"Товары-заменители"

Здравствуйте, дорогие Друзья! Это снова я с информацией для раздумья.

Сегодня предлагаю Вам подумать вот над чем: "товары-заменители". Хм, а не бывает ли так, что один товар является заменителем для другого, а обратное утверждение неверно? Если бывает, то постарайтесь привести пример таких предпочтений (или задайте их функцией полезности) и дайте интерпретацию. Если нет, то докажите это.

Решение и ответ

Примечание:

Не берусь брать на себя авторство, так как, по сути, от меня в задаче нет ничего.

Наверное это возможно когда один из товаров может удовлетворять несвойственные ему потребности, например винт можно как отверткой закрутить так и ножом соответствующего размера, а колбасу отверткой не отрежешь, или как средство утоления жажды кола и сок - заменители, а как средство удаления тонировки со стёкол - кола незаменима.

P.S. я в одной теме писал что мне кажется, что "формулировка "товар A для товара B - заменитель" неверная или неполная потому как такое свойство им придает способность удовлетворять потребности одного вида, которые, в свою очеред у всех разные, а значит в этой формулировке необходимо указать субъект потребностей или саму потребность. Пример : для одноногого человека два носка являются не абсолютными комплементами, а заменителями. ?"Может я не прав?
Если же говорить про заменители в удовлетворении одной и той же потребности, то, мне кажется, что тут обратная связь необходима.

↑

Григорий Хацевич, 28.3.2010 в 00:52. (ссылка)

Я думаю, Дима имеет в виду формальное определение: если при росте цены товара A спрос потребителя на товар B растёт, то товар B является заменителем товара A, а если падает, то дополнителем. То есть это просто условное название, наподобие того как предметом роскоши называют любой товар с эластичностью спроса по доходу больше 1.

↑

Дмитрий Сорокин, 28.3.2010 в 01:04. (ссылка)

Да, так и есть.

↑

Дмитрий Сорокин, 28.3.2010 в 00:54. (ссылка)

Хм, твоя идея интересна, но, сам понимаешь, всего не смоделируешь, поэтому пусть речь далее пойдет об одном использовании товаров.

А почему тебе так кажется? Есть ли какие-то мысли?

↑

Григорий Хацевич, 28.3.2010 в 01:39. (ссылка)

А вообще вполне законное объяснение. Допустим, потребитель очень любит пить колу, а ещё у него есть хобби - вытирать на тонировках чужих машин фразу "MR=MC". Если повысится цена на средство удаления тонировки, он закупит колы и будет вытирать ей. Если же цена на колу вырастет, то (допустим, он тратит на неё большую долю дохода) это сильно ударит по его бюджету, и он перестанет вытирать надписи на машинах, а освободившиеся деньги будет тратить на колу, чтобы не так сильно сократить её потребление. В данном случае получается, что средство - предмет роскоши, а кола - товар первой необходимости.

↑

Дмитрий Сорокин, 28.3.2010 в 01:59. (ссылка)

Ну а зачем рассуждения про связь с доходом? Пусть потребитель покупает колу и очистители. Если цена очистителя вырастет, то он колой будет мыть. Кола заменяет очиститель. Однако, если цена колы вырастет, то он не будет заменять ее очистителем - ведь его пить не вкусно. Я предполагаю, что он все-таки изначально Колу больше как напиток видит и лишь в крайней ситуации готов ее на окна лить. =)

Дан Лифшиц, 28.3.2010 в 11:58. (ссылка)

У меня идея - фикс по поводу задачи :)
Впринципе, у нас же есть 5 уравнений, связывающих 8 величин $\mu_{1} ; \mu_{2} ; E^{q_{1}}_I ; E^{q_{2}}_I ; E^{q_{1}}_{p_{1}} ; E^{q_{2}}_{p_{1}} ; E^{q_{1}}_{p_{2}} ; E^{q_{2}}_{p_{2}}$ . Первые 2 величины - доли расходов на благи $q_{1} ; q_{2}$ соответственно.
При $E^{q_{i}}_I = 0$ возможен случай, когда $E^{q_{2}}_{p_{1}} > 0$ , а $E^{q_{1}}_{p_{2}} < 0$ .

И, судя по всему, это должны быть квазилинейные предпочтения $U(q_{1};q_{2}) = q_{1} + v(q_{2})$ .

↑

Григорий Хацевич, 28.3.2010 в 12:16. (ссылка)

если потребитель тратит весь свой доход (например, если функция полезности всегда возрастает хотя бы по одному аргументу), то не может быть, что обе $E^{q_{i}}_I = 0$ .

↑

Дан Лифшиц, 28.3.2010 в 12:24. (ссылка)

Нене, я нечётко выразился, эластичность по доходу только по одному благу равна 0.

Т.к. предпочтения квазилинейны, то монотонным преобразованием мы можем привести их к выпуклым, тогда оптимум потребителя будет определяться законом Госсена $\frac{MU_{1}}{MU_{2}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}$
$\frac{1}{v'(q_{2})} = \frac{p_{1}}{p_{2}}$
$v'(q_{2}) = \frac{p_{2}}{p_{1}}$
$q_{2} = (v')^{-1}[\frac{p_{2}}{p_{1}}] \Rightarrow$ вполне возможно, что $E^{q_{2}}_I = 0$ .

↑

Григорий Хацевич, 28.3.2010 в 13:17. (ссылка)

Про приведение к выпуклым не понял. Напишешь поподробнее?
А так всё ок, осталось только подобрать нужную функцию v, и получим, что $q_2$ растёт по $p_1$ , а $q_1$ падает по $p_2$ .

↑

Дан Лифшиц, 28.3.2010 в 13:39. (ссылка)

Я, наверное, опять не туда.
Это имелось ввиду для квазивогнутых функций))

Да, Дим, я уже примерно понял, в какую сторону капать. Вечером приду - доделаю.

↑

Дмитрий Сорокин, 28.3.2010 в 13:19. (ссылка)

Насчет квазилинейности - это ты глубоко копнул. Действительно есть функция полезности, выражающая квазилинейные предпочтения, которая подойдет для решения задачи. Давай дам подсказку:
представь, что решив задачу максимизации полезности, ты получил 2 функции спроса - $X_1$ и $X_2$ . Если ты подставишь функции в бюджетное ограничение, то получишь некоторое тождество (считаем, что доход весь тратится). Так вот, его можно дифференцировать по ценам. Пусть товар $X_2$ вообще не реагирует на изменение цены $X_1$ . Попробуй что-нибудь получить из этого.

Дан Лифшиц, 28.3.2010 в 16:13. (ссылка)

Далеко за примером ходить не пришлось.
Распишу нахождение спроса по полной катушке.
$U(x_{1};x_{2}) = ax^{0.5}_{1} + x_{2}; a > 0$

Можно через матрицу вторых производных.

$H = \binom{-\frac{a}{4x^{1.5}_{1}};0}{0;0}$

Мы видим, что $\frac{\partial^{2}U}{\partial{x^{2}_1}} < 0$ , а остальные значения зануляются, значит функция квазилинейная, одно из оптимальных касаний красивое (не угловое).
Тогда можем воспользоваться вторым законом Госсена. К тому же ответу можно прийти если пойти через $I = p_{1}x_{1} + p_{2}x_{2} \Rightarrow x_{1} = \frac{I-p_{2}x_{2}}{p_{1}}$ .
Получим $\frac{a}{2x^{0.5}_{1}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}$
Тогда спрос на первое благо $x_{1} = \frac{a^{2}p^{2}_{2}}{4p^{2}_{1}}$ . Видно, что $E^{x_{1}}_I = 0$ .
$x_{2} = \frac{4p_{1}I - a^{2}p^{2}_{2}}{4p_{2}p_{1}}$ . Забудем про угловое решение при $I \leq \frac{a^{2}p^{2}_{2}}{4p_{1}}$ .
Если увеличивается $p_{1}$ , то уменьшается $x_{2}$ . Если же увеличивается $p_{2}$ , то растёт $x_{1}$ . Тогда для первого блага другое может быть дополнителем, а второе для первого - заменителем. Ну или как - то так. Но эффект, который Дима хотел "из нас получить", налицо :)

В чём экономический смысл этого всего? Если отвлечься от конкретного примера, который привёл Тимур и дополнил Гриша?

↑

Дмитрий Сорокин, 28.3.2010 в 16:14. (ссылка)

Молодец! Скажи, а как ты, непосредственно, искал? Просто перебором каким-то осознанным?
Ну а интерпретацию я уже приготовил. Теперь жду ее от вас.

↑

Дан Лифшиц, 28.3.2010 в 16:22. (ссылка)

К сожалению, да, перебором, потому что в общем виде я предстал перед диффуром, поставившим меня в тупик.
Наверное, можно восстановить функцию через тождество Роя, или лемму Шепарда, не помню какая применяется в данном случае... Но не осилил.

↑

Григорий Хацевич, 29.3.2010 в 00:54. (ссылка)

"Если увеличивается $p_{1}$ , то уменьшается $x_2$ ". Правда что ли?

↑

Дан Лифшиц, 29.3.2010 в 05:11. (ссылка)

В некотором интервале для других переменных.
Я через производную посмотрел, там правда может быть, что $\frac{\delta{x_{2}}}{\delta{p_{1}}} < 0$ . Или нет?

В любом случае, функция с логарифмом проще :)

↑

Григорий Хацевич, 29.3.2010 в 10:48. (ссылка)

Даня, ну не позорься, подели числитель на знаменатель почленно.

↑

Дан Лифшиц, 29.3.2010 в 10:54. (ссылка)

Взял да опустил меня! Наглец!

↑

Григорий Хацевич, 29.3.2010 в 11:05. (ссылка)

ну ты хоть согласился, что x2 растёт по p1?

↑

Дан Лифшиц, 29.3.2010 в 13:28. (ссылка)

Конечно, если целую часть выделить. :)

Дан Лифшиц, 28.3.2010 в 16:20. (ссылка)

А почему бы мне и не сходить через лес?!

Есть функция попроще (на мой взгляд).

$U = x_{1} + lnx_{2}$
$x_{1} = \frac{I}{p_{1}} - 1$
$x_{2} = \frac{p_{1}}{p_{2}}$
Одно благо нечувствительно по цене другого, а у одного $p_{1}$ растёт, тогда и $x_{2}$ растёт. Это товары - субституты.

↑

Дмитрий Сорокин, 29.3.2010 в 13:36. (ссылка)

Дан, с тебя еще интерпретация!

Дан Лифшиц, 30.3.2010 в 08:52. (ссылка)

Как мы видим, спрос на второй товар зависит от цены первого, а спрос на первый от цены второго - нет. В зависимости от соотношения $p_{1}$ и $I$ , мы либо покупаем благо $x_{1}$ , либо полностью переключаемся на покупку блага $x_{2}$ , но сейчас забудем про случай углового оптимума.
Возможно, это происходит потому, что у нас есть "определяющее благо" $x_{1}$ , которое мы покупаем независимо от ситуации на рынке по второму товару. Например, этот товар может быть чем - то сильно необходимым (но тем не менее мы готовы его не покупать при некоторых условиях), т.е. это может быть дорогой необходимый товар. В то же время спрос на второе благо является "остаточным", все оставшиеся деньги мы тратим на $x_{2}$ , поэтому, возможно, $x_{2}$ чувствителен по $p_{1}$ .