Очередная тренировка по эластичности
Очередная тренировка по эластичности
Не задумывались ли вы, дорогие Друзья, вот над чем: мы часто видим линейную кривую спроса, у которой есть как эластичные участки, так и нет. Также мы видим кривые с постоянной эластичностью по цене. Предлагаю вам следующее: отыщите такие функции спроса, которые имеют различные значения точечной эластичности по цене, но при этом являются всегда строго эластичными или неэластичными. Попробуйте рассуждать экономически (я знаю, что всех уже достал с этим, но все же). Математические изыски также приветствуются.
Ну и еще легкая тренировочка для тех, кто не очень уверен в себе: докажите, что если на рынке присутствуют только потребители с эластичным спросом, то и рыночный спрос будет эластичен.
Версия для печати
Ну,например, функция
Не уверен но может быть функция вида:Q=arctg(P)она обладает различной эластичностью которая всюду по модулю меньше 1.
Тогда уже Q(p)=1/arctg(p), раз речь идёт о спросе. Кстати, упражнение: если единицу разделить на эластичное предложение, получим эластичный спрос.
Например:
1)
2)
Тимур, а оцени такую функцию:
Она проще твоей, да и эластичность тут вообще красивая.
Да, и вправду красивая)
И линейная, и строго меньше -1. =)
Я брал эластичность и делал функцию, но мне и в голову не пришло, что при x>0, -x-1 это тоже всегда меньше -1 ))
Ты прав, такая по-красивее будет))
Да извиняюсь я имел ввиду Q=arcctg(P) просто одну "с" забыл поставить. Если я имел ввиду Q=arcctg(P)то это приемлимый ответ?
Судя по всему, эластичность у этой функции и вправду от -1 до 0, у меня один вопрос, откуда эту функцию ты взял? Функция эластичности у нее "будь здоров"
Да, не сразу оценишь, какие значения она принимает. =)
В смысле откуда взял?
Начал перебирать монотонно убывающие функции первое что пришло на ум это arcctg. Написал функцию эластичности и посмотрел что она от -1 до 0. Или ты имеешь ввиду откуда взял, в смысле где такую вообще можно встретить?
Нет, просто если пытаться исходить из эластичности, то такая на ум не придет)
Согласен Тимур просто я в этот момент Алгеброй как раз занимался вот мне и попалась на глаза эта функция я решил посмотреть ее эластичность.)))) Получается что я на самом деле не совсем из эластичности исходил)
1) Эластичный
2) Неэластичный
а)
1) Q=1/p-1
2) Q=1/p+1
б)
1) Q=1/(p-1)
2) Q=1/(p+1)
Пары а) и б) получаются друг из друга использованием того факта, что эластичности обратных функций обратны.
Григорий я правильно понимаю что если некую константу a разделить на не эластичное предложение то мы получим не эластичный спрос, таким же образом и в обратную сторону?
ага. положительную константу
Спасибо Григорий теперь все понятно.
можно ещё
Сурен, твои примеры, все-таки, не очень интересно, так как ты вводишь ограничения на аргумент. Я понимаю, что дело в экономических соображениях, но в функциональном плане...
Хорошо, с поиском функций вы справились. Не знаю, кто как их искал, но вопрос задаю общий:
Как можно было рационализировать поиск таких функций с помощью экономических рассуждений? Какими свойствами они должны обладать?
Я осмелюсь предположить (правда не знаю) что у этих функций должна быть ассимптота?
Хм... Скажем так: если есть асимптота вертикальная (в наших осях) - то это очень хорошо для неэластичности! Почему? Потому что, если при стремлении Р к бесконечности, потребитель покупает некоторое Q, то это просто само воплощение неэластичности спроса. Мне кажется, что обобщить это на все функции возможно... Но надо чуток подумать. Хорошо, ну а как можно было быстрее набрести на эластичный спрос?
Ассимптота по Q?
Только это всё равно ни разу не экономический подход =)
Если ассимптота по Q, то при малюсеньком изменении цены очень сильно изменится Q...
Почему это? Как раз наоборот. Q устремляется к некоторому фиксированному количеству. При цене 1 000 000 купят почти столько же, сколько и при цене 10. А экономический подход заключался вот в чем: среди каких функций искать нужные нам, учитывая, что мы понимаем, что такое "неэластичность". Рассуждаем так: неэластичный - значит, что нам задирают цену, а мы все равно покупаем. Абсолютно неэластичный - это когда при любой цене купим. Соответсвенно, подумав, можно прийти к идее с асимптотой. Попробуй также обосновать поиск эластичных функций.
Ааааа! Я перепутал, не по Q ассимптота, а по P.
Просто имел ввиду что ассимптота стремится к чему - то при всех Q... )
Ну а про эластичный спрос? =)
А про эластичный наверное интерпретация должна быть такая, что сколько бы мы не хотели купить, по цене, выше/ниже чем какая - то мы явно не купим. Т.е. например функция спроса вида
. Тогда 
. И эластичность будет 
. Очевидно, при 
получаем 
.
Но тут ограничение на Р есть, это не то. абстрагируйся от асимптот пока. Подумай над смыслом эластичности.
Может выпуклость ? потому что выпуклость означает что чем дальше убывает P, тем сильнее растет спрос.
Можно еще подумать насчет углов наклона касательной и секущей относительно друг друга, но, подозреваю, что это не то.
Выпуклость - это ближе. Но, подумай сам:
Кстати, обещаю, что те, кто дойдут до конца в этом обсуждении, получат МОГУЩЕСТВЕННОЕ ОРУЖИЕ для исследования эластичности. =)
Логично, что если спрос эластичный то изменение P сопровождается с большим изменением Q, впринципе это определние эластичности.Это можно связать с выпуклостью и вогнутостью функции спроса т.е со второй производной по Q. Есть хотя бы капелька истины в этом?=)
Нет, не надо ходить в далекий лес. Выпуклость и вогнутость - это второстепенное. Надо думать в том ключе, которое дает определение.
(10-2Х2)1/2
Леонид, а вы уверены, что эта функция только эластична или, наоборот, только неэластична?
нет -не уверен,ошибся я,извиняюсь.
Может быть что-то связанное с касательными к функции?
Ну а что можно сказать про касательные?
Смотрите, мы с вами решили, что эластичные функции - это функции, у которых небольшое изменение в Р ведет к большому изменению в Q. Оттолкнитесь отсюда.
Может по модулю производная Q по P больше чем производная P по Q, я имею в виду что по одной оси она двигается быстрее чем по другой.
Тимур, ты правильно мыслишь, но я не прошу в общем виде выводить. =)
Попробуй описать, как бы ты теперь искал функцию спроса, которая всюду эластична.
Подсказка: мою функцию очень просто так найти. =)
Мне пока только в голову пришла идея с параболой, вершина которой лежит ниже оси OQ, а ветви направлены вверх.
Твою функцию мне кажется просто найти банально задав эластичность, e=-q-1 или как-то так, взять небольшой интеграл от разделенной на q, и дело в шляпе, а вот так что-бы обобщить зону поиска и в тоже время сделать ее узкой, что-то в голову не приходит никак.
Ну да, я об этом думал.
.
Скажем, пусть
Пусть для красоты
Тогда
Всё просто и понятно) Хотя я не думаю, что Дима оценит))
Ну, глобально есть два способа их искать, задавать изначально или подбирать. Ты хочешь понять среди функций с каким свойством я бы стал вести подбор? Если да, то я еще не ощутил, что правильно мыслю)
Нет, вы мыслите в рамках математического аппарата. Я вам вот о чем говорю: можно немножко подумать о смысле эластичности и очень быстро написать на бумагу 1-2 функции нужных. А потом сделать прикольный вывод к которому я вас и веду. =)
Я, когда искал, создавал что-то типа общего вида тоже. Но потом меня осенило, что можно было без математики искать.
Я что-то надумал, но мне кажется, что это вообще не то, и это через чур очевидно:
Если спрос всюду эластичный, то эластичность растёт с ростом цены.
Если спрос всюду неэластичный , то эластичность падает с ростом цены.
Хм, ну я не совсем уверен в том, что это так. А ты уверен?
Слыхали о функции спроса с постоянной эластичностью?
В соседней деревне мужики сказали, что под вечер ходил там кто-то не из своих, авось и она.
А если серьезно, то ты о чем? про логарифмические интерпретации?
"Если спрос всюду эластичный, то эластичность растёт с ростом цены" - это опровергается функцией спроса с постоянной, но не единичной эластичностью. Вот что я имел в виду.
Сейчас подумал, что, наверное, Сурен имел в виду только функции с непостоянной эластичностью (о которых, собственно, задача). Для них утверждение, на мой взгляд, очевидно неверное: мы можем локально как угодно изменить функцию, так что её эластичность вдруг начнёт падать, но при этом упадёт не слишком сильно, так что всё равно будет по модулю больше единицы.
Я то подумал, что это пища для ума закомуфляжированная, а не упрёк теории Сурена
Я тоже, кстати)
Да уж теперь понял,что ерунду написал)
А я только сегодня ночью понял, что у меня в блоге лежит пример того, что Дима просит нас найти! =))
Ну конечно, ведь мы это обсуждали в тесте, который Дан в блоге опубликовал.
Если спрос всюду эластичный то TR убывает с ростом P и возрастает с ростом Q ))
Спасибо Дану что напомнил))
Итак, я все-таки решил вам помочь и открыть тайну, так как вы уже неплохо поработали.
Вот, какое рассуждение наводит на интересную мысль: нам нужен эластичный спрос. Что это такое? Небольшое изменение цены приводит к большему изменению количества. Возьмем функцию
Друзья! Предлагаю вам изобрести теорему. Исследуйте эластичность функции
Насчёт функции
:
- возрастающая, следовательно, 
. Также, чтобы не терялся экономичкеский смысл, 
, откуда 
, где 
.
. Я понимаю, конечно, что и к такому можно прийти, но интегрировать не хочется (я это уже выше проделал один раз).
По предположению, функция
Следовательно, мы имеем дело с эластичной функцией спроса.
Красиво, но я думал, что получу что - то вроде
Только вот
Точно! А вот она и красота!
, то 
.
. А т.к. 
- возрастающая функция, то скажем, что это, мол, некая функция предложения, у которой, очевидно, 
.
Тогда и правда супер, ведь если
В итоге
Круто!
Очень интересный факт)
Дим, как ты до этого дошёл?
А во второй функции эластичность какая - то адская жесть. =(
у меня тоже "адская жесть"
ну вы, господа! вам же дана та же функция, только уже не в общем виде, а в частном, осталось понять, что возрастает функция
Так это ясно,Тимур)
Да нет вы сказали "адская жесть", нигде не прозвучало, что вы уже оценили эластичность) или это сарказм?)
Под словами оценить эластичность я подразумевал найти ее( разве это не адская жесть),а то что она меньше -2 это ясно,впрочем не важно.
я как обычно проявил недюжую смекалку))
Ну, в общем, вы доперли, я рад))) насчет примера Тимур абсолютно прав, я не требовал большего. Сейчас, прочитав коммент Дана, я понял одно: мы изобрели велосипед. Просто доказали, что эластичность произведения равна сумме эластичностей, смотрите одну из самых первых задач на сайте! :-(
Главная задача сайта - заставить наши бренные мозги шевелиться, с этой миссией твоя загадка справилась на ура!) А чтобы в будущем делать свои открытия, нужно сначала сделать чужие)
Верно ли, что следующая функция спроса всегда эластична по цене:
Судя по нашим рассуждениям, да. Но если бы всё было так просто, то ты бы её сюда не скинул.. )))
Как рас таки судя по нашим рассуждениям однозначно не скажешь, потому что то, что рядом с P не монотонно. Произведение возрастающих функций не всегда дает возрастающую, если конечно я вчера был не в помутнении)
Я думаю, функция
возрастающая при 
=) А между e/2 и e функция себя как - то странно ведёт)
а причём тут e?
Наверное, должно быть не е, а 1. Пытался найти точку, когда происходит перескок функции, и это, видимо, не е) Тогда между 1 и 1/2.
Короче говоря данная функция на множестве положительных немонотонна.Поэтому нужен анализ другого плана, ну или такие рассуждения что-то обнаружат: эластичность обсуждаемой функции, равна сумме эластичностей составных множителей, один из них 1/P, другой соответственно немонотонен, тогда e=-1+n, где n эластичность немонотонной функции, то есть n неоднозначно определено относительно 0, тогда e может быть быть как меньше -1 так и больше. Сейчас еще подумаю)
Верно. А как насчёт эластичности функции
?
Но логарифм может быть и меньше нуля, поэтому это не постоянно эластичная функция.
Ага. Я просто хотел обратить внимание на то, что если функция растёт, то это ещё не значит, что её эластичность больше нуля.
Ну собственно, если ln(x) отрицательно, то f(x) отрицательно, поэтому если это что-то типа спроса, то мы смотрим на часть, где ln(x) положительно.
а я не говорил, что это спрос. даже специально написал f(x) вместо q(p), чтобы нельзя было придраться:)
Но если забыть про экономический смысл, то можно получить и такое, что при x<1 lnx<0 и E>0? =)
Почитывал сейчас учебник "Математика в экономике" Плясунов, Коршунова, и в теме эластичность наткнулся на такие же примерно утверждения)
Докажите, что для функций u=u(q) и v=v(q):
а) Eq(uv) = Eq(u) + Eq(v)
б) Eq(u/v) = Eq(u) - Eq(v)
в) Eq(qu) = 1 + Eq(u)
г) Eq(c) = 0
д) Eq(cu) = Eq(u), где с - постоянная) Так что мы полезную штуку вывели)
Ну и дальше, соответственно, что если положительную константу разделить на эластичное предложение, то получим эластичный спрос и т.д...