Новогоднее предложение от монополиста

Спрос на продукцию монополиста линеен (снижение цены на 1 руб. неизменно вызывает рост величины спроса на 1 ед.), а средние издержки ее производства постоянны. Максимальная прибыль фирмы составила 4036081 руб. Сколько единиц продукции выпустила фирма?

Решение и ответ

Аналитическое:
Пусть $P_d = a - bQ$ , $AC = c$ . Тогда $TC = cQ$ . По условию, $b = 1$ .
$MR = a - 2Q = MC = c \Rightarrow Q^* = \frac{{a - c}}{2}$ ;
$\pi _{max } = \left( {a - \frac{{a - c}}{2}} \right) \cdot \frac{{a - c}}{2} - c \cdot \frac{{a - c}}{2} = \left( {\frac{{a - c}}{2}} \right)^2 = \left( {Q^*} \right)^2;\\ Q^* = \sqrt {\pi _{\max } } = 2009$ .

Геометрическое:

Наклон кривой спроса равен 1. Поэтому
$\left. \begin{array}{r} OF = OE\\ OB = BE\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{OF}{OB} = 2.$
В силу подобия $\bigtriangleup FOB$ и $\bigtriangleup FCA$ ,
$\frac{{FC}}{{CA}} = \frac{FO}{OB} = 2$ .
Получаем:
$\pi _{\max } = S_{\bigtriangleup FCA} = 0{,}5 \cdot CA \cdot FC = 0{,}5 \cdot CA \cdot 2CA = CA^2$ .
Таким образом, в данном случае максимальная прибыль фирмы численно равна квадрату оптимального выпуска:
$Q^* = \sqrt {\pi _{\max } } = \sqrt{4036081} = 2009$ .

Ответ:

2009.

Алексей, я прорешал достаточно много ваших задач, и нетрудно было заметить, что в условии вы часто используете числа 2008 и 2009, с чем связана такая любовь к этим числам?)) очень интересно))

↑

online Алексей Суздальцев, 15.2.2009 в 01:53. (ссылка)

На самом деле не так уж часто. Просто иногда, когда значение кого-либо параметра в задаче не влияет на "красоту" ответа, можно сделать этот параметр любым. Например, можно присвоить ему значение, равное номеру текущего года) Эта фишка уже очень давно (более 40 лет) используется при сочинении олимпиад по математике.

Андраник Аюнц, 15.2.2009 в 15:36. (ссылка)

ааа понятно))

Лиля Сафиуллина, 06.11.2011 в 23:03. (ссылка)

Круто когда корень извлекается)