Потоварный налог vs. налог на выручку на монопольном рынке

Спрос на продукцию монополиста описывается уравнением $Q_d=15-P$ , а издержки – уравнением $\TC=Q$ .
а) В каком случае сумма налоговых поступлений будет больше: при введении государством потоварного налога по ставке 6 или при введении им налога на выручку по ставке 50%?
б)Найдите максимально возможные суммы налоговых сборов в случае введения потоварного налога и в случае введения налога на выручку.
в) В каком случае максимальная сумма налоговых сборов будет больше – в случае введения потоварного налога или в случае введения налога на выручку?
г) (Бонус, не учитывайте при оценке сложности). Докажите, что результат пункта в) сохраняется для произвольной убывающей функции спроса и произвольной возрастающей функции издержек монополиста при условии, что после введения обоих налогов фирма выбирает ненулевой выпуск.

$TR(t) = (1-t)(15Q-Q^2)$
$MR(t) = (1-t)(15-2Q)$
$MR(t) = MC$
$(1-t)(15-2Q) = 1$
$Q = 7 - \frac{t}{2-2t}$
$P = 8 + \frac{t}{2-2t}$
$TR = PQ = 56 - \frac{t}{2-2t} - \frac{t^2}{(2-2t)^2}$
$T = TR \cdot t = 56t - \frac{t^2}{2-2t} - \frac{t^3}{(2-2t)^2}$
$T'(t) = 0$
И получаем какой - то бред)

↑

Алексей Суздальцев, 15.3.2010 в 20:25. (ссылка)

Ты просто немного нерационально преобразовал. Если оставить ку в виде $Q=7,5-\frac{1}{2-2t}$ , то все будет проще.
В итоге на оптимальное t получится кубическое уравнение, в котором можно будет угадать корень.

↑

Дан Лифшиц, 15.3.2010 в 20:29. (ссылка)

Так там получится T(t) кубическое, а производная будет всегда больше 0, т.е. это значит что T(t) всё время растёт. Максимум функции сильно некрасивый =(

↑

Алексей Суздальцев, 15.3.2010 в 20:33. (ссылка)

Нет, производная имеет красивейший корень, а функция не может все время расти, так как, как ты сам сказал, у нее нули в нуле и 14/15

↑

Дан Лифшиц, 15.3.2010 в 20:43. (ссылка)

Всё - всё - всё, я записал как ты сказал, будет корень $t = 1/3$ . Хотя, всё равно какой - то странный корень, потому что тогда $Q = 6,75 ; P = 8,25 ; TR = 55,6875 ; T = 18,5625$ .
Я уже исправлял сообщение, но не успел) А у функции просто ассимптота в точке $t = 1$ , и в её окрестностях она себя как - то странно ведёт)

А почему в зависимости от вида записи корень то исчезает, то появляется?

↑

Алексей Суздальцев, 15.3.2010 в 20:46. (ссылка)

Не, ответ не тот. И корень не должен то исчезать, то появляться. Ну а при $t>\frac{14}{15}$ нас вообще не интересует поведение функции, ведь выпускать отрицательный выпуск не разрешается, пусть даже если формально там огромные налоговые сборы.

↑

Дан Лифшиц, 15.3.2010 в 20:59. (ссылка)

Да, я в некотором затупе нахожусь, у Тимура всё верно.
$t = 4/5$ ; $T = 40$ .

↑

Тимур Аббясов, 15.3.2010 в 20:48. (ссылка)

У меня вроде как при 0.8 доход от налога больше чем при 1/3, подставить хотя бы в ту функцию, что ты вывел, ну или на вольфраме максимизация

Дан Лифшиц, 15.3.2010 в 19:53. (ссылка)

Ну максимум поступлений от потоварного налога - 24.5
А от налога на выручку - функция какая - то странная, я в вольфраме нарисовал, нули при t =0 ; 14/15. t=1 - разрыв.
Но при налоге на выручку налог больше чем 24.5 возможен. Значит, налог на выручку приносит бОльшие налоговые поступления.

Максим Нежельский, 15.3.2010 в 19:58. (ссылка)

Да , что налог на выручку может принести больше - видно из первого пункта .Согласен.

Как ты вывел TR(t)=?

↑

Дан Лифшиц, 15.3.2010 в 20:18. (ссылка)

Не понял тебя? Как адвалорный налог: мы отдаём процент от выручки.
Ты же как - то для частного случая сделал. А теперь замени 0,5 на t и запиши в общем виде, получишь тоже самое.

Максим Нежельский, 15.3.2010 в 20:25. (ссылка)

Ну как вывести TR(t) я понял. А вот максимум как-то не находится, получается и правда бред...

Сергей Крюков, 15.3.2010 в 20:49. (ссылка)

а) Tпотов<Твыр Твыр=27,625 Тпотов=24
б) Тmaxвыр>Тmaxпотов Тmaxвыр=35,21875 Тmaxпотов=24,5

Так??

↑

Алексей Суздальцев, 15.3.2010 в 20:54. (ссылка)

В случае налога на выручку максимальная сумма сборов не такая.

↑

Тимур Аббясов, 15.3.2010 в 20:57. (ссылка)

↑

Алексей Суздальцев, 15.3.2010 в 21:03. (ссылка)

Ага. Теперь попробуй доказать в общем виде.

↑

Сергей Крюков, 15.3.2010 в 20:59. (ссылка)

Хотя бы при T=1/8 или здесь Я тоже ошибся?

↑

Алексей Суздальцев, 15.3.2010 в 21:03. (ссылка)

Видимо, ошибся.

Дан Лифшиц, 15.3.2010 в 23:27. (ссылка)

Видимо, общий вид надо пытаться делать графически, потому что я расписал всю математику в общем виде хотя бы для линейных MC, и уже получил 2 выражения, которые я не знаю как сравнить, потому что они содержат 5 переменных.))

↑

Алексей Суздальцев, 16.3.2010 в 17:43. (ссылка)

Само решение не графическое, но график может навести на мысль)

Вообще же оно короткое, 1-2 строчки.

Анастасия Сорокина, 12.3.2011 в 10:44. (ссылка)

Расскажите , пожалуйста, по каким формулам вы считаете?

↑

Араик Косян, 12.3.2011 в 10:53. (ссылка)

Потоварный налог: $Tx=Q \cdot t$ , налог на выручку: $Tx=\tau \cdot P \cdot Q$