Максимизация йогуртов-2

Первоначально функция прибыли фирмы-монополиста, «запустившей» на рынок новый вид йогуртов, описывалась уравнением $\pi = 120Q + 9{Q^2} - 4{Q^3} - 96$ . Некоторое время спустя продукция фирмы полюбилась потребителю, и спрос на нее вырос в $1{,}5$ раза. В результате функция прибыли фирмы приняла вид $\pi = 120Q + 16{Q^2} - \frac{{26}}{9}{Q^3} - 96$ . Определите значения монопольной цены до и после повышения спроса, если известно, что последовавшее за ним расширение производства привело к росту значения общих издержек фирмы в точке оптимума на $20\%$ .

Что значит что спрос вырос в полтора раза?
На 50% при каждом значении цены, т.е. если $Q_старое=a-b*P$ , то $Q_новое=1,5*(a-bP)=\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}bP$ т.е. как раз $P_макс$ не меняется, или что $Q_новое=\frac{3}{2}a-bP$ ??

Андрей Никандров, 13.12.2009 в 11:49. (ссылка)

Я так понял, что на 50% при каждом значении цены. Только не сказано, что спрос линеен, так что не факт, что $Q=a-bP$

↑

Дан Лифшиц, 13.12.2009 в 12:11. (ссылка)

А, ну да, не подумал, просто первая функция, которая в голову пришла :)

Дан Лифшиц, 13.12.2009 в 13:18. (ссылка)

Да, $P=208$ , причём предположения о виде кривой спроса не нужны вообще.

Алексей Суздальцев, 13.12.2009 в 14:13. (ссылка)

Да, я как раз недавно писал, что спрос на продукцию монополиста не обязательно линейный. А так здесь главное догадаться, что не стоит пытаться восстанавливать функции спроса и издержек (маловато данных) и что цена в итоге не поменяется. Все ОК.

Тимур Аббясов, 13.12.2009 в 15:59. (ссылка)

На олимпиаде у меня при нелинейном спросе почему-то получалось, что цена изменится, это очень "карты путает", а тут всё классно подобрано, у меня тоже 208 вышло!

↑

Дан Лифшиц, 13.12.2009 в 16:11. (ссылка)

Так это задача с округа? Или там просто похожая была?

↑

Тимур Аббясов, 13.12.2009 в 16:16. (ссылка)

Нет, это совсем не та, просто там тоже проблемы были с видом спроса,

Дан Лифшиц, 13.12.2009 в 16:19. (ссылка)

Я, кстати, только сейчас понял, что решал задачу без предпосылки о том, что величина спроса увеличилась на 50% при любом уровне цен. Я просто максимизировал каждую из прибылей, а там как раз и получается, что $Q_1=4$ и $Q_2=6$ .

↑

Тимур Аббясов, 13.12.2009 в 16:29. (ссылка)

Ну отсюда и вывод, что цена не изменилась, потому что $4\cdot1,5=6$ , а как иначе это понять?

Алексей Суздальцев, 13.12.2009 в 17:37. (ссылка)

Да, только так.

Jane, 11.1.2010 в 22:50. (ссылка)

Извините , но не много не въежаю..объясните решение задачи

↑

Дан Лифшиц, 12.1.2010 в 04:29. (ссылка)

1. Найдём $Q_1$ , максимизирующее $\pi_1$ .
2. Найдём размер прибыли при производстве $Q_1$ .
Потом происходит увеличение спроса.
3. Находим $Q_2$ , максимизирующее $\pi_2$ .
4. Проверяем, равны ли $P_1$ и $P_2$ (из предпосылки об увеличении спроса в $1.5$ раза)
5. Составляем систему из двух уравнений по формуле $\pi = P*Q - TC$ .
6. Находим $P_1$ , оно же $P_2$ .