Задача про Поле Чудес

Компания «П. Карло и сыновья» является монополистом на рынке ремесленных изделий из дерева. Спрос на продукцию компании невелик и описывается уравнением $Q = 9/P^2$ . Общие издержки, в свою очередь, составляют $TC = Q^{1,5} /3$ . Недавно в офис компании поступила информация (распространяемая, по-видимому, небезызвестными К. Базилио и Л. Алисой), что если в полночь прийти на поле Ч. в стране Д. и зарыть там $X$ золотых, то сами золотые, конечно, исчезнут, зато цены на все факторы производства, используемые фирмой, упадут в $X$ раз. Такая перспектива, как и следовало ожидать, сильно заинтересовала менеджеров компании, однако сам П. Карло выразил настороженность: «Даже если это и правда, что-то тут не так». Вам, как главному экономическому советнику П. Карло, предлагается оценить, насколько в действительности выгодным является такое «вложение денег». Если вы считаете, что на поле ходить не стоит, то объясните, почему, в противном случае определите оптимальное значение $X$ .

Решение и ответ

Найдем первоначальный оптимум фирмы.
$MR = \frac{3} {{2\sqrt Q }} = MC = \frac{{\sqrt Q }} {2} \Rightarrow Q = 3,{\text{ }}\pi = 3\sqrt 3 - 3\sqrt 3 /3 = 2\sqrt 3$ .

Цены на все факторы производства упадут в $X$ раз, значит, общие издержки при каждом объеме выпуска упадут в $X$ раз: $TC = Q^{1,5} /3X$
$MR = \frac{3} {{2\sqrt Q }} = MC = \frac{{\sqrt Q }} {{2X}} \Rightarrow Q = 3X$ .
Таким образом, если фирма вложит $X$ золотых, ей будет выгодно производить ровно $3X$ единиц продукции. Какова же будет ее прибыль? (Не забудем вычесть потраченные $X$ золотых):
$\pi (X) = 3\sqrt {3X} - \sqrt {3X} - X = 2\sqrt {3X} - X$
Естественно, фирма выберет такое $X$ , чтобы эта прибыль была максимальна:
$\pi (X) = 2\sqrt {3X} - X \to \max \Rightarrow X = 3,Q = 9,P = 1$ .
Сравним новую прибыль и первоначальную:
$\pi _{new} = 2\sqrt {3 \cdot 3} - 3 = 3 < 2\sqrt 3 \Rightarrow$ вкладывать не стоит!

Ответ:

Вкладывать не стоит, так как максимальная прибыль при этом меньше первоначальной.

Примечание:

Более продвинутые школьники могли бы решить эту задачу, выписав функцию $\pi (Q,X)$ , и приравняв обе ее частные производные к нулю.

А если цена на фактор производства упадёт в X раз, не значит ли это, что новая функция предложения будет иметь вид $TC = \frac{Q^{1,5}}{3X^{1,5}}$ ? Ведь если раньше мы закупали фактор производства по некоторой цене $P_{1} = 1$ , то сейчас цена этого фактора станет равной $P_{2} = \frac{1}{X}$ , тогда и $TC(Q_{1}) = (\frac{Q}{X})$ ?

И почему поле чудес?))

↑

Алексей Суздальцев, 02.4.2010 в 20:38. (ссылка)

Во-первых, никакой функции предложения здесь нет. А функция издержек уменьшится ровно в икс раз при каждом ку. Понятно же, что должны измениться именно расходы, то есть само значение функции издержек должно упасть в икс раз. Ты же зачем-то делишь объем выпуска товара на цену фактора и получаешь какой-то новый объем, смысл чего не ясен.

А сказка про Полу чудес про к месту пришлась. Более серьезная интерпретация: можно воспринимать икс как инвестиции в новую технологию, уменьшающую издержки ровно в икс раз. Спрашивается: сколько нужно инвестировать (если вообще нужно)?

↑

Дан Лифшиц, 02.4.2010 в 22:09. (ссылка)

Я не то написал, конечно функция издержек.
Просто я исходил из идеи, не что функция издержек стала меньше в икс раз при каждом выпуске, а что фактор подешевел в икс раз при каждом ку. Поэтому ку и делю на икс.

↑

Алексей Суздальцев, 03.4.2010 в 00:14. (ссылка)

Так так оно и есть: все факторы подешевели в икс раз при каждом ку (или, что то же самое, функция издержек уменьшилась в икс раз при каждом ку) И при этом совершенно непонятно, зачем ку делить на икс.

↑

Дан Лифшиц, 03.4.2010 в 08:12. (ссылка)

Просто меня сбило немного с толку, что в функции издержек выпуск в степени 3/2 =)