ge L$), то фирма при производстве дополнительной единицы продукции платит процент по кредиту, и предельные издержки равны д.е.
Таким образом, функция предельных издержек имеет вид
$$MC(Q)=\begin{cases}
22, & Q<\frac{L}{20}\\
24 & Q>\frac{L}{20}
\end{cases}$$
График этой функции представляет собой «лесенку» из двух ступенек, причем точка перехода с нижней ступеньки на верхнюю зависит от L. Нарисуем пунктиром также вертикальную линию, соединяющую две ступеньки в точке $Q=\frac{L}{20}$.
При больших L (насколько больших, скажем ниже) точка пересечения графиков и будет находиться на нижней ступеньке:
$MR=52-2Q=22$, откуда $Q=15$. Это возможно, пока $15\le \frac{L}{20}$, то есть $L \ge 300$.
При маленьких L(насколько маленьких, скажем ниже) точка пересечения графиков и будет находиться на верхней ступеньке:
$MR=52-2Q=24$, откуда $Q=14$. Это возможно, пока $14\ge \frac{L}{20}$, то есть $L\le 280$.
Что же будет происходить при 280 Итак, оптимальный выпуск как функция от L задается уравнением
$$ Q^*(L)=\begin{cases}
14, & L \le 280\\
\frac{L}{20}, & 280 < L < 300\\
15, & L \ge 300
\end{cases} $$
d2.jpg

4. Уборка в общежитии

Победив в олимпиаде, Алексей и Михаил стали студентами крупного экономического вуза в городе М. и поселились в одной комнате в общежитии. Ребята договорились убираться в комнате каждую неделю по субботам. Итоговая чистота комнаты (обозначим ее за G) зависит от того, сколько усилий каждый их них прикладывает к уборке. Обозначим эти уровни усилий за $x_a$ (для Алексея) и $x_m$ (для Михаила). Для простоты будем считать, что $G=x_a+x_m$.

Каждый из студентов хотел бы, чтобы комната была чистой, однако оба не любят убираться, причем Алексей не любит уборку вдвое сильнее, чем Михаил. Это отражено в их функциях полезности: полезность Михаила равна $G⋅(8-x_m)$, а полезность Алексея имеет вид $G⋅(8-2x_a)$.

Расписание устроено так, что по субботам в первой половине дня в комнате отсутствует Алексей, а во второй — Михаил. Когда Алексей приходит с учебы, он видит «промежуточную» степень чистоты комнаты (равную уровню усилий Михаила) и принимает решение о том, сколько усилий приложить для завершения уборки.

а) Каковы будут уровни усилий, которые будут прикладывать Алексей и Михаил к уборке? Каков будет итоговый уровень чистоты комнаты?

б) Могут ли ребята договориться об уровнях усилий так, чтобы обоим стало лучше по сравнению с результатом пункта а)? Верно ли, что при этом комната непременно будет чище, чем в пункте а)?

Решение

(а) (12 баллов) Принимая решение первым, Михаил может рассчитать ответные действия Алексея и выбрать уровень усилий таким образом, чтобы с учетом этих ответных действий максимизировать свою выгоду. (Идея обратной индукции — 4 балла)

Полезность Алексея имеет вид: $U_a=(x_a+x_m )(8-2x_a)$. Относительно выбираемой переменной $x_a$ это парабола с ветвями вниз, она имеет вершину в точке $x_a^*=(4-x_m)/2 (при x_m<4)$. (4 балла)

Подставляя это в полезность Михаила, получаем: $U_m=((4-x_m)/2+x_m )(8-x_m)$ . Это также парабола с ветвями вниз, она имеет вершину в точке $x_m^*=2$. Получаем, что $x_a^*=1$, $G^*=3$. (4 балла)

(б) (8 баллов) Полезности обоих ребят в а) равны 18. Легко привести примеры уровней усилий такие, что полезности обоих больше, чем 18. Например, если каждый будет убираться немного больше (скажем, $x_m^*=3, \ x_a^*=2$), то полезность Михаила вырастет до 25, а полезность Алексея – до 20. (4 балла за любой пример) Комната при этом будет чище.

Можно ли привести пример такой пары уровней усилий, что обоим лучше по сравнению с а), но комната оказывается грязнее, чем в а)? Докажем, что сделать этого нельзя.
Имеем систему
$$\begin{cases}
U_m=(x_a+x_m )(8-x_m)>18\\
U_a=(x_a+x_m )(8-2x_m)>18
\end{cases}$$
Если при каких-то уровнях усилий $x_m^*, x_a^*$ полезность Алексея оказалась больше, чем 18, то максимальная полезность Алексея при уровне усилий Михаила, равном $x_m^*$, и подавно должна оказаться больше 18. Подставляя функцию наилучшего ответа Алексея $x_a=\frac{(4-x_m)}{2}$, в его полезность, получаем, что максимально достижимая полезность Алексея равна $U_a^\max=\frac{(4+x_m)^2}{2}$.
Поэтому из второго уравнения системы следует, что $\frac{(4+x_m)^2}{2}>18$, откуда $x_m^*>2$.
Это означает, что в левой части первого уравнении системы второй сомножитель меньше 6. Поскольку произведение должно оказаться больше 18, первый сомножитель (чистота комнаты) должен быть больше 3, что и означает, что комната должна оказаться чище, чем в (а).
Итак, обоим может стать лучше только в случае, если комната окажется чище. (4 балла)

5. Кредит самому себе

Среди способов легкого обогащения, множество которых можно найти в интернете, есть, например, такой. Нужно прийти в банк, взять кредит на миллиард долларов, на полученные деньги купить этот банк и разрешить себе не возвращать кредит. С какими проблемами может столкнуться тот, кто попытается реализовать такой план?
Решение

1. Никакой банк не сможет выдать кредит, сумма которого сравнима со стоимостью этого банка.

2. Даже если такой кредит получить удастся, после покупки банка нельзя будет «разрешить себе» его не возвращать: кредит будет выдан из каких-то пассивов банка (например, депозитов, размещенных в нем), которые придется возвращать вкладчикам.

11-й класс

1. Капрезе

У каждого человека есть свои причуды. Баба Валя — скромная пенсионерка, которая все, что остается от пенсии после квартплаты, тратит на продукты: помидоры и моцареллу. Как и многие пожилые люди, она консервативна: покупает только итальянскую моцареллу, несмотря на то, что в продаже появился такой же сыр отечественного производства, и только российские помидоры по 100 руб. за 1 кг, несмотря на наличие более дешевых китайских. В последнее время произошли только два события, повлиявшие на поведение бабы Вали: сначала на валютном рынке сильно подешевел рубль, а затем правительство щедро повысило пенсии.
На рисунке представлены бюджетные ограничения до, между и после этих событий. Точки A, B и C на рисунке — точки выбора бабы Вали при разных ситуациях.
kap.jpg
а) Укажите ситуации, которым соответствует каждая из этих трех точек. Объясните ваши ответы.
б) Посчитайте расходы бабы Вали на моцареллу в каждом случае.
в) Внучка подарила бабе Вале бутылку оливкого масла и посоветовала есть помидоры и моцареллу только в составе салата капрезе (нужно взять одинаковые по весу количества помидор и моцареллы и добавить немного масла). Бабе Вале так понравился салат, что она решила есть только его, причем как можно больше. Отметьте на графике выбор бабы Вали после повышения пенсии и укажите координаты отмеченной точки.

2. Жульен из мухоморов

В Царстве лесных гномов ни одно праздничное застолье не обходится без жульена из мухоморов, который можно купить только в тавернах, где его готовят специально обученные повара по старинным рецептам, которые держатся в строжайшем секрете. Таверны работают в условиях рынка совершенной конкуренции, спрос и предложение на котором представлены линейными функциями.

Король гномов Урфин IV, фанатичный сторонник здорового образа жизни, решил ограничить потребление населением этих грибов, полагая, что такая традиция уже не первое столетие не лучшим образом сказывается на здоровье гномов. Не долго думая, он объявил, что, начиная с будущего понедельника, все продавцы мухоморового жульена должны будут платить налог по 3 ден. ед. за каждую проданную порцию.

На следующий день к Урфину пришел его министр финансов, фанатичный противник госдолга, и сказал:

Ваше Величество! Ваше решение, как всегда, гениально, однако в результате введения такого налога потребление сократится только лишь на 8 тыс. порций в месяц. Сейчас каждый месяц продается 28 тыс. порций по 5 ден. ед., а эластичность предложения в точке равновесия в 2 раза превышает эластичность спроса (по модулю). Я знаю, какой должна быть величина налога, чтобы еще больше сократить потребление и максимально увеличить доходы казны. И тогда мы, наконец, сможем вернуть весь наш долг эльфийскому королю!

Какую величину фиксированного потоварного налога рекомендовал ввести министр финансов?

Решение

Утверждение: Если при линейных функциях спроса и предложения эластичность предложения в точке равновесия в 2 раза превышает эластичность спроса, то при введении фиксированного потоварного налога на продавцов цена поднимется на величину, равную 2/3Т (Т – величина налога).
Доказательство:
Если $|E_S|=2|E_D|$, то есть $|(∂Q_S)/∂P \cdot P^e/Q^e |=2 \cdot |(∂Q_D)/∂P \cdot P^e/Q^e |$, то угловой коэффициент функции предложения в 2 раза превышает угловой коэффициент функции спроса:$ Q_D=a-bP, Q_S=c+2bP.$ Тогда равновесная цена определяется как $P_0^e=(a-c)/3b.$
Если вводится налог в размере Т ден. ед., уплачиваемый производителями, то $Q_D=a-bP, Q_S=c+2b(P-T) \ и \ P_1^e=(a-c)/3b+2/3 T=P_0^e+2/3 T.$
Следовательно, при Т=3 новая цена равна 7 ден. ед., а новое равновесное количество 20 тыс. порций (см. рис.)
zhulen.png
Теперь, зная координаты двух точек на линейной функции спроса, можем определить ее вид: $Q_D=48-4P.$ Угловой коэффициент функции предложения равен 8, и координат исходной точки равновесия достаточно, чтобы определить вид функции $S_0: Q_S=-12+8P.$
Теперь не трудно определить величину налога, максимизирующего налоговые сборы.
Пусть величина потоварного налога равна Т ден. ед. Тогда $Q_S=-12+8(P-T)$, функция спроса не меняется, а равновесное количество определяется Q^e=28-8/3 T. Максимизируем функцию налоговых поступлений: $TQ^e=28T-8/3 T^2→max!$
$28-16/3 T=0 →T=5,25$

3. Заемные средства и оптимум фирмы

Для производства 1 единицы уникального товара М нужна 1 единица сырья стоимостью 17 д. е. и 1 единица труда стоимостью 3 д. е. Денежные ресурсы, которые фирма может потратить на закупку факторов производства, однако, не безграничны. Всего на счету фирмы в настоящий момент есть L д.е. Фирма может привлечь дополнительные средства, взяв в банке краткосрочный кредит по ставке $r_c$, вернуть который нужно после продажи товара. Также часть средств можно не вкладывать в производство, а положить на депозит по ставке $r_d$ на тот же период. Если фирма назначит цену P на свою продукцию, то потребители будут готовы купить 52-P единиц товара M. Фирма максимизирует сумму денег, которая останется у нее после производства и продажи товара и расплаты с банком.

а) Допустим, $r_c=r_d=10\%$. Найдите оптимальный выпуск фирмы как функцию от L. Постройте график этой функции.

б) Допустим, $r_c=20\%, r_d=10$. Найдите оптимальный выпуск фирмы как функцию от L. Постройте график этой функции.

Решение

(а) Найдем функцию предельных издержек (с точки зрения суммы на счету в конце периода). «Производственные» предельные издержки, равны, очевидно, 17+3=20 д.е. за единицу товара.

Если для выпуска данной единицы нужно привлекать заемные средства, то кроме этих 20 д.е. фирме придется заплатить и процент: $r_c \cdot 20=0,1 \cdot 20=2$д.е. Итого предельные издержки составят 22 д.е.

Если для выпуска данной единицы не нужно привлекать заемные средства, то производя эту единицу, фирма потеряет процент, который она могла бы получить, держа средства на депозите: $r_d \cdot 20=0,1 \cdot 20=2$д.е. Итого предельные издержки составят 22 д.е.

Таким образом, независимо от L, предельные издержки фирмы постоянны и равны 22 д.е.
Функция предельного дохода также не зависит от L: $MR=52-2Q$.
Пересекая предельный доход и предельные издержки, получаем, что, независимо от L, оптимальный выпуск равен 15. Итак, $Q^*(L)=const=15$
d.jpg
(б). Вновь найдем (при данном L), функцию предельных издержек фирмы. Производственные издержки равны 20. Допустим, фирма решает произвести Q единиц продукции. Если денег хватает (при $20Q\le L$), то фирма при производстве дополнительной единицы продукции теряет процент по депозитам. Предельные издержки равны $(1+r_c) \cdot 20=24$д.е. Если приходится привлекать заемные средства (при $20Q\ge L$), то фирма при производстве дополнительной единицы продукции платит процент по кредиту, и предельные издержки равны д.е.
Таким образом, функция предельных издержек имеет вид
$$MC(Q)=\begin{cases}
22, & Q<\frac{L}{20}\\
24 & Q>\frac{L}{20}
\end{cases}$$
График этой функции представляет собой «лесенку» из двух ступенек, причем точка перехода с нижней ступеньки на верхнюю зависит от L. Нарисуем пунктиром также вертикальную линию, соединяющую две ступеньки в точке $Q=\frac{L}{20}$.
При больших L (насколько больших, скажем ниже) точка пересечения графиков и будет находиться на нижней ступеньке:
$MR=52-2Q=22$, откуда $Q=15$. Это возможно, пока $15\le \frac{L}{20}$, то есть $L \ge 300$.
При маленьких L(насколько маленьких, скажем ниже) точка пересечения графиков и будет находиться на верхней ступеньке:
$MR=52-2Q=24$, откуда $Q=14$. Это возможно, пока $14\ge \frac{L}{20}$, то есть $L\le 280$.
Что же будет происходить при 280 Итак, оптимальный выпуск как функция от L задается уравнением
$$ Q^*(L)=\begin{cases}
14, & L \le 280\\
\frac{L}{20}, & 280 < L < 300\\
15, & L \ge 300
\end{cases} $$
d2.jpg

4. Инновация с сюрпризом

Страна А имеет кривую производственных возможностей, состоящую из одной точки: при имеющихся ресурсах и доступной технологии она может производить не более $Y^*$ единиц товара Y, а больше ничего не может. Товар производится большим количеством фирм, каждая из которых обладает ограниченным запасом ресурса, воспринимает цену своей продукции как заданную и максимизирует прибыль.

Фирмы могут продавать произведенный товар отечественным потребителям или экспортировать. Зарубежные покупатели готовы заплатить за единицу товара Y не более чем 2-3y единиц товара X (которые фирмы потом также могут продать отечественным потребителям), где y — величина экспорта всех фирм страны А.
Жители страны А потребляют товары X и Y только в виде бутербродов, намазывая на единицу товара Y единицу товара X.

Благодаря открытию новой технологии производства, $Y^*$ увеличилось с 9/16 до 3/4.

а) Как это увеличение повлияло на количество бутербродов, которое съедят потребители в стране А?

б) Приведите содержательное экономическое объяснение результату пункта а).

в) Предположим, что после изменения $Y^*$ вместо описанной выше структуры действия всех фирм в стране А выбираются согласованно по решению мудрого правителя, максимизирующего количество бутербродов. Сколько бутербродов тогда съели бы жители страны А?

Решение

а) (10 баллов) Зададимся сначала вопросом, как будет устроено равновесие на совершенно конкурентном рынке в стране А.
Поскольку каждая фирма обладает конечным запасом ресурса, который уже есть в ее распоряжении, она всегда будет стремиться произвести и подать как можно больше товара, чтобы максимизировать выручку (все ее издержки постоянны). Предложение кажой фирмы будет максимально возможным, а значит, максимально возможным будет и рыночное предложение товара: $S_Y=Y^*$. (1 балл)
Это предложение в равновесии будет равно спросу на товар Y, предъявляемому жителями страны А и иностранцами: $Y^*=y+Y$, где Y - величина домашнего потребления, а y - величина экспорта (2 балла). При этом, как известно из условия, единица Y продается за p единиц X, где p=2-3y. Значит, общее количество товара X, которое будет ввезено в страну А и потреблено ее гражданами, равно X=py (2 балла). Наконец, поскольку товары потребляются жителями только в виде бутербродов, в равновесии должно быть выполнено X=Y (1 балл).
Составим систему уравнений:
$$\begin{cases}
p=2-3y\\
py=X\\
X=Y\\
Y^*=Y+y
\end{cases}$$
Подставив данные в условии значения $Y^*$, эту систему можно решить (3 балла):

Y*=9/16 X=Y=5/16 y=1/4 p=5/4
Y*=3/4 X=Y=1/4 y=1/2 p=1/2

Получаем, что в результате экономического роста количество съеденных бутербродов снизилось с 5/16 до 1/4, то есть жители страны А стали жить хуже (1 балл).
б) (3 балла) Почему это произошло? Нетрудно заметить, что рост экспорта, вызванный ростом $Y^*$, повлек за собой снижение цены, по которой страна А могла экспортировать товар Y, и общее количество ввозимого товара X сократилось. Поскольку все фирмы в стране А хотели продать как можно больше, условия внешней торговли стали для них хуже (из-за убывающего общего спроса на экспорт).
Примечание: Данное явление было описано экономистом Jagdish Bhagwati в работе 1958 года «Immiserizing Growth: A Geometrical Note».
в) (7 баллов) Общее количество купленного товара X равно X=py=(2-3y)y (2 балла). Это парабола с ветвями вниз достигает максимума X=1/3 при y=1/3 (1 балл). Значит, больше 1/3 единицы товара X точно купить не удастся, а значит, не удастся съесть больше 1/3 бутерброда (2 балла). При этом ровно 1/3 бутерброда съесть можно: действительно, продав за рубеж 1/3 единицы Y, жители страны А будут иметь в своем распоряжении еще 3/4-1/3=5/12 единиц товара Y, что более чем достаточно для 1/3 бутерброда (2 балла).

5. Возврат Товара

Согласно статье 25 российского Закона о защите прав потребителей, при соблюдении некоторых условий потребитель может в течение 14 дней после покупки товара обменять его на другой, даже если купленный товар был исправен. Например, можно вернуть товар продавцу, если он не подошел по размеру или цвету. При этом продавец должен выдать подходящий аналогичный товар или вернуть деньги, если подходящего товара не будет в наличии.
а) Представим, что эта статья закона была отменена, и каждый магазин должен сам выбрать политику возврата товаров надлежащего качества. Представьте, что вы владелец магазина, оказавшегося в этих условиях: вы знаете, что закон только что отменен, и все другие магазины (ваши конкуренты) всё еще следуют его нормам. Какие аргументы «за» и «против» сохранения прежнего порядка возврата в своем магазине вы можете привести?
б) Предположим, что в стране Х существовал закон, который запрещал магазинам принимать назад ранее проданные товары надлежащего качества. В определенный момент этот закон был отменен, и вы оказались в схожей ситуации: все ваши конкуренты еще следуют старым правилам (не принимают товары обратно), а вам нужно выбрать правила для себя. Будут ли ваши аргументы «за» или «против» разрешения возврата такими же, как в предыдущем пункте?
Решение

Независимо от изначального состояния, политика беспрепятственного возврата товаров надледащего качества имеет достоинства и недостатки сама по себе.
Главное достоинство — привлечение покупателей. Спрос на товар в магазине будет больше, если этот магазин дает покупателям возможность подумать, покупатели будут готовы больше заплатить за товар, если им предоставляется возможность беспрепятственно его вернуть. Эта возможность — конкуретное преимущество магазина. (4 балла за первое упоминание, 1 балл за второе)
Недостаток свободного возврата — издержки, которые несет магазин. Возврат товара нужно оформить (на что нужно потратить рабочее время сотрудников), товар нужно проверить, возможно, заново упаковать — всё это трубует затрат, которых в случае запрета на возврат не было бы. (4 балла за первое упоминание, 1 балл за второе)
а) Если все магазины-конкуренты беспрепятственно возвращают товар, то изменение политики одним магазином будет выглядеть подозрительно для потребителей: возможно, этот магазин продает товары со скрытыми недостатками (формально не являющимися браком или дефектами), которые невозможно выявить при покупке, и поэтому хочет запретить потребителям возвращать товар. Это может дополнительно оттолкнуть покупателей. Эта идея является дополнительным аргументом «за» политику возврата. (3 балла)
С другой стороны, отмена возможности возврата позволит магазину сэкономить на издержках, описанных выше, и поэтому снизить цены: в них больше не нужно закладывать риск того, что товар будет возвращен. Это может стать отличительным признаком магазина (все остальные по-прежнему принимают товары): он может позиционировать себя как магазин для покупателей, которые уже уверены в своем выборе и могут благодаря этому сэкономить. Это является аргументом «против» сохранения старой политики. (3 балла)
б) Если магазины-конкуренты не принимают товары обратно, то отдельный магазин, отказавшись от этой политики, рискует привлечь покупателей, которые будут злоупотреблять своим правом на возврат. А именно, они будут «покупать» товары для однократного использования, а потом возвращать, сохранив товарный вид. Доказать их злые намерения будет довольно сложно, так же сложно определить «злостного возвращателя» в момент покупки. Конечно, этот аргумент работает и в пункте а) (такие покупатели всегда будут проблемой для магазина, принимающего товары назад), но в пункте б) он приобретает дополнительную остроту: ведь благодаря своеобразному неблагоприятному отбору в магазин, первым согласившимся принимать товары обратно, пойдут все недобросовестные покупатели. Это аргумент «против» ввода политики возврата. (4 балла)

7-8 класс

1. Простая субсидия

Товар Х готовы покупать две группы покупателей. Общий спрос покупателей первой группы описывается функцией Q_d=300-5P, где Q— количество товара в тоннах, а P— цена одной тонны товара Х в ден. ед. О покупателях второй группы известно, что они все вместе готовы купить 100 тонн товара Х по любой цене. Обратная функция предложения товара на рынке имеет вид P=50+0,2Q_s.

Государство решило выделить производителям товара Х субсидию в размере 40 ден. ед. за каждую проданную тонну товара.

а) Определите, как изменится цена, уплачиваемая потребителями товара Х после того, как будет введена субсидия его производителям. Покажите решение на графике.
б) Оцените, каковы будут расходы государственного бюджета, связанные с выплатой субсидии.

2. Обмен валюты

Господин Петров имеет годовой валютный вклад в долларах со ставкой 8 % годовых. Если вклад с причитающимися процентами не будет востребован на дату окончания, договор считается пролонгированным еще на один год. Годичная ставка по рублевому депозиту составляет 11 %, курс доллара на дату возможной пролонгации составляет 29 рублей за доллар, а прогнозируемый курс на дату окончания нового срока вклада составляет 28,5 рублей за доллар. На момент пролонгации договора из-за падения курса доллара хранить деньги стало выгоднее в рублях, однако за перевод валютного вклада в рублевый банк взимает комиссионные (в рублях) в размере 0,7 % от переводимой суммы.

Нужно ли господину Петрову конвертировать свои сбережения в рубли?

Решение

Необходимо посчитать, какую сумму Петров получит через год после пролонгации. Если вклад оставить в валюте, то на конец второго года с каждого доллара, полученного после первого года, Петров получит (1+0,08)*28,5 рублей. Если вклад перевести в рублевый, то на момент пролонгации Петров с каждого доллара имеет 29 рублей, то есть с учетом комиссионных на конец второго года Петров получит (1+0,11)*(1-0,007)*29 рублей. Таким образом, нужно проверить, верно ли неравенство 1,08*28,5<1,11*0,993*29. Даже не считая значения в левой и правой части, можно заметить, что 1,08 < 1,1 * 0,99 < 1,11 * 0,993, так что умножение на валютные курсы только усиливает неравенство.

3. Олимпийский сувенир

После триумфальной победы российских лыжников в гонке на 50 километров в последний день Зимних Олимпийских Игр в Сочи Данила-мастер решил сделать памятные сувениры — пьедестал, а на нем 3 медали. Если бы он делал только пьедесталы, то за день сделал бы их 12 штук, а если бы делал только медали, то за день сделал бы их 20 штук. Однако сувенир еще надо собрать, расписать... Вот если бы у Данилы-мастера уже имелись все необходимые заготовки, то за день он мог бы собрать 15 сувениров. Количество сувениров, изготовленных Данилой-мастером, может измеряться только целыми числами.

а) Определите максимальное количество сувениров, которое может изготовить Данила-мастер, имея в своем распоряжении только один день.

б) Данила-мастер является монополистом на рынке изготовленных им сувениров. Когда он продает N-й сувенир, его прибыль увеличивается на Δπ=10-2N. Какую максимальную прибыль он может получить за день?

Решение

а) Пусть А – это количество часов рабочего времени, которым располагает Данила-мастер. Тогда на изготовление одного сувенира он потратит A/12+3A/20+A/15=0,3A часа. Значит, за рабочий день Данила-мастер может изготовить A/(0.3A)=3,3 сувенира. Поскольку количество сувениров может измеряться только целыми числами, максимальное количество — 3 штуки.

б) Первый сувенир принесет (10 – 2*1) = 8 денежных единиц дополнительной прибыли, второй (10 – 2*2) = 6, третий — (10 – 2*3) = 4. Общая прибыль равна 18 денежных единиц.

4. Скидка в коробке

В прошлом месяце потребитель Иванов потратил весь свой доход на два товара и закупил 10 ед. товара X и 20 ед. товара Y. Известно, что цена товара X при этом была в два раза выше цены товара Y. В текущем месяце магазин, где Иванов всегда приобретает товары Х и Y, проводит акцию: при покупке целой коробки товара Х цена товара в коробке снижается в два раза. (В каждой коробке упаковано по 20 единиц товара Х.)

а) Покажите на графике в координатах (X;Y) множество доступных потребителю Иванову наборов в текущем месяце, считая, что его доход не изменился.

б) Определите, какое максимальное количество товара Х приобрел Иванов, если известно, что он купил 4 единицы товара Y, и покажите решение на графике пункта а).

5. Экономика против сквернословия

Ученики 8-го «Б» класса решили бороться со сквернословием. Они договорились, что за каждое бранное слово виновник будет класть в классную копилку по 10 рублей, а в конце четверти на собранные таким образом деньги они пойдут в кафе. Однако оказалось, что использование «нехороших» слов в коллективе не прекратилось, а их даже стало больше! Объясните, почему это могло произойти.
Решение

а) Ученики перестали чувствовать себя виноватыми, ведь они компенсируют вину денежным эквивалентом, т.е. отношения получили статус рыночных (свою вину они откупили).
б) Принимая решения, рациональный человек соизмеряет затраты и результаты: до введения «платы» школьники ориентировались на моральную оценку своих поступков и для многих она была очень значима, теперь же моральная оценка фактически была заменена на денежную, которая в свою очередь оказалась не столь высока (что можно купить на 10 рублей!). Изменилось соотношение «затрат и результатов».
в) Собранные деньги пойдут на нужды коллектива, а значит, положив деньги в копилку, проштрафившиеся школьники могли посчитать, что они делают благое дело, а это еще один повод к тому, чтобы не стесняться в выражениях и при этом не чувствовать своей вины.

9-й класс

1. Простая субсидия

Товар Х готовы покупать две группы покупателей. Общий спрос покупателей первой группы описывается функцией Q_d=300-5P, где Q— количество товара в тоннах, а P— цена одной тонны товара Х в ден. ед. О покупателях второй группы известно, что они все вместе готовы купить 100 тонн товара Х по любой цене. Обратная функция предложения товара на рынке имеет вид P=50+0,2Q_s.

Государство решило выделить производителям товара Х субсидию в размере 40 ден. ед. за каждую проданную тонну товара.

а) Определите, как изменится цена, уплачиваемая потребителями товара Х после того, как будет введена субсидия его производителям. Покажите решение на графике.
б) Оцените, каковы будут расходы государственного бюджета, связанные с выплатой субсидии.

2. Обмен валюты

Господин Петров имеет годовой валютный вклад в долларах со ставкой 8 % годовых. Если вклад с причитающимися процентами не будет востребован на дату окончания, договор считается пролонгированным еще на один год. Годичная ставка по рублевому депозиту составляет 11 %, курс доллара на дату возможной пролонгации составляет 29 рублей за доллар, а прогнозируемый курс на дату окончания нового срока вклада составляет 28,5 рублей за доллар. На момент пролонгации договора из-за падения курса доллара хранить деньги стало выгоднее в рублях, однако за перевод валютного вклада в рублевый банк взимает комиссионные (в рублях) в размере 0,7 % от переводимой суммы.

Нужно ли господину Петрову конвертировать свои сбережения в рубли?

Решение

Необходимо посчитать, какую сумму Петров получит через год после пролонгации. Если вклад оставить в валюте, то на конец второго года с каждого доллара, полученного после первого года, Петров получит (1+0,08)*28,5 рублей. Если вклад перевести в рублевый, то на момент пролонгации Петров с каждого доллара имеет 29 рублей, то есть с учетом комиссионных на конец второго года Петров получит (1+0,11)*(1-0,007)*29 рублей. Таким образом, нужно проверить, верно ли неравенство 1,08*28,5<1,11*0,993*29. Даже не считая значения в левой и правой части, можно заметить, что 1,08 < 1,1 * 0,99 < 1,11 * 0,993, так что умножение на валютные курсы только усиливает неравенство.

3. Олимпийский сувенир

После триумфальной победы российских лыжников в гонке на 50 километров в последний день Зимних Олимпийских Игр в Сочи Данила-мастер решил сделать памятные сувениры — пьедестал, а на нем 3 медали. Если бы он делал только пьедесталы, то за день сделал бы их 12 штук, а если бы делал только медали, то за день сделал бы их 20 штук. Однако сувенир еще надо собрать, расписать... Вот если бы у Данилы-мастера уже имелись все необходимые заготовки, то за день он мог бы собрать 15 сувениров. Количество сувениров, изготовленных Данилой-мастером, может измеряться только целыми числами.

а) Определите максимальное количество сувениров, которое может изготовить Данила-мастер, имея в своем распоряжении только один день.

б) Данила-мастер является монополистом на рынке изготовленных им сувениров. Когда он продает N-й сувенир, его прибыль увеличивается на Δπ=10-2N. Какую максимальную прибыль он может получить за день?

Решение

а) Пусть А – это количество часов рабочего времени, которым располагает Данила-мастер. Тогда на изготовление одного сувенира он потратит A/12+3A/20+A/15=0,3A часа. Значит, за рабочий день Данила-мастер может изготовить A/(0.3A)=3,3 сувенира. Поскольку количество сувениров может измеряться только целыми числами, максимальное количество — 3 штуки.

б) Первый сувенир принесет (10 – 2*1) = 8 денежных единиц дополнительной прибыли, второй (10 – 2*2) = 6, третий — (10 – 2*3) = 4. Общая прибыль равна 18 денежных единиц.

4. Скидка в коробке

В прошлом месяце потребитель Иванов потратил весь свой доход на два товара и закупил 10 ед. товара X и 20 ед. товара Y. Известно, что цена товара X при этом была в два раза выше цены товара Y. В текущем месяце магазин, где Иванов всегда приобретает товары Х и Y, проводит акцию: при покупке целой коробки товара Х цена товара в коробке снижается в два раза. (В каждой коробке упаковано по 20 единиц товара Х.)

а) Покажите на графике в координатах (X;Y) множество доступных потребителю Иванову наборов в текущем месяце, считая, что его доход не изменился.

б) Определите, какое максимальное количество товара Х приобрел Иванов, если известно, что он купил 4 единицы товара Y, и покажите решение на графике пункта а).

5. Ипотека

В последние годы ипотека становится всё более популярной среди граждан России. По данным Центрального Банка, в 2013 году кредитными организациями в России было выдано более 800 тыс. ипотечных жилищных кредитов в рублях на общую сумму более 1,3 трлн рублей. Процентная ставка по ипотечным кредитам меньше, чем по обычным потребительским (например, по кредитным картам), срок погашения и сумма кредита больше, да и банки часто предъявляют к заемщикам менее жесткие требования.

Какие особенности ипотечного кредита позволяют банкам предоставлять заемщикам более хорошие условия, чем заемщикам по потребительским кредитам? В ходе ответа на вопрос объясните, почему у заемщика по ипотеке не получится обхитрить банк, взяв ипотечный кредит и потратив его на ежедневные потребительские нужды.

Решение

Ипотека — это кредит под залог того имущества, на которое этот кредит дается. Проще говоря, если заемщик окажется неплатежеспособным, то имущество, которое он купил на кредит, перейдет в собственность банка. Таким образом, банк застрахован от того, что кредит не будет возвращен вовсе или будет возвращен только после длительного судебного процесса и распродажи собственности заемщика. Заемщик не сможет обмануть банк и истратить деньги на что-то другое, так как он, в отличие от случая с кредитной картой, не может получить наличные деньги — они переводятся сразу продавцу товара.

Критерии оценки

1) Ответ на вопрос, почему банк может предложить более выгодные условия — 10 баллов.
2) Ответ на вопрос, почему заемщик не сможет потратить полученные деньги — 10 баллов.