Возможно невозможно!

г-н Марс уже 4 месяц производит общеизвестный продукт «Срекинс».
В один из прекрасных дней к нему пришёл инспектор г-н Хухры-мухры, который серьёзно обеспокоен столь успешной карьерой г-н Марса.
-Здравствуйте, г-н Марс , мне нужны данные для расчёт $LI$ ,мне поступила информация, что вы не максимизируете прибыль и это странно.
-Я дам вам те данные, которые у меня есть: моя рентабельность $\frac{П}{TC}$ равна $\frac{1}{2}$ , эластичность спроса $-2$ . А ну да и ещё мне известно, что рентабельность максимальна – сказал г-н Марс уверенный в том, что инспектор ничего не сможет посчитать.
Но г-н Хухры-мухры не хухры-мухры!!
Сможет ли инспектор посчитать $LI$ ? Если да то чему он равен, если нет, то докажите почему.

Решение и ответ

Ответ:

$LI=\frac{2}{3}$

$(P-\MR)/P=-1/\varepsilon_d^P$ — верно всегда, это математический факт. А вот если еще и $\MR=\MC$ , то левая часть тривиально превращается в индекс Лернера, а равенство — в правило максимизации прибыли. (Кое-где оно называется «правило ценообразования большого пальца».)

Для совершенной конкуренции тоже можно по формуле с эластичностью. Эластичность спроса совершенно конкурентной фирмы бесконечна, при делении на бесконечность (сюрприз!) получается ноль.

Дан Лифшиц, 17.12.2009 в 18:55. (ссылка)

Я, чего - то, пока не знаю, как эластичность подогнать, но вот то, что на поверхности:
Т.к. рентабельность максимальна, то $\frac{Pr}{TC} = \frac{TR-TC}{TC} = \frac{TR}{TC}-1 = H$
$H'=(\frac{TR}{TC})' = \frac{MR*TC-MC*TR}{TC^2} = 0 \Rightarrow \frac{MR}{MC} = \frac{TR}{TC} = \frac{P}{AC}$ . В данной же точке, где $H \rightarrow max, H = \frac{1}{2}$ , $\frac{TR}{TC}-1 = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{TR}{TC} = \frac{3}{2}$ ... ?!

↑

Дмитрий Сорокин, 17.12.2009 в 19:18. (ссылка)

Ну теперь надо показать, какой ты знаток индекса Лернера. =)

↑

Сурен Аванян, 17.12.2009 в 19:21. (ссылка)

То что $\frac{MR}{MC}$ = $\frac{TR}{TC}$ это верно, но откуда ты взял, что $\frac{TR}{TC}$ = $\frac{P}{AC}$ разве в задаче написано , что $AC=const$ .
А так в правильно мыслишь, подумай как можно с $MR$ "покрутить" , а так не хочется подсказку давать.))

↑

Дан Лифшиц, 17.12.2009 в 19:26. (ссылка)

Так я же не нарушая общности просто говорю, не делая предположений о виде функции $AC$ , что $TC=AC*Q$ . Вроде никакой экономической логики не наршуил)

↑

Сурен Аванян, 17.12.2009 в 19:29. (ссылка)

Да всё верно ,глаз намазолил))Ну как насчёт идей?
Задачка на самом деле не "адская жесть", как говорит Дима), просто хотел показать то, что ты вывел выше.

↑

Вотяков Александр, 30.3.2010 в 12:30. (ссылка)

ну вообще тут нужно немного поаккуратнее, функция H(Q) может быть абы какой и вовсе не такой, какой хотите. Для полностью обоснованного решения уместно добавить, что она дифференцируема, стремится к минус бесконечности при Q стремящимся к минус бесконечности и также стремится к минус бесконечности при Q стремящимся к бесконечности.
фишка в том, что производная имеет 1 ноль, значит после этого можно смело переходить к тому, что максимум H(Q) в точке где H'(Q)=0.

Дан Лифшиц, 17.12.2009 в 19:42. (ссылка)

А это вот нормально?
$\frac{MC}{P} = \frac{MC}{TC}*\frac{TC}{P} = \frac{TC}{P}*\frac{3}{2} = \frac{3}{2}*\frac{TC*Q}{TR} = \frac{3}{2}*\frac{2}{3}*Q=Q$ :)))

↑

Сурен Аванян, 17.12.2009 в 19:54. (ссылка)

А с чего ты взял, что $\frac{MC}{TC}$ = $\frac{3}{2}$ ?

Тимур Аббясов, 17.12.2009 в 19:43. (ссылка)

Ответ $\frac{2}{3}$ ?

↑

Сурен Аванян, 17.12.2009 в 19:51. (ссылка)

Да.)

↑

Тимур Аббясов, 17.12.2009 в 20:00. (ссылка)

Ну, Сурен, спрос то линейный значит?)

↑

Сурен Аванян, 17.12.2009 в 20:19. (ссылка)

Для решения этой задачи линейность спроса не нужна.

↑

Тимур Аббясов, 17.12.2009 в 20:36. (ссылка)

Меня видимо заклинило))

↑

Сурен Аванян, 17.12.2009 в 20:51. (ссылка)

Ничего, меня на линейность спроса , часто клинит)))
Ты с решением разобрался?

↑

Тимур Аббясов, 17.12.2009 в 20:57. (ссылка)

Сурен, значит нужна формула $MR=P(1+\frac{1}{e})$ ?

↑

Сурен Аванян, 17.12.2009 в 21:28. (ссылка)

Да,именна эта!Ее Дан ниже вывел.

↑

Тимур Аббясов, 17.12.2009 в 22:45. (ссылка)

Если

$P =\frac{2}{Q^2}$

$TR = \frac{2}{Q}$

$MR = -\frac{2}{Q^2}$

А, применяя вышеописанную формулу

$MR=P(1+\frac{1}{E})=\frac{2}{Q^2}\cdot(1-\frac{1}{2})=$

$MR=\frac{1}{Q^2}$

Таким образом эта формула, не знаю почему, дает результат отличный от того, что можно получить простыми преобразованиями

↑

Дмитрий Сорокин, 17.12.2009 в 22:56. (ссылка)

Тимур, а ты не напутал с эластичностями? В твоей функции спроса эластичность спроса по цене равна -1\2, а не -2, ты ведь обратную функцию спроса привел. А в формуле, следующей из равенства Лернера (при использовании там MR вместо МС), идет именно эластичность спроса по цене.

↑

Тимур Аббясов, 17.12.2009 в 23:06. (ссылка)

Я то думаю, как же так, ведь формула правильная, а почему не так, теперь ясно!))
Спасибо Дмитрий, а то я бы мучился еще долго, не замечая элементарных вещей)

↑

Дмитрий Сорокин, 17.12.2009 в 23:13. (ссылка)

Да, так бывает. =)

Вообще, совет всем школьникам (может и избито, но все же): если видите на олимпиаде задачу про монополиста и она не решается в лоб, вспомните про Лернера. На собственном опыте убедился, что Лернер - сила))) Вот вам пример:

http://iloveeconomics.ru/zadachi/z29

Предлагаю вам решить эту задачу через индекс Лернера. Представьте себя на олимпиаде: время поджимает, додуматься до изюминки задачи не так-то просто. А до индексе Лернера додумываться не надо. Записал - и вперед.

↑

Сурен Аванян, 17.12.2009 в 19:55. (ссылка)

С тебя решение =)

Дан Лифшиц, 17.12.2009 в 20:12. (ссылка)

$MR = TR'(Q) = (P(Q)Q)' = P'(Q)*Q + Q'*P(Q) = P + Q\frac{dP}{dQ} = P(1 + \frac{Q*dP}{P*dQ}) = P(1 + \frac{1}{E})$
Подставим $E=-2$ . $P=2MR \Rightarrow \frac{P}{2MC} = \frac{3}{2}$ , оттуда $P = 3*MC \Rightarrow IL = \frac{P-MC}{P} = \frac{3*MC-MC}{3*MC} = \frac{2}{3}$ .
Бинго!

↑

Сурен Аванян, 17.12.2009 в 20:17. (ссылка)

Отлично,Дан.

Дан Лифшиц, 17.12.2009 в 20:22. (ссылка)

Неплохо помогает в голове покопаться, только жаль, что лишена экономического смысла :)
Скорее, математические накрутки. Но как долго я тупил, после того как вывел $MR(P)$ , и подставлял $E=2$ и получал $P = \frac{2*MR}{3}$ , хотя очевидно, что это враньё, но где - пол часа не мог понять)) И получал ответ $\frac{4}{9}$ .... ))

↑

Сурен Аванян, 17.12.2009 в 20:37. (ссылка)

)))Главное,что я хотел показать этой задачей то, что рентабельность максимальна ,если отношение выручки к издержкам равно отношению предельной выручки к предельным издержкам.

↑

Дан Лифшиц, 17.12.2009 в 21:06. (ссылка)

Такой тест был в Московской городской олимпиаде по экономике какого - то там года. Прям в такой же постановке, вроде, если монополист максимизирует рентабельность, то какое из выражений является верным. Может, это и не Московская городская, но где - то я точно такой тест видел.

↑

Григорий Хацевич, 17.12.2009 в 23:44. (ссылка)

Действительно, если мы максимизируем или минимизируем отношение $\frac{f(x)}{g(x)}$ , то в оптимуме получится $\frac{f'(x)}{f(x)}= \frac{g'(x)}{g(x)}$ . $f'(x)$ приближённо показывает, насколько изменится функция, если мы увеличим аргумент на единицу. Делим абсолютное изменение на значение функции – получаем процентное изменение. Когда мы максимизируем отношение, то в оптимуме должны быть равны процентные изменения числителя и знаменателя при малом изменении аргумента. Если $\frac{f'(x)}{f(x)}> \frac{g'(x)}{g(x)}$ , то мы можем увеличить чуть-чуть x, и числитель вырастет на большее число процентов, чем знаменатель, и в результате дробь увеличится. Если $\frac{f'(x)}{f(x)}< \frac{g'(x)}{g(x)}$ , то мы можем уменьшить чуть-чуть x, и числитель уменьшится на меньшее число процентов, чем знаменатель, и в результате дробь увеличится.

↑

Дмитрий Сорокин, 17.12.2009 в 23:29. (ссылка)

Ну как сказать. Само решение и математическое, может быть, но вот с Индексом Лернера нужно дружить. Не все знают, что $\frac{(P-MR)}{P}=\frac{-1}{E_d}$ верно всегда.