Торговать или не торговать?

В распоряжении одного маленького государства имеется единственный фактор производства - труд $L$ в размере двух единиц. Известно также, что это государство может производить лишь два блага $X$ , технология производства которого описывается функцией $L^2$ , и $Y$ , технология которого описывается функцией $2L^2$ . Известно, что на мировом рынке одну единицу $X$ можно обменять на одну единицу $Y$ . Правительство государства слышало, что международная торговля должна улучшать благосостояние страны. Тем не менее, прорешав несколько типичных задач по КПВ из разных сборников, правительство оказалось шокировано - кривая торговых возможностей оказалась ниже кривой производственных возможностей. Помогите правительству разобраться с этой проблемой. Объясните, в какую ловушку они попали и почему эта ловушка имеет место.

КПВ страны имеет вид $Y=8-2X$ , страна обладает сравнительным преимуществом в производстве $Y$ в сравнении с мировым производством (в стране $Y=\frac{X}{2}$ , в мире $Y=X$ ). Полагаю, что ошибка в том, что они неправильно определили в чем у них сравнительное преимущество и поэтому получили уравнение для КТВ: $Y=4-X$ вместо правильного $Y=8-X$ (полученное в самом лежит ниже правильного).
Вроде, так, но как-то все просто, что не верится, что правильно

↑

Евгений Дрынкин, 25.1.2012 в 14:59. (ссылка)

Напишите подробнее, как вы посчитали КПВ?

↑

Владислав Савельев, 25.1.2012 в 15:04. (ссылка)

Евгений, а почему $Y=8-2X$ - КТВ, ведь до выхода на мировой рынок у нас это было КПВ, а с выходом на мировой рынок у нас $Y=X$ , следовательно, КТВ должно быть $Y=8-X$ ?? Я сейчас немного не въезжаю.

↑

Евгений Дрынкин, 25.1.2012 в 15:11. (ссылка)

это я с комментарием поторопился. распишите процесс нахождения кпв.

↑

Владислав Савельев, 25.1.2012 в 15:14. (ссылка)

А оно верное??
Если у нас $L=2$ , то $Y_{max}=2\cdot 2^2=8, X_{max}=2^2=4$ , будет считать, что у нас $Y$ и $X$ бесконечно делимы, по двум точкам прямую задать мы можем, задаем и получаем $Y=8-2X$

↑

Евгений Дрынкин, 25.1.2012 в 15:16. (ссылка)

А почему прямая? Ведь переведя первую единицу с $Y$ на $X$ мы потеряем много $Y$ и получим чуть-чуть $X$ , а переведя вторую, получим много $X$ , потеряв чуть-чуть $Y$ . видимо, здесь нелинейная связь.

↑

Владислав Савельев, 25.1.2012 в 15:30. (ссылка)

Евгений, надеюсь, я понял, о чем Вы, в общем здесь даже линейностью и не пахнет.
КПВ: $Y=8-8\sqrt{X}+2X$ - это верно?

↑

Евгений Дрынкин, 25.1.2012 в 17:18. (ссылка)

да, верно. теперь проанализируйте ситуацию. что в ней "не так", к чему это приведет при использовании типичных формул (каких, кстати?)?

↑

Владислав Савельев, 25.1.2012 в 18:01. (ссылка)

А что Вы понимаете под словами "типичные формулы"??

КПВ не является линейной и даже не выпуклая вверх, а вогнутая, то есть альтернативные издержки по $X$ убывают, возможно, это "не так" (кстати это и не вписывается в условие "типичных задач по КПВ"), это сходу

↑

Евгений Дрынкин, 25.1.2012 в 22:09. (ссылка)

вы на верном пути. для примера решите задачу: КПВ имеет вид $X^2+Y^2=1$ , цены на мировом рынке равны.
кстати вопрос, почему у нас получилась выпуклой (имеется в виду выпуклой вниз)?

↑

Владислав Савельев, 25.1.2012 в 22:22. (ссылка)

Евгений, сдается мне, что КТВ будет иметь вид $Y=\sqrt{2}-X$ - для Вашего примера, но как-то из нелинейного в линейный мне не очень нравится!

↑

Евгений Дрынкин, 25.1.2012 в 22:23. (ссылка)

верно. как вы решали? почему такой способ не проходит в предложенной задаче?

↑

Владислав Савельев, 25.1.2012 в 22:37. (ссылка)

Назовем это метод "Угадай-ка":)
Т.к. $P_{x}=P_{y}$ , то $X=Y$ , на нашей КПВ это точка $(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$ , т.е. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ одного мы можем поменять на столько же другого и получить $Y_{max}=X_{max}=\sqrt{2}$ , с промежуточными точками не очень красиво выходит, поэтому я и сомневался!

↑

Евгений Дрынкин, 25.1.2012 в 22:47. (ссылка)

а если бы цены были разные? к примеру, $P_x=2P_y$ ?

↑

Владислав Савельев, 25.1.2012 в 22:56. (ссылка)

Метод "Угадай-ка" говорит, что КТВ имеет вид: $Y=\sqrt{5}-2X$ :)

↑

Евгений Дрынкин, 26.1.2012 в 09:40. (ссылка)

по всей видимости, решение выглядит так: на кпв находим точку, в которой $\frac{dy}{dx}=\frac{P_x}{P_y}$ и проводим через нее касательную. касательная и будет ктв. вопрос - почему в задаче такой подход не дает верного результата?

↑

Владислав Савельев, 26.1.2012 в 10:51. (ссылка)

Евгений, а почему мы именно касательную проводим, какое этому обоснование?? Я пробовал вчера в общем виде для $X^2+Y^2=1$ вывести, но хорошего получил мало, как быть??

Насчет Вашего вопроса: мировая торговля по сути должна улучшать состояние страны, но у нас функция вогнутая ну или выпуклая к началу координат (не знаю, как правильно сказать:)), и если проводить касательную, которая и будет КТВ, то она будет лежать ниже нашей КПВ, не очень выгодно.

Теперь, что касается КТВ, у меня есть следующие мысли:
Пусть мы производим 8 единиц $Y$ , внутри страны, одну единицу мы можем на мировом рынке на единицу $X$ , то есть, как я думаю, КТВ все равно будет: $Y=8-X$

(У меня была ешё мысль, что КТВ будет кусочно-заданной, то есть сначала мы будем торговать на мировом рынке, до того, как на внутренненем рынке $X=Y$ (я ничего не выводил, на пальцах думал, так что могут быть ошибки здесь), но потом вспомнил, что АИ должны не убывать и отмел эту мысль)

↑

Евгений Дрынкин, 27.1.2012 в 23:17. (ссылка)

в принципе все верно, сделаю пару комментариев.
во-первых, почему касательную в вогнутом случае. Ответ таков, что если функция вогнутая (например, $X^2+Y^2=1$ ), то это говорит о том, что технология обоих товаров характеризуется убывающей отдачей. Но раз так, то для получения максимально доступных наборов необходимо соблюдать такую пропорцию в производстве, чтобы предельная норма замещения на кпв была равна отношению цен (условие $dy/dx=P_x/P_y$ ). В противном случае, мы получим возможное улучшение благосостояния, перераспределив ресурсы в тот товар, который у нас дешевле, чем на мировом рынке.
Во-вторых, причина проблем кроется как раз в возрастающей отдаче. Это, впрочем, не то, чтобы большие проблемы. Многие отрасли имеют положительную отдачу (по крайней мере, на небольших объемах). Это приводит к специализации стран, например, Япония специализируется на производстве всяких гаджетов, а Бразилия на кофе и сахарном тростнике.

↑

Владислав Савельев, 28.1.2012 в 07:20. (ссылка)

Евгений, то есть КТВ я построил верно: $Y=8-X$ ??

↑

Евгений Дрынкин, 28.1.2012 в 14:44. (ссылка)

конечно. ктв, грубо говоря, это гипотенуза треугольника, имеющего как минимум одну общую точку с кпв (допустимость) и "заметающий" как можно больше наборов (то есть треугольник обладает максимальной площадью). в случае вогнутой функции эта задача решается через касательную, в случае выпуклой - сравниваются крайние точки

↑

Владислав Савельев, 28.1.2012 в 16:37. (ссылка)

Спасибо большое, разобрался:)

↑

Роман Андреевич Решетнев, 03.2.2012 в 06:56. (ссылка)

В случае выпуклой КПВ КТВ должна проходить через крайние точки? Или достаточно опять же одной, как и в случае с вогнутой?

↑

Владислав Савельев, 03.2.2012 в 09:24. (ссылка)

Роман, какая КПВ для Вас выпуклая, а какая вогнутая?

↑

Роман Андреевич Решетнев, 03.2.2012 в 09:34. (ссылка)

Касательную я подразумевал к выпуклой вверх. А крайнюю точку к выпуклой вниз.

↑

Владислав Савельев, 03.2.2012 в 09:40. (ссылка)

Это верно! Только вогнутая к началу координат называется выпуклой, то есть для этой задачи $Y=8-8\sqrt{X}+2X$ - выпуклая, а, например, $X^2+Y^2=100$ - вогнутая.
Я понимаю, что это каламбур, но авторы утверждают, что это именно так.

↑

Роман Андреевич Решетнев, 03.2.2012 в 10:50. (ссылка)

Да сам все время путаюсь в них) Проще говорить "выпуклая вверх(вниз)"
Но мой вопрос состоял в том,как верно строить КТВ для выпуклой вниз КПВ. То есть для выпуклой вверх нам достаточно провести касательную, чтобы получить максимальное число наборов, которые можно получить.
Но для выпуклой вниз КПВ нужно строить КТВ, соединяя крайние точки, или так же, как и в случае с выпуклой вверх, но в данном случае, сравнив крайние точки, и провести касательную с наклоном Px/Py через большую по величине точку?

↑

Владислав Савельев, 03.2.2012 в 11:03. (ссылка)

"соединяя крайние точки" не совсем верно, нужно ориентироваться на отношение мировых цен.

↑

Роман Андреевич Решетнев, 03.2.2012 в 11:26. (ссылка)

Спасибо, это я и хотел узнать.

↑

Аня Кожокина, 02.2.2012 в 20:36. (ссылка)

Можете объяснить, пожалуйста, как вы получили уравнение?

↑

Владислав Савельев, 02.2.2012 в 20:45. (ссылка)

Что получилось у Вас?

↑

Аня Кожокина, 02.2.2012 в 20:56. (ссылка)

У меня получилось то же, что получилось у Вас в самом начале. Понимаю, что так не должно быть, а вывести верную не получается :(

↑

Владислав Савельев, 02.2.2012 в 20:59. (ссылка)

Предположим, что $L_0$ единиц труда пойдет на производство товара $X$ , тогда $(2-L_0)$ на производство $Y$ , попробуйте дальше выразить

↑

Аня Кожокина, 02.2.2012 в 21:08. (ссылка)

Получилось, спасибо большое!

↑

Лиля Сафиуллина, 05.3.2012 в 09:20. (ссылка)

как это вывести?

↑

online Данил Фёдоровых, 05.3.2012 в 09:24. (ссылка)

У вас всего 2 единицы фактора. Чтобы сделать $x$ единиц товара $X$ , нужно $\sqrt{x}$ единиц фактора, про второй товар тоже что-то такое можно сказать. Дальше сами.