Алгебра рентабельности

Известно, что рентабельность совершенно конкурентной фирмы «Эйлер, Бернулли и партнеры» при каждом объеме выпуска можно посчитать по формуле $r(Q) = Q \cdot {e^{2 - Q}} - 1$ , где $r$ – рентабельность (в долях), $Q$ – выпуск (в тыс. шт.). Определите:

Максимально возможную рентабельность фирмы;
Рентабельность фирмы в точке оптимума.

Решение и ответ

1) $r(Q) \to \max$ ; $r'(Q) = {e^{2 - Q}} - Q \cdot {e^{2 - Q}} = 0 \Rightarrow Q = 1,{\rm{ }}r(1) = e - 1 \approx 171,8\%$
2) Оптимальным является выпуск, при котором максимальна не рентабельность, а прибыль. Попытаемся восстановить функцию прибыли фирмы.

$r(Q) = \frac{{\pi (Q)}}{{TC(Q)}} \Rightarrow \\r(Q) + 1 = \frac{{TR(Q)}}{{TC(Q)}} = \frac{{PQ}}{{TC(Q)}}.$

$TC(Q) = \frac{{PQ}}{{r(Q) + 1}} \Rightarrow \\ \pi (Q) = PQ - \frac{{PQ}}{{r(Q) + 1}} = P\left( {Q - \frac{Q}{{Q \cdot {e^{2 - Q}}}}} \right) = P\left( {Q - {e^{Q - 2}}} \right)$ .

Как видим, функцию прибыли нам удалось восстановить лишь с точностью до константы $P$ (цена является для фирмы константой в силу того, что наша фирма совершенно конкурентная). Однако этого достаточно, для того чтобы найти оптимальный выпуск фирмы:
$\pi (Q) = P\left( {Q - {e^{Q - 2}}} \right) \to \max$
$\pi '(Q) = P\left( {1 - {e^{Q - 2}}} \right) = 0 \Rightarrow {Q^*} = 2,{\rm{ }}r({Q^*}) = 2 \cdot {e^{2 - 2}} - 1 = 1 = 100\% .$