Неравенство доходов в Округе

В некотором Округе кривая Лоренца задается уравнением $y=1-\sqrt{1-x^2}$ .
а) Какой долей совокупного дохода Округа обладают 60% беднейших? 20% богатейших?
б) Рассчитайте коэффициент Джини.

Решение и ответ

а) По определению кривой Лоренца, доля дохода, которой обладают 60% беднейших – это $y(0,6) = 1 - \sqrt {1 - {{0,6}^2}} = 0,2.$
Доля дохода, которой обладают 20% богатейших – это единица минус доля дохода, которой обладают 80% беднейших, то есть $1 - y(0,8) = 1 - \left( {1 - \sqrt {1 - {{0,8}^2}} } \right) = 0,6.$
Таким образом, в нашем округе 60% беднейших обладают 20% дохода, а 20% богатейших – 60% дохода. Интуитивно кажется, что такая диспропорция означает довольно высокую степень неравенства в обществе. Какую же оценку неравенству даст коэффициент Джини?

б) Построим на одном графике кривую Лоренца нашего округа и прямую абсолютного равенства. По определению, искомый коэффициент Джини представляет собой отношение $G = \frac{{{S_2}}}{{{S_2} + {S_3}}} = 2{S_2}$ (см. рис.):

-????N?.bmp

Теперь нам осталось найти $S_2$ .
Преобразуем уравнение кривой Лоренца:
$y = 1 - \sqrt {1 - {x^2}}$
$1 - y = \sqrt {1 - {x^2}}$
${(y - 1)^2} + {x^2} = 1$
Как видим, в данном Округе кривая Лоренца представляет собой не что иное, как участок окружности с центром точке (0;1) и радиусом, равным 1.
Значит, сумма площадей $S_1$ и $S_2$ равна площади четверти соответствующего круга, то есть

${S_1} + {S_2} = \frac{1}{4}\pi \cdot {1^2} = \frac{\pi }{4}.$

Учитывая то, что ${S_1} = \frac{1}{2}$ , получаем ${S_2} = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}$ , и значит, $G = 2{S_2} = \frac{\pi }{2} - 1 \approx 0,57.$

Таким образом, степень неравенства в данном обществе действительно достаточно высока.

Ответ:

а) 60% беднейших обладают 20% дохода, а 20% богатейших – 60% дохода.
б) $G = \frac{\pi }{2} - 1 \approx 0,57.$

Проще всего через интеграл.)
нам нужна площадь между прямыми y=x y=1-(1-x^2)^1/2
интеграл(x-(1-(1-x^2)^1/2)) на промежутке от 0 до 1. = x^2/2 - x + 1/2 arcsin(x) +1/2x(1-x^2)^1/2 подставляем сначал 1 получаем 1/2-1+п/4=(п-2)/4 подставляем 0 получем 0 ) . следавательно площадь между этими функциями равна ~ 0.285 .Ну а G~0.57.

Хотя ,если есть другой метод решения интересно на него посмотреть.

Сурен Аванян, 09.10.2009 в 09:20. (ссылка)

Ну конечно.есть ещё один метод,можно восстаносить точки на кривой Лоренца,и посчитать площадь путём дробления фигуры под кривой на треугольники и прямоугольники.))Коенчо погрешность в вычислении будет)

Сурен Аванян, 09.10.2009 в 09:27. (ссылка)

Вроде бы так.

online Алексей Суздальцев, 09.10.2009 в 09:54. (ссылка)

Решение через интеграл, конечно, верное) Но задача эта по силам и тем, кто совсем интегралов не знает (собственно, на них она и была рассчитана). Ищите подсказку в условии...

↑

Сурен Аванян, 09.10.2009 в 10:07. (ссылка)

Алексей,т.е. то.что у меня на рисунке выше не верно?)

↑

online Алексей Суздальцев, 09.10.2009 в 10:12. (ссылка)

Ну, это приближенный метод. Я же утверждаю, что можно решить задачу строго, но без интеграла.

↑

Сурен Аванян, 09.10.2009 в 10:15. (ссылка)

Ясно.

↑

Сурен Аванян, 09.10.2009 в 10:33. (ссылка)

Решение такое.Если приглядеться к функции котороя дана,то можно заметить что это полуокружность причём нижняя часть с радиусом 1 сдвинутая вверх на 1. следовательно можно найти площадь под участком полуокружности при x от 0 до 1 ( площадь равна 1 - п/4). Ну и посчитать G = 2*(0.5 - 1 + п/4)=0.57

Сурен Аванян, 09.10.2009 в 10:43. (ссылка)

Зелёным отмечена функция которая дана, можно найти площадь заштрихованную зелёным ( она равна четверти площади окружности п/4).Потом найдём площадь заштрихованную синим (1-п/4).Ну а дальше G = 2*(0.5 - 1 + п/4)=0.57

Дан Лифшиц, 09.10.2009 в 13:22. (ссылка)

Да, я в школе её добил, это окружность радиуса 1 с центром с координатами (0;1). Значит искомая площадь будет площадь сектора(опирающегося на дугу п/4), т.е. это 1/4 площади круга. И из этого вычесть площадь сектора ( прямоугольного треугольника).
Арифметика:
S*=П*R²/4-1/2=П/4-1/2=(П-2)/4.
I=(П-2)/4*1/2=(П-2)/2=(3,14-2)/2=0,57.

online Алексей Суздальцев, 09.10.2009 в 14:38. (ссылка)

Все, решили.

↑

Дмитрий Сорокин, 09.10.2009 в 20:04. (ссылка)

Подсказка - царь просто. =)

↑

Дан Лифшиц, 11.10.2009 в 07:33. (ссылка)

Блин, до меня только сейчас дошло "в ОКРУГЕ" =))
Решил тупо из соображений "возведём в квадрат и перенесём x², получим стандартное уравнение окружности (y-a)²+(x-b)²=R²... ))