ABC + XYZ = ?

В 2007 году произошло слияние двух компаний ABC и XYZ. Совокупные издержки производства товара согласно технологии фирмы ABC имеют вид

$\operatorname{TC}^{ABC} (Q) = \left\{ \begin{gathered} 0, \text{ если } Q = 0 \hfill \\ 100 + 10Q, \text{ если } Q > 0\; \hfill \\ \end{gathered} \right,$

где $Q$ — выпуск продукции. Компания XYZ имеет другую технологию производства того же самого товара, согласно которой совокупные издержки производства имеют вид $TC^{XYZ}(Q)=Q^2$ , где $Q$ — выпуск продукции. В результате у объединенной компании имеются в распоряжении обе технологии производства и она может распределять производимую продукцию в любой пропорции между этими технологиями.

Найдите минимальные издержки производства 12 единиц готовой продукции для объединенной компании.

Я решал её первый раз подбором (около года назад), а сейчас пришло более адекватное решение в голову:
Пусть мы производим только по первой схеме. (АВС). Тогда $ТС=220$ . Если только по XYZ, то $ТС=144$ .
Предположим, что мы "миксуем". Прозводим Q₁ на первом заводе, и, следовательно, 12-Q₁ на втором. Тогда ТС=100+10*Q₁+(12-Q₁)², возьмём производную, получим Q₁=7 и $TC=195$ .
Значит, оптимально производить всё на XYZ.
Норм описание?

↑

online Алексей Суздальцев, 13.12.2009 в 15:34. (ссылка)

Да. Ты просто описал обычный процесс минимизации функции $\TC_{общ}(Q_1)$ на отрезке $[0;12]$ . Как известно, при оптимизации функции на отрезке оптимум достигается либо на одном из краев, либо в точке, где производная равна нулю (или не существует). Здесь же мини-подвох в том, что на одном из краев значение функции считается не по той формуле, что в других точках отрезка, то есть минимизируемая функция разрывна, но это, по счастью, вообще не влияет на ход решения.

Сергей Дмитриевич Смирнов, 27.11.2011 в 21:17. (ссылка)

Я решал ее так: рассмотрим функцию $TC1=Q^2$ - парабола с вершиной $[0;0]$ .
Поскольку $X$ положителен, то графиком будет одна ветвь параболы. Причем функция возрастающая на области определения. Производная $2Q$
Вторая функция: $TC2=10Q+100$ - линейная возрастающая функция. Производная равна $10$
При малых $Q$ $TC1$ меньше $TC2$ (производить по $TC1$ выгоднее), но при определенном $Q$ $TC1$ станет больше(производить по $TC2$ выгоднее).
Найдем то самое Q, при котором TC1 догонит TC2(пересечет ее):
$Q^2=10Q+100$
$-Q^2+10Q+100=0$
$Q=(-10-10*5^{0.5})/-2=5(1+5^{0.5})$ , что больше 12.
Значит, производить по $TC1$ при $Q=12$ выгоднее.
$TC1(12)=144$ .

↑

Данил Фёдоровых, 27.11.2011 в 21:34. (ссылка)

Ну, вы сравнили производство всех 12 единиц только на первом заводе с производством только на втором заводе (корректность выкладок я не проверял). Варианты, в которых производство делится между заводами (а так обычно и бывает, эта задача — исключение) вы игнорируете.

↑

Владислав Савельев, 28.11.2011 в 18:00. (ссылка)

Можно ли сравнить соответствующие $MC(Q)$ и найти промежутки, на которых $MC^{XYZ}(Q)>MC^{ABC}(Q)$ (ну и $MC^{XYZ}(Q)<MC^{ABC}(Q)$ ), и на основании этого сделать вывод, какому интервалу это $Q=12$ принадлежит?

↑

Данил Фёдоровых, 28.11.2011 в 19:06. (ссылка)

О каком интервале вы говорите? В разные MC нужно подставлять разные Q, так что в общем случае ваше неравенство — это какое-то неравенство относительно $Q^{XYZ}$ и $Q^{ABC}$ . Какой интервал оно задает?

↑

Владислав Савельев, 28.11.2011 в 19:29. (ссылка)

Постараюсь изложить яснее : почему, если рассмотреть ситуацию, как задачу про монополию с 2 заводами, то есть

$\operatorname{MC}^{общ} (Q) = \left\{ \begin{gathered} 2Q , \text{ если } Q < 5 \hfill \\ 10, \text{ если } Q \geq 5\; \hfill \\ \end{gathered} \right,$

и на основании этого сделать вывод, где и сколько производить, получается не самый лучший ответ...

↑

Данил Фёдоровых, 28.11.2011 в 19:37. (ссылка)

Здесь это работает ровно потому, что на втором заводе MC постоянные. А если бы было так, что бы вы стали делать:
$MC_{ABC}(Q_{ABC})=2Q_{ABC}$
$MC_{XYZ}(Q_{XYZ})=3Q_{XYZ}+1$

Какой бы у вас интервал общего Q получился?

↑

Владислав Савельев, 28.11.2011 в 19:51. (ссылка)

Ну, конкретно для данной задачи, если рассуждать, как я рассуждал, получается, что $TC(12)$ можно представить как $ТC^{XYZ}(5)+ТC^{ABC}(12-5)>144$ , и вот с этим я разобраться не могу. Нет, ну я вроде как понял, что здесь так нельзя, но это догадки. Как тут быть?

↑

Данил Фёдоровых, 28.11.2011 в 20:48. (ссылка)

Q на первом заводе и на втором — разные переменные. Если на одном из заводов MC постоянны, то сравнение MC между собой оставляет в неравенстве только одну переменную — Q того завода, где MC зависят от Q. Решая неравенство относительно этой переменной, получаем такие Q одного из заводов, при которых производство дополнительной единицы на этом заводе дешевле — остается только сказать, что всё остальное производим на другом.

Если же MC переменные на обоих заводах, то неравенство по типу вашего даст не определенное Q одного из заводов, а неравенство относительно обоих Q. Правильным будет разделить производство так, чтобы это неравенство было равенством (в моем примере выше это $2Q_{ABC}=3Q_{XYZ}+1$ ), к чему нас приводят стандартные рассуждения по типу: «если MC на двух заводах разные, то перекинем чуть-чуть единиц с того завода, где последняя единица дороже, туда, где дешевле, и общие издержки станут меньше».
Нужно, однако, проверить и угловые решения — ситуации, гле на одном из заводов ничего не производится (ну или описать условия, при которых этих угловых решений точно быть не может, но это несколько сложнее). В этой задаче угловое решение $Q^{ABC}=0$ проверять нужно обязательно — ведь в нем MC завода ABC не определены (они не равны 10, как в остальных точках, так что сравнение двух MC, проведенное выше, не учитывает эту точку).

↑

Владислав Савельев, 29.11.2011 в 12:42. (ссылка)

То есть рассуждения, подобные моим, возможны только для линейных $MC(Q)$ + крайние случаи: $Q_1=0$ или $Q_2=0$ ?
А как при таком раскладе для монополии с 2-мя, 3-мя и более заводами, ведь там же именно $MC(Q)$ анализировать надо (то есть если $MC_{1 завода}$ , $MC_{2 завода}$ и т.д. нелинейные для монополии), как в таком случае $MC_{общ}(Q)$ задавать, системой, как в моем комментарии выше, и рассматривать прибыль, ну или сами $MC(Q)$ уже на каждом из промежутков??

↑

Данил Фёдоровых, 29.11.2011 в 15:26. (ссылка)

Линейность тут почти ни при чем. Нужно, чтобы на одном из заводов MC были постоянные, а на другом — возрастающими, причем сначала меньше, чем MC на первом, а потом больше. Тогда ваш алгоритм работает.

Что касается всех прочих случаев (в том числе общего случая с двумя заводами, не важно, какая рыночная структура), то я ничего не понял из вашего второго абзаца, но правильным будет алгоритм выведения общей функции TC(Q), описанный мной выше.

↑

Владислав Савельев, 29.11.2011 в 16:06. (ссылка)

С этим у меня всегда были проблемы :)
Пойду вникать в это всё, если возникнут вопросы, то напишу.

↑

Владислав Савельев, 28.11.2011 в 19:40. (ссылка)

Эм, я, кажется, разобрался, но можно узнать Ваше мнение?

↑

Сергей Дмитриевич Смирнов, 28.11.2011 в 18:23. (ссылка)

Извиняюсь, немножко не додумал. Сейчас у меня получается, что если $Q$ лежит на промежутке $(0;15)$ , то выгоднее производить по технологии $TC=Q^2$ . А если $Q>=15$ , то выгоднее производить 5 единиц по $TC=Q^2$ , а остальные по $TC=10Q+100$ . Поскольку $q<15$ , то выгоднее производить по технологии $TC=Q^2$

↑

Сергей Дмитриевич Смирнов, 28.11.2011 в 22:37. (ссылка)

Если производная от $(Q^2)'=2Q$ , а производная от $(10Q+100)'=10$ , то можно выгодно увеличить объем производства на $Q=5$ , используя 1ю технологию.
Если же рассмотреть такой вариант, что по первой технологии производить больше пяти, к примеру 6, то выгоднее станет произвести дополнительный товар по 2й технологии и 5 по 1й(если 6 по 1й, то $изменение TC=36$ , а если 5 по 1й и 1 по второй, то $изменение TC=10+25=35$ ). Также можно посчитать, что при 7,8,9 и т.д выгоднее станет производство 5 продуктов по 1й технологии и остальных по второй, чем все по 1й.
Если рассмотреть такой вариант, что по первой технологии производить меньше 5 (например 4), то можно посчитать, что изменение в TC при производстве дополнительных 4 единиц по 1й технологии и 1 единицы по 2й ( $16+10=26$ ) больше, чем при производстве 5 единиц по технологии 1( $25$ ).
Следовательно, использование 1й технологии наиболее выгодно при выпуске 5 по этой технологии, а 2я технология имеет постоянную производную, а значит, одинаково выгодна при любых объемах выпуска по данной технологии.
Но это все была речь про большие значения общего выпуска, а при малых объемах не выгодно использовать 2ю технологию в связи с большими постоянными издержками. Выгоднее использовать при этом 1ю технологию на весь объем выпуска. Необходимо найти ту точку, до которой выгодно производить по 1й технологии.
$Q^2=25+10(Q-5)+100$
$Q^2=10Q+75$
отсюда положительное $Q=15$ , следовательно, после 15 можно пользоваться схемой: 5 ед.продукции по 1й технологии, остальное по 2й.
Вот что у меня получилось. Так ведь можно рассуждать?

Евгений Дрынкин, 14.12.2011 в 03:31. (ссылка)

Лично у меня возникла следующая интуиция (возможно кому-то поможет такое рассуждение).
1) чтобы "включить" вторую технологию, нам придется заплатить 100.
2) пусть этих издержек включения нет. построим "обычную" МС для двух заводов.
3) вспомним п.1. Это значит, что переключаться на завод с МС 10 стоит в той точке, где ТС от технологии $Q^2$ больше, чем ТС от технологии двух заводов ровно на 100. Обозначим этот объем через Q*
4) всякий объем меньший Q* выгодно производить технологией $Q^2$ , а всякий больший - обычной технологией монополиста на двух заводах.