MR=MC?

Пусть функции выручки и издержек дифференцируемы в любой точке.

Верно ли утверждение:

Если $MR(Q_{0} )=MC(Q_{0} )$ , то в точке $Q_{0}$ прибыль максимальна.
Если в точке $Q_{0}$ прибыль максимальна, то $MR(Q_{0} )=MC(Q_{0} )$ .

Если Вы считаете оба этих утверждения неверными, напишите какое-нибудь верное утверждение, содержащее фразы « $MR(Q_{0} )=MC(Q_{0} )$ » и «в точке $Q_{0}$ прибыль максимальна».

Первое утверждение может быть неверным в случае, когда MC пересекает MR в двух точках и одна из них является точкой локального минимума прибыли, другая максимума.
Второе утверждение верно всегда.
Так?

Данил Фёдоровых, 03.2.2012 в 17:34. (ссылка)

Гриша, имеется в виду дифференцируемая функция прибыли?

↑

Григорий Хацевич, 03.2.2012 в 22:01. (ссылка)

да, добавил в условие

Дмитрий Сироткин, 03.2.2012 в 19:16. (ссылка)

Во втором случае возможно, что это неверно. Пусть прибыль отрицательна, а её максимум меньше FC. Тогда мы (как рациональные люди) скидываем Q до нуля и $Q_0$ =0.
Ну а в нуле, если я не ошибаюсь, MR с MC вообще не определены.
А верное утверждение такое: "MR( $Q_0$ )=MC( $Q_0$ ) в точке, где их графики пересекаются, а $Q_0$ — точка локального максимума прибыли, когда при $Q_0$ прибыль максимальна".

Я не совсем понял, чего от меня хотел автор задачи в последнем вопросе, если честно. Таких тривиальных утверждений можно настругать горы.

↑

Владислав Савельев, 03.2.2012 в 19:44. (ссылка)

У самого руки не дошли ещё решить задачу, но основная фишка в том, что в условии сказано о локальном максимуме, с этим все в порядке в Вашем примере, то есть для Вашего примера условие $MR(Q_0)=MC(Q_0)$ действительно дает локальный максимум (первоначальный пример), а если на $[0;Q_{max}]$ имеем, что $\pi(0)\geq \pi(Q) \quad \forall Q\in [0;Q_{max}]$ , то точка $Q=0$ - точка глобального максимума функции (это немного другое), и производная в ней совсем не обязательно равна нулю, может, если бы не было справа ограничения нулем функция возрастала и дальше!

Другой вопрос: везде ли функция прибыли имеет производную, ведь не всегда условие определения локального (или даже глобального) максимума/минимума в точке $x_0$ сводиться к приравниванию производной функции к нулю.

↑

Дмитрий Сироткин, 03.2.2012 в 19:56. (ссылка)

Ммм... По-моему это не так уж и важно. Можно заменить слово "локальный" на слово "глобальный". Получим то же самое, только в более общем виде.
Для корректности к примеру можно добавить:"...на области определения функции прибыли"

↑

Владислав Савельев, 03.2.2012 в 19:59. (ссылка)

В этом вся и соль, что нельзя заменить, я же говорю в глобальном максимуме производная не обязательно равна нулю.

Дмитрий Сироткин, 03.2.2012 в 20:31. (ссылка)

А зачем нам вообще нужна производная? Она и в локальном масштабе не обязательно нулевая. Пример: P=-|Q-5|+6. Производная максимума вообще не определена ни в локальном, ни в глобальном смысле

↑

Владислав Савельев, 03.2.2012 в 20:37. (ссылка)

Здесь (в Вашем примере) как раз-таки глобальный максимум:) (и, кстати, что это за функция такая $P(Q)$ непонятная?)
Определена, только есть необходимое условие существования экстремума в некоторой точке, а есть достаточное условие.

Дмитрий Сироткин, 03.2.2012 в 20:42. (ссылка)

Если определена, то напишите мне её пожалуйста в точке Q=5.

Тут скорее путаница (у меня) с терминами. Разве то, что в точке достигается глобальный максимум не означает, что там же достигается и локальный?

↑

Владислав Савельев, 03.2.2012 в 20:53. (ссылка)

"Производная максимума вообще не определена ни в локальном, ни в глобальном смысле" что Вы понимаете в этой фразе? Я понял это как то, что определения четкого для производной в точке максимума нет, отсюда и мой комментарий!

Для Вашего же примера выше (с модулем) производная действительно в точке $Q=5$ не существует, но тем не менее это глобальный максимум!

Насчет глобальный = локальный, не совсем верно, тут тонкий аспект есть, который я понимаю следующим образом: пусть $x_{01}$ - точка, скажем, локального максимума, тогда выполняется следующее условие: $\forall x \in (x-\varepsilon;x+\varepsilon) \quad f(x)\leq f(x_{01})$ , то есть в своей окрестности эта точка имеет наибольшее значение,
что качается глобального максимума, он может достигаться на одном из краев, рассматриваемого промежутка $[a;b]$ , тогда одной из окрестностей нашего глобального максимума просто-напросто не будет!

Дмитрий Сироткин, 03.2.2012 в 21:04. (ссылка)

Нет, я имею ввиду, является ли то, что в точке достигается глобальный максимум достаточным, что бы утвержадать, что в ней достигается и локальный?

А чем вам функция P=-|Q-5|+6 не угодила? Нормальная функция MC, например, просто записана в обратном виде.

А зачем мы вообще работаем с производными? Послушаем Оккама, не будем вводить лишних сущностей. Тем более, что она ничего, кроме путаницы в задачу не приносит.

↑

Владислав Савельев, 03.2.2012 в 21:11. (ссылка)

На мой взгляд, работа с производной как раз-таки и вносит однозначность в решение

Дмитрий Сироткин, 03.2.2012 в 21:20. (ссылка)

А насчёт глобального и локального максимумов? Я прав или нет?

↑

Григорий Хацевич, 03.2.2012 в 22:16. (ссылка)

Пусть у нас есть функция прибыли Pr(Q) и множество X допустимых объёмов выпуска, из которого мы хотим выбрать тот, где прибыль максимальна (то есть найти глобальный максимум). Обычно для функции прибыли $X=[0;+\infty)$ , но можно представить ситуацию, когда, например, запрещено производить Q=3, и тогда $X=[0;3)\cup (3;+\infty)$ .
Точка $Q_0$ называется точкой локального максимума функции прибыли, если существует окрестность точки $Q_0$ , такая что в любой точке из пересечения этой окрестности с множеством доступных объёмов выпуска значение прибыли не больше, чем в $Q_0$ .
Из этого определения следует, что точка глобального максимума является и точкой локального максимума. В частности, если выгоднее производить Q=0, чем любой положительный выпуск, то точка Q=0 является точкой локального максимума.

↑

Дмитрий Сироткин, 03.2.2012 в 22:28. (ссылка)

Отлично, я был прав. А что всё-таки имелось ввиду в последнем вопросе? Какой-то он странный - на него приводятся очевиднейшие примеры, вроде моего. Или я слажал?

↑

Григорий Хацевич, 04.2.2012 в 00:31. (ссылка)

Конечно, я имел в виду какое-нибудь содержательное утверждение, то есть чтобы была какая-то связь между максимумом и равенством MR=MC. Ведь есть же какая-то связь: в большинстве задач, в которых нам приходится максимизировать прибыль, максимум достигается в точке, где MR=MC:)

Давайте договоримся считать, что MR и MC могут быть определены в нуле, несмотря на то что ноль не является внутренней точкой области определения TR и TC (то есть такой, что существует окрестность этой точки, являющаяся подмножеством области определения; иными словами, мы можем сдвинуться чуть-чуть (сколь угодно близко) влево и чуть-чуть вправо от нашей точки, оставаясь всё ещё в области определения). Просто MR(0) и MC(0) мы будем определять как правостороннюю производную (то есть $\lim \limits_{\Delta x \to 0}\frac {f(x)-f(0)}{\Delta x}$ , где $\Delta x>0$ - в отличие от определения обычной производной, где $\Delta x$ может быть любого знака). Тогда, например, если MR=10-Q, а MC=11+Q, то мы можем сказать, что 0 - оптимальная точка, причём $MR(0)\ne MC(0)$