10 видов мёда и постоянная предельная полезность

На ярмарке мёда посетителям предлагаются 10 различных видов этого сладкого продукта. Винни-Пух, как истинный сладкоежка, обладает такими предпочтениями, что предельная полезность мёда любого вида для него с ростом потребления не убывает, а остается неизменной. Информация о предельной полезности единицы мёда каждого вида и о ценах приведена в таблице:

Вид мёда	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
МU	2	3	5	7	4	8	10	6	9	1
P	3	4	2	5	6	7	9	8	10	1

Сколько единиц каждого вида мёда вы бы посоветовали приобрести Винни-Пуху, максимизирующему общую полезность, если его общий доход составляет 60? (Можно считать мёд бесконечно делимым продуктом).
Как изменится ваш ответ на первый вопрос, если Вини-Пух будет обязан уплачивать налог в размере 6 за каждую потребленную единицу мёда любого вида?

Решение и ответ

1)Интуитивно можно догадаться, что нужно покупать только тот вид мёда, для которого отношение наибольшее.
Доказательство:
Пусть $i$ – вид мёда, для которого отношение $\frac{{MU}}{P}$ наибольшее, $j$ – какой-то другой вид мёда.
Предположим, что мы потребляем положительное количество $x_j$ и получаем от него полезность $MU_j x_j$ .
Тогда если бы мы не потребляли $x_j$ , мы бы не получили $MU_j x_j$ , но сэкономили бы $p_j x_j$ . На эти деньги мы смогли бы купить $\frac{{p_j x_j }}{{p_i }}$ единиц $i$ -того вида мёда и получили бы полезность $\frac{{MU_i p_j x_j }}{{p_i }}$ .
Но по условию $\frac{{MU_i }} {{p_i }} > \frac{{MU_j }} {{p_j }} \Rightarrow \frac{{MU_i p_j x_j }} {{p_i }} > MU_j x_j$ .
Таким образом, если любой из видов мёда заменить $i$ -тым, то общая полезность увеличится. Значит, мы не достигнем оптимума, пока не потратим все деньги на $i$ -тый вид мёда.
Наибольшим отношением $\frac{{MU}}{P}$ обладает третий вид меда – его и будет потреблять Винни-Пух. Располагая доходом 60, он сможет купить 30 единиц мёда этого вида.

2)Все цены вырастут на 6, и наибольшим отношением будет обладать другой вид мёда – седьмой. Винни-Пух сможет приобрести только 4 единицы этого вида мёда.

Ответ:

1) (0; 0; 30; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0);
2) (0; 0; 0; 0; 0; 0; 4; 0; 0; 0).