Реклама чудо-вешалок (единственная реклама на сайте!)

Компания «Успех» является монополистом на рынке чудо-вешалок. В настоящий момент ее продукцию приобретают $200$ покупателей, и прибыль компании равна $900$ тыс. руб. Известно что функция индивидуального спроса у всех покупателей одинакова и имеет линейный вид. Но далеко не все знают о замечательных чудо-вешалках, и фирма начинает всерьез задумываться о проведении рекламной кампании. Известно, что привлечение $n>0$ дополнительных покупателей обойдется компании в $\left( {0,01n^2 + 1,51n + 43,5} \right)$ тыс. руб.
На какое увеличение прибыли (в процентах от настоящей суммы) может рассчитывать фирма в результате проведения рекламной кампании, если постоянные издержки (помимо расходов на рекламу) отсутствуют, а предельные издержки производства чудо-вешалок постоянны?

Решение и ответ

$Q_d^{market} = N(a - bP)$ ,где $N$ – общее число покупателей; $P = \frac{a}{b} - \frac{Q} {{bN}}$ .
Найдем, какие выпуск и цену выберет фирма, а также какую максимальную прибыль (без учета расходов на рекламу) она получит при каждом числе покупателей:
$MR = \frac{a} {b} - \frac{{2Q}} {{bN}} = MC = c = const$
$Q^* (N) = \frac{{(a - bc)N}} {2}$
$P^* (N) = \frac{{a + bc}} {{2b}} = const$
$\pi ^* (N) = \frac{{a + bc}} {{2b}} \cdot \frac{{(a - bc)N}} {2} - c\frac{{(a - bc)N}} {2}$ .
Таким образом, $\pi ^* (N) = K \cdot N$ , где $K$ – некий коэффициент, зависящий от параметров спроса и издержек монополиста, а $N$ – общее число покупателей. $900 = K \cdot 200 \Rightarrow K = 4,5$ .
«Предельный доход» монополиста от привлечения $n$ -ного дополнительного покупателя будет равен $\pi (200 + n) - \pi (200 + n - 1) = K(200 + n) - K(200 + n - 1) = K = 4,5$ . Предельные же издержки на его привлечение равны $0,01n^2 + 1,51n + 43,5 - 0,01(n - 1)^2 - 1,51(n - 1) - 43,5 = 0,02n + 1,5$ .
Приравнивая предельный доход к предельным издержкам, получаем $4,5 = 0,02n* + 1,5 \Rightarrow n* = 150$ .
При оптимальном поведении фирмы количество покупателей ее продукции увеличится на $150$ человек и станет равным $350$ . Прирост прибыли составит $4,5 \cdot 150 - 0,01 \cdot 150^2 - 1,51 \cdot 150 - 43,5 = 180$ тыс. руб., или $20\%$ от суммы прибыли в настоящий момент.

Ответ:

на $20\%$ .

Примечание:

При определении предельного дохода от рекламы и предельных издержек на нее использовались приращения, а не производные, так как число покупателей может быть только целым. Если бы корень $n*$ уравнения $MR(n) = MC(n)$ оказался не целым, то в качестве ответа надо было бы взять целое число, находящееся между $n*$ и $n*-1$ . О максимизации функции с целыми значениями аргумента см. также задачу "1000 спросов".
Ср. данную задачу с "Задачей о Поле Чудес".
Попробуйте решить данную задачу, не пользуясь предпосылкой о линейности спроса.

Это не предельный доход в традиционном смысле, поэтому это словосочетание и взято в кавычки. Фирма просто сопоставляет дополнительные выгоды от рекламы (выражаемые в дополнительной прибыли) с дополнительными издержками на рекламу.

Дмитрий Сорокин, 14.12.2008 в 14:05. (ссылка)

А, ясненько, спасибо. =)

Realistic, 31.3.2009 в 21:53. (ссылка)

Хм, а почему у меня получилось одинаковое изменение прибыли и при $n=149$ , и при $n=150$ ?
Я нашел $0,01n^2+1,51n+43,5=4,5n$ , отсюда ясно, что нужно максимизировать функцию $\Delta\pi=-0,01n^2+2,99n-43,5$ , $n=149,5$ ,
$\Delta\pi=180$ при $n=149,n=150$

↑

online Алексей Суздальцев, 01.4.2009 в 22:36. (ссылка)

Все правильно, так и должно быть. Мы ведь заведомо находили $n$ , при котором предельные издержки равны предельному доходу, то есть предельная прибыль равна нулю. 150-й покупатель как раз и есть тот, предельная прибыль от которого равна нулю, он уже не приносит компании дополнительно ничего. Поэтому, очевидно, компании должно быть безразлично, привлекать 149 покупателей или 150.

Обращаю внимание всех, что подобное явление возникает только в дискретном случае, то есть тогда, когда аргумент функции только целый и предельную величину мы рассчитываем не как производную, а как конечное приращение.

Дмитрий Сорокин, 01.4.2009 в 23:32. (ссылка)

А, точняк, это то, что мне всегда взрывало голову в MR))) Вроде как ничего не приносит, зачем производить))) =)