Натуральный налог

В стране ММ все очень любят мармелад, не исключая королевский двор. Спрос и предложение мармелада заданы следующими функциями:
$Q_d=36-P\quad Q_s=1,25P$ . Чтобы обеспечить придворную кухню любимым лакомством, мудрый правитель Маар решил ввести обязательный «мармеладный оброк»: производители за каждый проданный килограмм должны были отдать королевскому двору 250 граммов.

Поразмышляв, экономический советник Маара предложил, чтобы налог платили покупатели, причем пропорционально объему покупки: купив некоторое количество мармелада, покупатель обязан из него отдать королевскому двору 1/3 объема.

а) определите первоначальные равновесные значения P и Q;
б) определите, какой вариант «мармеладного оброка» обеспечит королевскому двору большее количество мармелада?

Решение и ответ

а) Первоначальные равновесные значения P=16 и Q=20;
б) Отправным пунктом является то, что при введении натурального налога фактическая цена, которую получает производитель за единицу произведенной продукции, отличается от рыночной цены единицы проданной продукции.
Так, производя $Q_{produced}$ единиц продукции и продавая $Q_{sold}$ единиц продукции по цене P, производитель получает фактически лишь ${{PQ_{sold} } \over {Q_{produced} }} = {{PQ_{sold} } \over {1,25Q_{sold} }} = {P \over {1,25}} = 0,8P$ в расчете на единицу произведенной продукции. Именно на эту цену, он, очевидно, и смотрит, принимая решение о производстве того или иного выпуска. Поэтому $Q_{produced}^1 (P) = Q_s^0 (0,8P).$
Но это лишь то количество, которое он будет готов произвести, если на рынке установилась цена P. Нас же волнует новая кривая предложения – то количество, которое он будет готов продать, если на рынке установилась цена P. Но $Q_{sold} = 0,8Q_{produced}$ , поэтому $Q_s^1 (P) = 0,8Q_{produced}^1 = 0,8Q_S^0 (0,8P) = 0,8*1,25*0,8P = 0,8P.$
Новое рыночное равновесие: $36 - P = 0,8P \Rightarrow P = 20,Q = 16.$
Поставляться государству будет $0,25Q = 4$ единицы мармелада.
в) Аналогично пункту б), в данном случае фактическая цена, которую платит потребитель за единицу потребленной продукции, отличается от цены единицы купленной продукции.
Так, потребляя $Q_{eaten}$ единиц мармелада и покупая $Q_{bought}$ по цене P, потребитель платит фактически ${{PQ_{bougt} } \over {Q_{eaten} }} = {{PQ_{bought} } \over {(2/3)Q_{bought} }} = {P \over {2/3}} = 1,5P$ в расчете на единицу потребленного мармелада. Именно на эту цену он и смотрит, принимая решение о потреблении того или иного количества, поэтому $Q_{eaten}^1 (P) = Q_d^0 (1,5P).$
Но это лишь то количество, которое он будет готов потребить, нас же волнует количество, которое он купит:
$Q_{bought} = (1/(2/3))Q_{eaten} = 1,5Q_{eaten} = \\ = 1,5Q_d^0 (1,5P) = 1,5*(36 - 1,5P) = 54 - 9P/4$ .
Новое равновесие: $54 - 9P/4 = 1,25P \Rightarrow P = 15{\textstyle{3 \over 7}},Q = 19{\textstyle{2 \over 7}}$ .
Как ни странно, при введении налога цена даже снизилась!
Сумма оброка же составила $6{\textstyle{3 \over 7}}$ .

Примечание:

Те же самые результаты можно получить, решая конкретные задачи производителя и потребителя, однако авторам задачи приведенное «логическое» решение кажется более интересным и соответствующим уровню и духу олимпиады школьников.