Успех маркетингового исследования

В настоящий момент компания «Успех» – монополист на рынке чудо-вешалок – продает 1000 чудо-вешалок в месяц по цене 6 долл. за вешалку (это максимальная цена, по которой она может продать такое количество вешалок). Спрос на продукцию компании линеен, однако под влиянием различных факторов его параметры постоянно меняются и сейчас фирма не уверена в том, что выбранный ею объем производства оптимален. Чтобы получить информацию о спросе и, в конечном итоге, все-таки максимизировать прибыль, компания собирается провести маркетинговое исследование стоимостью 1000 долл., в результате которого ей станет известна минимальная цена, по которой потребители не готовы приобрести ни одной чудо-вешалки. При каких значениях этой цены фирма выиграет от проведения исследования, если общие издержки описываются уравнением $TC=3Q+2009$ ?

Решение и ответ

Обозначим максимальную цену спроса за $p$ , $p > 6$ . Узнав эту цену, фирма, зная также, что точка (6;1000) лежит на кривой спроса, поймет, что спрос описывается уравнением $P = p - \frac{{p - 6}}{{1000}}Q$ . Используя данные о спросе, фирма выберет оптимальный объем производства:

$MR = p - \frac{{p - 6}}{{500}}Q = MC = 3 \Rightarrow Q^* = \frac{{500(p - 3)}}{{(p - 6)}}.$

Фирма выиграет от проведения исследования, если максимальная прибыль, которую она все-таки получит, узнав спрос, за вычетом расходов на исследование, будет больше текущей прибыли:

$\frac{{500(p - 3)}}{{(p - 6)}}\left( {p - \frac{{(p - 6)}}{{1000}} \cdot \frac{{500(p - 3)}}{{(p - 6)}} - 3} \right) - 2009 - 1000 > 1000 \cdot 6 - 3 \cdot 1000 - 2009$

$\frac{{500(p - 3)^2 }}{{2(p - 6)}} - 4000 > 0\\ 250(p - 3)^2 - 4000(p - 6) > 0\\ p^2 - 6p + 9 - 16p + 96 > 0\\ (p - 15) \cdot (p - 7) > 0 \Rightarrow p \in (6;7) \cup (15; + \infty ).$

Ответ:

При $p \in (6;7) \cup (15; + \infty ).$

Примечание:

В этой задаче (впрочем, как и во многих других) алгебру можно немного упростить, применяя... геометрию! Из геометрической интерпретации прибыли (взятая на нужном отрезке площадь между $MR$ и $MC$ за вычетом постоянных издержек), сразу следует, что $\pi = (p - 3)Q^* /2-FC$ .
Интуитивно ответ правдоподобен: имеет смысл тратить деньги на исследование, если, узнав спрос, мы заработаем достаточно много сверх того, что и так имеем. Это возможно, только если в действительности спрос достаточно далек от того, при котором текущая точка (6;1000) и так является оптимальной. Значит, исследование принесет выгоду, если в действительности максимальная цена спроса будет достаточно далека от 9 (нетрудно проверить, что при максимальной цене спроса 9 оптимальным будет как раз продавать 1000 вешалок по цене 6).