Ни одной конфетины

Юра Сладкоежкин получил в подарок на день рождения, среди прочего, 500 рублей. Он, конечно же, решил приобрести свои любимые конфеты и печенье. Вот только в каком количестве? После изучения курса микроэкономики Юра помнил, что необходимо располагать информацией о доходе, ценах товаров и функциях предельной полезности благ. С ценами оказалось все просто: Юра легко выяснил, что килограмм конфет стоит 10 рублей, а килограмм печенья - 20 рублей. Поразмыслив над понятием полезности, Сладкоежкин пришел к следующим выводам:
- функция предельной полезности конфет для него имеет вид: $MU(X)=25$ ;
- функция предельной полезности печенья для него имеет вид: $MU(Y)=50+5Y$ , где X и Y – количество килограммов конфет и печенья, соответственно.
Но как поступить с этой информацией Юра, как ни старался, вспомнить не мог, а попытки расчетов приводили его к мысли, что он что-то упустил. Помогите Сладкоежкину определить оптимальные количества конфет и печенья, чтобы он смог получить максимальную полезность от их потребления.

Решение и ответ

Каждый рубль из своих пятисот Юра будет тратить на тот товар, где отношение предельной полезности к цене выше. $\frac {50+5Y}{20}\ge \frac{25}{10}$ при любом Y, поэтому Юра не купит ни одной конфетины, а потратит все свои деньги на $500/20=25$ кг печенья.
Таким образом, оптимальным набором будет: X = 0, Y = 25.

Ответ:

25 кг печенья и ни одной конфетины!

у меня почему-то получается немного другой ответ и, подставив значения в данные, я получаю полезность большую чем если брать на все 500 рублей печенье (я вижу что задача довольно старенькая, но просто готовлюсь к олимпиаде для поступления), так вот... насколько я понял, выгодней брать 24кг печенья и еще 2кг конфет, т.к. полезность от 25-го килограмма печенья - 5, а от 1 кг конфет или от 2кг конфет (без разницы, от количества не зависит) - 25, т.е. подставив данные числа при Вашем ответе получаем полезность 175 (в сумме) а при моем 195... я исходил из того что чем больше Y тем меньше отношение полезности к цене... если я в чем-то ошибся прошу объяснить... заранее благодарю...
_________________________________________________
Не всегда мудрость приходит с годами...
Иногда годы приходят одни (С)

Григорий Хацевич, 20.4.2009 в 19:55. (ссылка)

В условии даны функции предельной полезности - производные функции общей полезности по соответствующей переменной. Такие функции предельной полезности могли быть порождены функцией $U(x,y)=25x+50y+2,5y^2$ (проверьте это, продифференцировав по x и по y). Именно эту функцию максимизирует Юра Сладкоежкин при бюджетном ограничении $10x+20y\leq 500$ . Вы можете подставить свои значения x и y и убедиться, что полезность в этом случае меньше, чем если съесть 25 кг конфет.