Тригоноляндия

Экономика Тригоноляндии, получившей независимость после обращения президента к нации в новогоднюю полночь с наступлением XXI века (т. е. 31 декабря 2000 года), развивается по кривой $Y(t)=\sin t+t/2$ , где $t$ — количество лет, прошедших с момента получения независимости (например, в 2007 году было $6<t<7$ ), а $Y$ — реальный ВВП, млрд. долл. Специалисты Министерства экономического развития Тригоноляндии установили, что динамика уровня цен в стране описывается функцией $P=\cos(t+1)+(t+1)/2$ .

В каком году впервые в истории независимой Тригоноляндии экономический подъем сменился спадом?
В каком году закончится (закончилась) первая рецессия? Чем она может (могла) быть вызвана?

Решение и ответ

Определим экстремумы функции реального ВВП:

$Y'(t)=\cos(t)+0{,}5=0$

Следовательно, максимумы (точки пиков) соответствуют значениям $t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$ , а минимумы (точки дна) соответствуют значениям $t=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$

Таким образом, первый пик будет при $n=0$ , $t=\frac{2\pi}{3}\approx 2{,}094$ , то есть в 2003 году (примерно, в феврале). С этого момента начнется первый спад.

Первое «дно» будет при $n=1$ , $t=-\frac{2\pi}{3}+2\pi\approx 4{,}189$ , то есть в 2005 году (примерно, в марте). С этого момента закончилась первая рецессия. Поскольку уменьшение реального ВВП сопровождалось (в соответствии с прогнозами МЭРТ) инфляцией (функция $P(t)$ на этом участке возрастает, в чем можно убедиться, взяв производную и подставив в нее значение $t = 4{,}189$ ), можно предположить, что рецессия была вызвана шоком совокупного предложения.