Синергия и сумма сумм

ОАО «Синергия» является монополистом на рынке некого полезного товара. Спрос на ее продукцию описывается уравнением $Q_d=150-P$ , а общие издержки – уравнением $\TC=50Q$ .
а) Пусть у фирмы есть возможность провести рекламную кампанию своего товара, в результате которой спрос на него повысится на 20%. Какую максимальную сумму она готова заплатить за такую рекламную кампанию?
б) Пусть у фирмы есть возможность провести модернизацию производства, в результате которой общие издержки понизятся на 20% при каждом значении выпуска. Какую максимальную сумму она готова заплатить за такую модернизацию?
в) Пусть фирма рассматривает возможность провести рекламную кампанию и модернизацию одновременно. Какую максимальную сумму она готова заплатить за это?
г) Равна ли сумма, полученная вами в в), сумме сумм, полученных в а) и б)? Объясните результат интуитивно.
д) Сохранится ли результат пункта г) для произвольной убывающей функции спроса и произвольной возрастающей функции издержек?

Самое удачное на мой взгляд решение - графическое, по площадям сразу видно почему в пункте г) ответ нет. Ну с экономической точки зрения это происходит в силу того, что в каждом отдельном случае мы считаем прирост при прочих равных, а в в) это не так.
д) в силу того что принцип при прочих равных не будет приводить к тому же результату, если прочие действиетльно не равны - сохранится, ну хотя стоит попытаться найти исключение или доказать что его нет.

↑

online Алексей Суздальцев, 10.3.2010 в 23:42. (ссылка)

Да, про площади - это хорошая идея. Она сразу решает все. Но твое утверждение про "прочие равные" не очень понятно, напиши поподробнее. Пока ты просто констатируешь, что в в) - другая ситуация, но из этого еще не следует, что прибыль в в) возрастет сильнее, чем суммарно в а) и б).

↑

Тимур Аббясов, 10.3.2010 в 23:49. (ссылка)

В a) мы считаем прибыль при относительно более высоких издержках, в б) при относительно сжатом спросе, а в в) ничего относительно не приуменьшено, при этом оказываются действия аналогичные действиям в пунктах а и б.

↑

online Алексей Суздальцев, 11.3.2010 в 00:05. (ссылка)

Уже теплее)

Ираклий Окромчедлишвили, 10.3.2010 в 23:27. (ссылка)

a)П=2500 (Q=50)без рекламы,П=3000(Q=60) с рекламой,=>готовы заплатить не более 500 ед.
б)П=2500,П=3025 (Q=55) =>готовы заплатить не более 525 ед
в)П=2500,П=3630(Q=66) с мод и рекламой,=>готовы заплатить не более 1130 ед
г)1130>1025 это происходит потому что по отдельности эти кампании не полностью используют свой потенциал,а вместе они дополняют друг друга,давая дополнительный выигрыш.

↑

online Алексей Суздальцев, 10.3.2010 в 23:34. (ссылка)

Цифры правильные, но довольно размыто интерпретируешь в г). А что в самом интересном пункте - д)?

↑

Ираклий Окромчедлишвили, 10.3.2010 в 23:46. (ссылка)

г) В нашем случае есть три разных оптимальных выпуска в зависимости от типов кампаний (две единичные и одна общая). Поскольку в первых двух случаях мы выбираем оптимальный выпуск без учета влияния двух кампаний друг на друга, то результаты, полученные так, будут отличаться от оптимума, полученного при оптимизации с учетом влияния обеих акций.
д) Тут более сложный вариант - по-моему да. Ведь если у нас обе функции реагируют на изменения в аргументе, то снова встает вопрос о том, что оптимизируя по отдельности для двух случаев мы не получим такого же результата, как и для совместной оптимизации.

↑

online Алексей Суздальцев, 11.3.2010 в 00:02. (ссылка)

г) Результаты отличаться-то будут, но в какую сторону? Как это почетче понять интуитивно?

↑

Ираклий Окромчедлишвили, 11.3.2010 в 00:02. (ссылка)

д) Допустим у нас есть F(q) - выручка и T(q) - издержки. Акция 1 дает нам kF(q)-T(q). Вторая: F(q)-T(q)m. Третья kF(q)-T(q)m. Если бы рез-ты всех четырех случаев оптимизации давали бы один и тот же q, то легко было бы показать, что выигрыш для третьего случая равен сумме выигрышей для первых двух: (k-1)F(q)-(1-m)T(q)= kF(q)-T(q)-F(q)+T(q)+F(q)-mT(q)-F(q)+T(q). Но у нас есть четыре разных q. Для третьего случая= kF(q***)-T(q***)m -F(q)+ T(q). Сумма двух первых случаев равна: kF(q*)-T(q*) - F(q) + T(q) + F(q**)-T(q**)m - F(q)+T(q). Теоретически может быть частный случай, когда два этих выражения будут равны

↑

online Алексей Суздальцев, 11.3.2010 в 00:28. (ссылка)

У нас новая выручка - не совсем $kF(q)$ . Ведь растет величина спроса при каждой цене, а не цена спроса при каждом объеме. Но качественно от этого результат, конечно, не меняется.

Если частный случай может быть - давай пример.

↑

Сурен Аванян, 11.3.2010 в 18:07. (ссылка)

У меня получился такой пример: $TC=Q^2+50Q$ при $Q>=1$
$Q=\frac{400}{P}$ , тогда $Qopt=1$ всегда. Ну и соответственно пункт д) нет.

P.S Я понимаю, что ввожу свои ограничения, поэтому не факт , что это врено, но пока мысли такие.

↑

Дан Лифшиц, 11.3.2010 в 18:15. (ссылка)

Такой промежуток немного нечестен, ведь ты высекаешь оптимальное значение Q.

↑

Сурен Аванян, 11.3.2010 в 18:17. (ссылка)

По твоему какой оптимум?

↑

Дан Лифшиц, 11.3.2010 в 18:24. (ссылка)

$TR = 400 = const$ .
$MC(Q) > 0; Q \in R \Rightarrow Q^* \rightarrow 0$ .

↑

Сурен Аванян, 11.3.2010 в 18:27. (ссылка)

согласен.Если так, то убрав промежуток получим , что Q также стремится к нулю. И будет всё также, как если бы был промежуток.

↑

Дан Лифшиц, 11.3.2010 в 18:30. (ссылка)

Но что такое "стремится к нулю"? =)
Предположим, мы провели стимулирование спроса. Q по прежнему стремится к нулю. Как сравнить два разных объёмы выпуска, стремящихся к нулю?
В общем, какая - то бяка. У меня пока всё крутится вокруг кубических TC, там вроде всё должно красиво получаться, из-за наличия у такой функции двух локальных максимумов.

↑

Сурен Аванян, 11.3.2010 в 18:33. (ссылка)

Я пока кубические в счёт не взял. Да там с этим стремление, что-то не то, хотя думаю это интересно с математической точки зрения. Как насчёт ограничения, что Q должно быть натуральным, например мы производим карандаши))Тогда всё ок.

Дан Лифшиц, 11.3.2010 в 11:25. (ссылка)

Если графически нарисовать ситуацию в), то прям очень хорошо видна лишняя трапеция с $+d\pi$ , где площадь трапеции это превышение $MR$ над $MC$ при каждом уровне выпуска, сверх первоначального оптимума.
Т.е. $S_{трапеции} = \frac{(66-55)+(60-50)}{2} \cdot 10 = 21 \cdot 5 = 105$ , а это и равняется $A_{в} - A_{б} - А_{а} = 1130 - 525 - 500 = 105$ , где $A_k$ - сумма, которую компания готова заплатить за k-тую акцию.
Может быть, прикол в том, что уменьшение издержек усиливает возможность использования нами рыночной власти, что помогает нам отобрать лишний кусок выигрыша у потребителей.
А насчёт пункта д), такое ощущение, что эта фишка всегда будет сохраняться, только я вот пока не уверен в случае абсолютно эластичного спроса.

↑

Сурен Аванян, 11.3.2010 в 15:59. (ссылка)

Насчёт случая абсолютно эластичного спроса я проверил, там всё сохраняется. Ответы во всех пунктах такие же.

↑

Дан Лифшиц, 11.3.2010 в 16:55. (ссылка)

А ты уверен?
Смотри, мы предполагаем, что функция спроса имеет вид $P_d = a$ . Тогда акция на спрос ничего не изменит: у нас и так готовы купить любое количество товара по $P \leq a$ . Также, мы предполагаем, что функция издержек имеет вид хотя бы возрастающей прямой, иначе $Q$ либо бесконечно (если $MC < a$ ), либо равняется нулю (если $MC \geq a$ ), чтобы была хоть бы одна точка равновесия. Пусть параметры этой точки равновесия $(Q_1^* ; a)$ .
Следовательно, расходы на увеличение спроса $A_a = 0$ .
Расходы на снижение издержек будут иметь смысл, потому что они сдвинут $MC$ на $x$ единиц вниз при каждом уровне $Q \leq Q_2^*$ , где $Q_2^*$ - точка второго оптимума. Заведомо, $Q_1^* < Q_2^*$ . Если рассмотреть три этих графика по отдельности, то первый не принесёт никакого прироста прибыли, а вторая акция будет иметь смысл. Т.е. $A_{б} > 0$ . Но $A_в$ же, в свою очередь, будет равняться сумме стоимостей предыдущих двух акций, т.е. $A_{в} = А_{a} + A_{б} = A_{б}$ .
Тогда это свойство выполняется не всегда.

↑

Сурен Аванян, 11.3.2010 в 17:13. (ссылка)

"д) Сохранится ли результат пункта г) для произвольной убывающей функции спроса и произвольной возрастающей функции издержек?"

↑

Дан Лифшиц, 11.3.2010 в 17:49. (ссылка)

"Насчёт случая абсолютно эластичного спроса я проверил..." =)
Я знаю, что в условии убывающие функции. Для них всегда соблюдается (с первого взгляда кажется именно так).

↑

Сурен Аванян, 11.3.2010 в 17:52. (ссылка)

Я думал ты имел ввиду совершенно эластичный спрос, поспешил )

↑

Сурен Аванян, 11.3.2010 в 17:53. (ссылка)

Я расcматривал для функции сроса вида $Q=\frac{A}{P^n}$

Тимур Аббясов, 11.3.2010 в 19:25. (ссылка)

Господа, о чем дискуссия?

↑

Дан Лифшиц, 11.3.2010 в 19:33. (ссылка)

О пункте д), кроме варианта, когда спрос абсолютно эластичен. Там я уже написал, что условие не будет выполняться.

↑

Тимур Аббясов, 11.3.2010 в 19:50. (ссылка)

То есть результат не сохранится?По-моему сохранится для указанных функций)

↑

online Алексей Суздальцев, 12.3.2010 в 00:56. (ссылка)

Абсолютно эластичный спрос, к сожалению, нельзя по идее назвать даже функцией ку от пэ, не говоря о том, что он (в каком бы то ни было смысле) не убывает. Так что твой пример (хоть ты все в нем и правильно описал) не подходит под условие задачи.

online Алексей Суздальцев, 12.3.2010 в 01:09. (ссылка)

Ладно, не парьтесь, в д) сойдет и графическое объяснение. И ответ в этом пункте(если не строить патологических примеров с ограничениями на выпуск, как у Сурена)) - да.

Я предлагаю такую интерпретацию-объяснение обнаруженного эффекта.
В пункте в) можно мысленно представить, что компания провела сначала модернизацию (из-за чего ее прибыль увеличилась на $A_б$ ), а затем рекламную кампанию. На сколько увеличится прибыль фирмы на втором этапе?
Фишка в том, что когда у компании более низкие издержки, повышение спроса принесет ей бОльшую выгоду, чем в случае, когда у нее более высокие издержки. Действительно, при низких издержках каждую вновь проданную единицу можно произвести дешевле, чем в случае высоких издержек, и дополнительная выгода от рекламы будет больше. Поэтому на втором этапе ее прибыль увеличится больше, чем на $A_a$ . А значит, и суммарное (за два этапа) повышение будет больше, чем $A_{б}+ A_a$ .