Крокодилы, кокосы и эластичность КПВ

Робинзон и Пятница собирают кокосы и ловят крокодилов, причем альтернативные издержки ловли одного крокодила для каждого из них постоянны. Максимально возможные количества собранных ими вместе кокосов и пойманных ими вместе крокодилов одинаковы и равны $100$ . За 27 лет на острове сложилось эффективное разделение труда: Робинзон ловит максимально возможное для себя количество крокодилов, а Пятница собирает максимально возможное для себя число кокосов. Однако известно, что если они захотят увеличить количество собираемых ими кокосов на $30\%$ , то им придется отказаться от $70\%$ крокодилов. С другой стороны, для того, чтобы поймать на $30\%$ больше крокодилов, им придется пожертвовать $45\%$ кокосов. Каковы альтернативные издержки ловли одного крокодила для Робинзона и Пятницы соответственно?

Решение и ответ

Альтернативные издержки для каждого из островитян постоянны $\Rightarrow$ КПВ каждого из них линейна $\Rightarrow$ общая КПВ имеет следующий вид:

Первоначально экономика островитян находится в точке полной специализации – в точке $X$ . Пятница собирает кокосы, а Робинзон ловит крокодилов, поэтому участок $XE$ общая КПВ «наследует» от Пятницы, а участок $BX$ - от Робинзона.

При увеличении числа кокосов мы будем двигаться по отрезку $BX$ прямой $BF$ . С одной стороны, эластичность линейной функции, графиком которой является прямая $BF$ , равна в точке $X$ $E = \frac{{\Delta \% (Croco)}}{{\Delta \% (Coco)}} = \frac{{ - 70\% }}{{30\% }} = - \frac{7}{3}$ . С другой стороны, эластичность трансформации крокодилов в кокосы равна в этой точке, по аналогии с эластичностью линейной функции спроса, соотношению длин отрезков $FX$ и $XB$ : $\left| E \right| = \frac{{FX}}{{XB}}$ .
Значит, $\frac{{FX}}{{XB}} = \frac{{OC}}{{CB}} = \frac{7}{3} \Rightarrow OC = 70,{\rm{ }}CB = 30$ .

При увеличении числа крокодилов мы будем двигаться по отрезку $XE$ прямой $AE$ . Эластичность линейной функции, графиком которой является прямая $AE$ , равна в точке $X$ $\frac{{\Delta \% (Croco)}}{{\Delta \% (Coco)}} = \frac{{ - 30\% }}{{45\% }} = - \frac{2}{3}$ . С другой стороны, она равна по модулю $\frac{{EX}}{{XA}}$ , значит $\frac{{EX}}{{XA}} = \frac{{ED}}{{DO}} = \frac{2}{3}$ , откуда $ED = 40,{\rm{ }}DO = 60$ .

Альтернативные издержки для Робинзона равны наклону $BX$ , то есть $\frac{{BC}}{{OD}} = \frac{{30}}{{60}} = 0,5$ ;
Для Пятницы альтернативные издержки равны наклону $XE$ , то есть $\frac{{OC}}{{DE}} = \frac{{70}}{{40}} = 1,75$ .

Ответ:

$0,5$ кокоса; $1,75$ кокоса.

Примечание:

Приведенное решение является достаточно коротким, но и достаточно оригинальным. Существуют и более стандартные (но и более трудоемкие) способы решить эту задачу. Например, чисто аналитический: можно выписать в общем виде уравнение кусочно-ломаной КПВ и восстановить параметры этого уравнения, исходя из имеющихся данных.

У меня сходу вот какое решение получилось:
Пусть у Робинзона производственные возможности x крокодилов или y кокосов, тогда уважаемый Пятница производит либо (100-х) крокодилов, либо (100-у) кокосов.
Тогда альтернативные издержки производства продукта, на котором они специализируются это $\frac{y}{x}$ кокосов/крокодилов у Робинзона и $\frac{100-x}{100-y}$ крокодилов/кокосов у Пятницы.
С другой стороны, при производстве 1,3(100-у) кокосов мы недопроизведём 0,7х крокодилов, а при производстве 1,3х крокодилов мы недопроизведём 0,45(100-у) кокосов.
Тогда $АИ_{Робинзона} = \frac {dx}{dy} = \frac {x}{y}$ , но с другой стороны $АИ_{Робинзона} = \frac {0,7x}{0,3(100-y)}$ и то, и то выражено в крокодило/кокосах.
Откуда $\frac {x}{y} = \frac {0,7x}{0,3(100-y)}$ , т.е. $y =30$ .
Для Пятницы же это выглядит по - другому:
$АИ_{Пятницы} (\neq АИ_{субботы}) = \frac {100-y}{100-x} = \frac {45-0,45y}{0,3x}$ , подставив $y = 30$ получим $\frac {70}{100-x} = \frac {31,5}{0,3x}$ , откуда $x=60$ .
Тогда искомые величины это:
$X_{Р} = \frac {y}{x} = \frac {1}{2}$ ,
$X_{П} = \frac {100-y}{100-x} = \frac {7}{4}$ .