Витаминки "Экономист"

Одна не очень известная фирма-монополист производит витаминки "Экономист". Чтобы произвести Q единиц необыкновенно вкусных и полезных витаминок "Экономист", нужно затратить $L=2Q^3 + Q^2 + Q$ единиц труда и $K=Q^3 + 10Q$ единиц капитала, и никак не меньше. Стоимость капитала на конкурентном рынке составляет 2 тугрика. Также фирма платит рабочим заработную плату в размере $W$ , всем одинаковую, так как и их она нанимает на совершенно конкурентном рынке труда. Спрос на продукцию фирмы имеет вид $Q=124-P$ , фирма является монополистом на рынке витаминок.

1) Выведите функцию общих издержек фирмы $TC(Q)$ .
2) Каков размер максимальной прибыли, которую фирма может получить, если стоимость труда составит 4 тугрика?
3) При каких значениях заработной платы фирма будет выпускать на рынок свой полезный и вкусный продукт?

Первый и второй пункт вроде всё понятно.
В третьем я рассуждал так: издержки на капитал - тоже относятся к переменным значит $AVC=2Q^2+2Q+w(2Q^2+Q+1)$
теперь при том же оптимальном Q найдём точку при которой AVC касается P(Q) (а точнее найдём это критическое w).
w=13.7 Значит наш монополист останется при w<13.7. А у Тимура получается при w<104 . не пойму где у меня ошибка.

↑

Дан Лифшиц, 29.3.2010 в 21:16. (ссылка)

Если AVC касается P, то в этой точке MR = MC. Попробуй так. Может быть, в твоём решении где - то в математике ошибаешься?!

А может быть в условии) Потому что $AVC = 2Q^2 + 20 + w(2Q^2 + Q + 1)$ =)

↑

Алёна Т., 30.3.2010 в 11:36. (ссылка)

Максим, а ты уверен, что со вторым пунктом всё понятно?! прибыль, не зная Р и когда Q можно выразить только через параметр(w), мне кажется найти не получится...
может быть во втором пункте речь идёт об оптимальном выпуске при w=4?

↑

Максим Нежельский, 30.3.2010 в 11:42. (ссылка)

$TC(Q)=wL+rK$ r-известно из условия w-известно из второго пункта.Затем находишь $MC(Q)$ и приравниваешь к $MR(Q)$ . Ну а дальше там понятно.(всё известно.)

↑

Алёна Т., 30.3.2010 в 11:48. (ссылка)

тогда мы найдём оптимальную прибыль! а нам нужна Pr(w=4). То, что такая зарплата оптимальна нам никто не сказал...

↑

Максим Нежельский, 30.3.2010 в 11:51. (ссылка)

Мы находим оптимум в сложившихся условиях. а чем меньше $W$ тем меньше $TC(Q)$ и $AVC(Q)$ .

↑

Алёна Т., 30.3.2010 в 11:57. (ссылка)

это вполне логично. я что-то замудрила с условием.

Тимур Аббясов, 29.3.2010 в 21:26. (ссылка)

Там вроде получается, что на Q>0 AVC возрастает, поэтому ситуация касания как таковая отпадает, если она вообще имеет экономический смысл

Максим Нежельский, 29.3.2010 в 21:26. (ссылка)

Внимательное переписывание условия - торжествует!)

Перерешал но ответ мой сильно не изменился w<11.9

↑

Дан Лифшиц, 29.3.2010 в 21:32. (ссылка)

Ну не хочется математику проделывать...

$P(Q) = f(Q); f_{кас}(Q) = f(Q) = AVC(Q_{0}) + AVC'(Q_{0})(Q-Q_{0})$ .

А можно как Тимур:
$\frac{\delta AVC}{\delta Q} > 0$ , а $\frac{\delta P}{\delta Q} < 0$ , поэтому как такового касания и не будет.

Максим Нежельский, 29.3.2010 в 21:32. (ссылка)

а ну да конечно возрастает ( что-то я тупанул).
Тимур а как ты определял w<104?

↑

Дан Лифшиц, 29.3.2010 в 21:34. (ссылка)

$MC(0) = MR(0) = P(0)$

Максим Нежельский, 29.3.2010 в 21:37. (ссылка)

Ну теперь всё понятно. Спасибо.

↑

Дмитрий Сорокин, 29.3.2010 в 21:52. (ссылка)

Полезно нарисовать MR и МС, зафиксировав параметр w. Все сразу проясняется.

Тимур Аббясов, 29.3.2010 в 21:48. (ссылка)

ну вот и отличненько) Единственное в целях смысловой эстетики я бы написал $P_{max}$ , хотя это и есть $P_0$ ))

Вотяков Александр, 30.3.2010 в 10:58. (ссылка)

Я о касании как то не думал до чтения комментов.

пишем прибыль втупую:
$Pr=(104-w)*Q-(1+w)*Q^2-(2*w+2)*Q^3$
Для удобства заменяем $a=w+1$ и пишем
$Pr=(105-a)*Q-a*Q^2-2*a*Q^3$
замечаем, что $Pr(0)=0$
$Pr'(Q)=(105-a)-2a*Q-6*a*Q^2$
это парабола ветвями вниз, соответственно если корней нет, то функция прибыли убывающая, то есть после Q=0 будут только отрицательные значения. Значит корни есть и дискриминант больше 0
$D=4*a^2-24*a*(a-105)=2520a-20*a^2$
значит, a<126, но не в этом соль.
$Q=(2*a+-sqrt(D))/(-12*a)$
рисуем график прибыли, которая при Q очень отрицательном очень большая, а при Q очень положительном очень маленькая, а так же у которой производная имеет два корня.
один из этих корней отрицательный, соответственно если второй тоже отрицательный то Q=0 находится на убывающем участке графика прибыли и он опять ничего не выпускает.
значит, второй положительный и тогда 0 находится между двумя корнями производной, соответственно локальным минимумом прибыли и максимумом, то есть Q=0 на возрастающем участке а значит есть положительные значения прибыли.
$Q=(2*a+sqrt(D))/(-12*a)$ - это точно отрицательный корень, т.к. числитель >0, знаменатель <0
$Q=(2*a-sqrt(D))/(-12*a)>0$
$2*a-sqrt(D)<0$
$4*a^2<D$
$4*a^2<2520a-20a^2$
$a<105$
$w<104$