Поиск Гармонии в распределении доходов

На некоторой планете, где повсюду царят гармония и единство, есть два королевства, которые так и называются - Гармония и Единство.Известно, что число жителей в обоих королевствах одинаковое, а произведение среднедушевых доходов этих королевств равняется единице.
Также есть некоторая информация о доходах в обоих королевствах:
Доход первого жителя Единства равен $S_1$ , второго - $S_2$ и так далее, доход $n$ -ого жителя - $S_n$ .
Соответственно доход первого жителя Гармонии равен $\frac{1}{S_1}$ , второго - $\frac{1}{S_2}$ , так далее, доход $n$ -ого жителя - $\frac{1}{S_n}$ .
Спустя некоторое время королевства решили объединиться, а когда это произошло, выяснилось, что $G=0,4$ . Правительство обьединённого королевства решило, что это-непозволительно большой показатель и, с целью его сокращения, решило ввести аккордный налог с каждого жителя, обладающего доходом больше 2.
После осуществления такой политики, король заявил, что коэффициент Джинни удалось снизить на $37,5\%$
Найдите величину аккордного налога.

Только что заметил, что комментарий к задаче не отразился на том, что можно увидеть. Поэтому скажу, что изучение некоторого факта,зная который эту задачу можно решить,вероятно, не охватывается школьным курсом математики.Хотя факт этот имеет весьма тривиальный вид и узнал я о нем именно в школе.

Андраник Аюнц, 09.10.2009 в 19:42. (ссылка)

я дошёл до того, что S1*S2*...*Sn=4 и S1+S2+...+Sn=0.8*N^2, это верно или нет?

↑

Тимур Аббясов, 09.10.2009 в 20:02. (ссылка)

Чтобы получить ответ, эти величины находить необязательно.А найти числовое выржение произведения доходов вообще не представляется возможным.
В решении не так уж много вычислений.Почитай условие внимательно, там есть за что зацепиться ;)

Сурен Аванян, 09.10.2009 в 22:47. (ссылка)

Может налог равен 2?

↑

Тимур Аббясов, 09.10.2009 в 23:03. (ссылка)

Ответ другой, но исходя из того какие величины находятся в задаче...может ошибка в подсчетах?
Update: Только что было написано 2/3, теперь написано 2=)
Да, действительно ответ 2. Интересно было бы взглянуть на решение.

↑

Сурен Аванян, 10.10.2009 в 13:53. (ссылка)

Прежде чем решить эту задачу,я "изобрёл колесо",так как не знал о свойстве средних(пришлось это доказывать).
"Известно, что число жителей в обоих королевствах одинаковое, а произведение среднедушевых доходов этих королевств равняется единице",расшифровав эту вразу, и знаю одно замечательно свойство эта задача решается мигом.
S1-доход жителя Единства Сумма их доходов S1+S2+..+Sn а их среднедушевой (S1+S2+..+Sn)/n
1/S1-доход жителя Гармонии сумма доходов 1/S1+1/S2+..+1/Sn а среднедушевое (1/S1+1/S2+..+1/Sn)/n .
Дано,что (S1+S2+..+Sn)/n *(1/S1+1/S2+..+1/Sn)/n =1.можно заметить,что это тоже самое.что и
(S1+S2+..+Sn)/n=n/(1/S1+1/S2+..+1/Sn) левая часть всем известная среднее арифметическое,а правая среднее гармоническое так вот они равны только в том случае,если S1=S2=Sn.
таким образом доход всех жителей Единства равен n*S ,а доход всех жителей гармонии n/S .Они объединились, значит образовались две группы (Жители единства и жители Гармонии) их общая сумма доходов n(S^2+1)/S доля доходов Единства S^2/(S^2+1) доля доходов Гармонии 1/(S^2+1). Посчитав коэффициент G получим G=(2-2S^2)/(4S^2+4) = 0.4 отсюда S=1/3 ,а 1/S=3 .Ввели налог на жителей чей доход больше 2.=> доходы стали 1/3 и 3-t их сумма 10-3t/3 доля Единстава 1/10-3t доля Гармонии 9-3t/10-3t . Посчитав G=8-3t/20-6t так как G уменьшился на 37,5% =>G=0.25 отсюда t=2.

↑

Тимур Аббясов, 10.10.2009 в 21:42. (ссылка)

Сурен, то есть $S=1/3$ ,так ведь?

↑

Сурен Аванян, 10.10.2009 в 21:44. (ссылка)

Да,а что не так?

↑

Тимур Аббясов, 10.10.2009 в 22:07. (ссылка)

В задаче не сказано, какая из групп богаче, а у тебя получается, что это известно. Если подумать при $S=3$ , результат задачи будет тот же, что и при $S=\frac{1}{3}$ , поэтому при рассчете к. Джинни на мой взгляд нужно выдвинуть предположение типа:
пусть доход S меньше единицы, тогда королевство А "богаче", королевство Б "беднее", заметим что исход в задаче не зависит от того какая группа богаче так как если S заменить на $\frac{1}{М}$ , условие не изменится(только названия местами поменяются)
Конечно ответ и ход решения у тебя абсолютно верны, но, лично мне кажется, что, рас в задаче о чем-то не сказано, а мы это используем - это нужно как-то обосновать.

↑

Сурен Аванян, 10.10.2009 в 22:23. (ссылка)

Да,я с тобой абсолютно согласен,но я не утверждал,что кто-то богаче,а кто-то беднее,просто в условиях данной задачи S=1/3,и это единственое решение.

↑

Тимур Аббясов, 10.10.2009 в 22:43. (ссылка)

$S=3$ не решение?

↑

Сурен Аванян, 10.10.2009 в 23:06. (ссылка)

Решение.Но при S=3 G не равен 0,4.

↑

Тимур Аббясов, 10.10.2009 в 23:29. (ссылка)

Как рас-таки равен)
Сурен,посчитаю за тебя, для наглядности :
Из условия следует, ордината точки излома кривой Лоренца - $1/10$

если $x<1$ , то Единство беднее, ордината точки излома кривой Лоренца задается уравнением $\frac{nx}{nx+\frac{n}{x}}$

$\frac{nx}{nx+\frac{n}{x}}=1/10$

$x=\frac{1}{3}$
если $x>1$ ,то Гармония беднее, ордината точки излома кривой Лоренца задается уравнением
$\frac{\frac{n}{x}}{nx+\frac{n}{x}}$

$\frac{\frac{n}{x}}{nx+\frac{n}{x}}=1/10$

$x=3$ .

если $S$ заменить на $\frac{1}{M}$ , условие не изменится
Поэтому, если при некотором доходе выполняется условие задачи, то и при обратной величине дохода оно всегда выполняется.

↑

Сурен Аванян, 11.10.2009 в 07:38. (ссылка)

Да,конечно,невнимательность помешала увидить истину)Да,эту фразу конечно стоит писать в решении.

↑

Дан Лифшиц, 11.10.2009 в 17:07. (ссылка)

"пусть доход S меньше единицы.... условие не изменится(только названия местами поменяются)" - математики говорят "не нарушая общности предположим, что доходы в первом королевстве больше чем во втором"... =)

↑

Тимур Аббясов, 11.10.2009 в 20:09. (ссылка)

То что в скобках - пояснение, я не говорю о том,что в решении нужно так писать..Насчет общности - красиво сказано, но мне кажется не каждый поймет о чём речь)