Агент 007 и его функция полезности
Агент 007 и его функция полезности
Функция полезности Агента 007 имеет следующий вид:
![$$U(x,y) = \sqrt[7]{7+\log_7{(7+\sqrt[7]{x}+y)^7}}.$$](/files/tex/e608b26e1ce17ac109b3b287292785a18b9f8d32.png "$$U(x,y) = \sqrt[7]{7+\log_7{(7+\sqrt[7]{x}+y)^7}}.$$") |
Известно, что цены на секретные товары X и Y, а также бюджет потребителя на эти товары положительны (
, 
, 
). Найдите все возможные значения, которые может принимать коэффициент эластичности спроса этого потребителя на товар Х по цене товара Х при данных условиях.
Версия для печати
Если не просчитался то эластичность постоянна и равна -7/6 ?
Интересно, как считал. Но ответ, конечно, далеко не на максимальный балл.
Так. Ответ верный или нет? :-)
На поставленный в задаче вопрос - неверный.
Чтоб решить данную задачу, я начал выводить функцию спроса. Она у меня получилась X=(Py/Px)^7/6 . Видимо я неправильно её вывел, буду искать ошибку ))
Если Py/Px больше чем 7000000 (вроде столько), то возникает крайний случай и мы потребляем весь доступный X и отказываемся от У. Тогда видимо эластичность будет единичной, если мне не изменяет ум.
Без решения сложно понять, где ошибка.
Всё-таки ум не изменил, но память - забыл что брал U=10.
А у меня получилось (Py/7Px)^(7/6)
вот точно, я после исправления к этому же пришёл, только вот не написал.))
а у меня почему-то степень получилась 6/7, а не 7/6(
напишите решение, если не сложно
Я не рискнул писать матрицу Гесса, поэтому проделал действия проще, поверив, что получил максимум, а не минимум.
XPx + YpY = I отсюда выражаем Y подставляем в U берём производную по X и приравниваем к нулю.
А можно по-другому. Исходя из правила MUx/Px = MUy/Py нужно лишь найти MUx и MUy , что являются производными U . Но производные можно брать не от этой огромной функции , которая в условии, а всего лишь от подкоренного выражения)))
А ты проверил что градиенты этих функций разнонаправлены?
Ты также мог получить минимум ;)
Но ты ведь поверил, что получил максимум, почему же я не могу поверить? :-)
При каких условиях можно использовать это правило?
Если происходит монотонное преобразование( если мне не изменяет память).
Я про равенство спрашивал :)
Выпуклость?
Не-а. Функция полезности для совершенных субститутов вполне себе выпукла. Но равенство там редко достигается. Например:
, 
, 
, 
. Тогда оптимум: 
, 
. Но при этом 
, а 
при любых наборах.
Важная подсказка.
Докажите следующее утверждение. Дана функция полезности
. Пусть 
- строго возрастающая функция. Рассмотрим функцию 
. Докажите, что функции спроса, построенные для функций 
и 
, идентичны.
"Но производные можно брать не от этой огромной функции , которая в условии, а всего лишь от подкоренного выражения" под этой фразой подразумевается именно это. К чему подсказка?
Напиши подкоренное выражение.
Дальше используй подсказку.
Ну Василиса уже написала, что можно и взять от функции x^1/7+y. Но это не суть, всё равно функция спроса одна и таже.
Да, та же самая (в следующий раз вместо логарифма включу арктангенс). Осталось только понять - какая.
Иван не придерайтеся))
Функция такая X=(Py/7Px)^7/6 .
Нет.
я брала от x^(1/7)+y
монотонное же преобразование
ну вроде как
Ага, замечательно.
Осталось теперь выписать функцию спроса, т.е. аккуратно решить задачу максимизации полезности при бюджетном ограничении.
Ну да, тоже сойдёт.
у меня получается
Px=Py/(7x^(6/7)
:(
так это тоже самое))
ахах о черт))
Я же написал - нужно решить задачу аккуратно :)
Да, тормозим))
Когда I < (Py/7)^7/6 * 1/(Px)^1/6 , то X = I/Px
Ага, можно записать так:
А ответ то был на поверхности, лишь крайний случай рассмотреть.
Поучающая задача))
Ну, представь себе - ты решаешь задачу по математике. Выписываешь один ответ. А на самом деле там два корня. Много ли баллов тебе снимут за упущенный корень?
ну упущенный корень, это неверное решение. А если работать не на балл, а на достижение цели( т.е полное и фактическое нахождение решения, и ликвидации статуса "нерешенная задача" ) , то упущенный корень, вообще душит тебя пару недель, а потом добивает и устремляет твою самооценку до нуля, и лишь решение новой задачи поможет поднять её. Вот такой offtop :-)
Тебе учебный план в итоге прислали?