"Расчленение" функции прибыли

В краткосрочном периоде функция прибыли совершенно конкурентной фирмы описывается уравнением $\pi = 6Q - Q^2 - 3$ . Известно, что в точке оптимального выпуска рентабельность (отношение прибыли к издержкам) составила $25\%$ . На сколько процентных пунктов изменится рентабельность рационально действующей фирмы, если рыночная цена на ее продукцию удвоится, а постоянные издержки вырастут на треть?

Решение и ответ

Найдем первоначальный оптимум фирмы:
$\pi = 6Q - Q^2 - 3 \to \max \Rightarrow Q = 3,\pi = 6.$
$\frac{\pi } {{TC}} = 0,25 \Rightarrow TC = 24 \Rightarrow TR = 30 \Rightarrow P = TR/Q = 10.$
Теперь, зная рыночную цену (а значит, зная и функцию выручки совершенно конкурентной фирмы), можно без труда восстановить функцию издержек. $TC(Q) = TR(Q) - \pi (Q) = 10Q - 6Q + Q^2 + 3 = Q^2 + 4Q + 3.$ Значит,
$\pi _{new} (Q) = 2 \cdot 10Q - (Q^2 + 4Q + (4/3) \cdot 3) = 16Q - Q^2 - 4 \to \max \Rightarrow Q = 8,\pi_{new} = 60$
$TC_{new} = 20 \cdot 8 - 60 = 100 \Rightarrow \frac{{\pi _{new} }} {{TC_{new} }} = 0,6.$

Ответ:

на 35.

Примечание:

Следует различать проценты и процентные пункты. Проценты показывают относительный прирост некой величины, в то время как в процентных пунктах измеряется абсолютное изменение величины, для которой проценты являются единицей измерения.