Эластичность спроса на товар монополиста

Спрос на продукцию монополиста линеен. Известно, что при оптимальном для монополиста объеме выпуска выручка составляет 3/4 от максимально возможной. Какова эластичность спроса по цене товара в точке оптимума?

Напишу алгебраическое решение, которое получилось у меня, но, по-моему, оно ещё сложнее геометрического (если у кого-то есть альтернативные варианты алгебры, выкладывайте, возможно, я усложняю)
Пусть $Q_{TR_{max}}, P(Q_{TR_{max}})$ - кол-во и цена, максимизирующие доход, $Q^*, P(Q^*)$ - оптимум кол-ва и цены, $TR_{max}, TR^*$ - доход максимальный и доход в оптимуме соответственно.

$P(Q)=a-bQ \Rightarrow MR(Q)=a-2bQ \Rightarrow Q_{TR_{max}}=\frac{a}{2b}, P(Q_{TR_{max}})=\frac{a}{2} \Longleftrightarrow TR_{max}=\frac{a^2}{4b}.$

Следовательно, $TR^*=\frac{3}{4} \cdot \frac{a^2}{4b}=\frac{3a^2}{16b}$ , составим уравнение: $P(Q^*)\cdot Q^*=\frac{3a^2}{16b}\Rightarrow aQ^*-b(Q^*)^2=\frac{3a^2}{16b}$ , решаем относительно $Q^*$ ( $Q^*$ - переменная, а $b$ и $a$ - параметры):

$16b^2(Q^*)^2-16abQ^*+3a^2=0$

$\frac{D}{4}=(8ab)^2-3a^2\cdot 16b^2=(4ab)^2$

$Q^*_1=\frac{8ab+4ab}{16b^2}=\frac{3a}{4b}>\frac{a}{2b}$ - соответствует неэластичному участку кривой спроса, $Q^*_2=\frac{8ab-4ab}{16b^2}=\frac{a}{4b}<\frac{a}{2b}$ - эластичный участок спроса, все нормально, следовательно, $Q^*=\frac{a}{4b}$ , тогда $E_{P}^{d}=\frac{Q^*-Q_{max}}{Q^*}=\frac{\frac{a}{4b}-\frac{a}{b}}{\frac{a}{4b}}=-3$ .
Как-то так!

Роман Андреевич Решетнев, 25.12.2011 в 17:30. (ссылка)

У меня не выходит.
Я приравниваю эластичности по цене и по количеству при макс выручке, получаю: PQ=(Q/2-Qmax)*(P/2-Pmax). Затем прибавляю к первоначальной цене x, от первоначального Q отнимаю y, затем делаю отношение TR/TRmax=3/4 => (P/2+x-Pmax)(Q/2-y-Qmax)/ (Q/2-Qmax)(P/2-Pmax). Отсюда пытаюсь выразить х через у, но не выходит нормально ничего. Правильно ли я делаю? Или стоит сделать другим способом?

Владислав Савельев, 25.12.2011 в 18:30. (ссылка)

Как я уже говорил, на мой взгляд, самое простое из решений здесь геометрическое.

Для моего решения необходимо знать, что такое определенный интеграл.

С помощью определенного интеграла можно посчитать площадь под графиком производной, и эта площадь будет равна значению первообразной в этой точке (заранее извиняюсь, объяснил как смог).
То есть $\int_{0}^{a}F'(x)dx=F(a)-F(0)$ - это по формуле Ньютона-Лейбница (в некоторых учебниках по математике этот материал есть, но лучше всего это объясняется и доказывается в Фихтенгольце).

Итак, теперь само решение: $\int_{0}^{Q_{опт}}MR(Q)dQ=TR(Q_{опт})$ .
Покажем это на рисунке: (не понял, как избавиться от цифирок на осях).
В точке оптимума у нас отношение площади треугольника, ограниченного графиком $MR(Q)$ и прямой $Q=Q_{опт}$ (на рисунке это $\bigtriangleup BDE$ ) к площади треугольника, ограниченного графиком $MR(Q)$ и прямой $Q=0$ ( $\bigtriangleup ACE$ )составляет $\frac{1}{4}$

$\frac{TR(Q_{опт})}{TR(Q_{m})}=\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{TR(Q_{m})-TR(Q_{опт})}{TR(Q_{m})}=\frac{1}{4}$ , следовательно, $\frac{DE}{CE} =\frac{1}{2}=\frac{Q_{опт}}{\frac{Q_{max}}{2}}$ (это из курса геометрии), то есть, $Q_{опт}=\frac{Q_{max}}{4}$ , ну а следовательно, $E_{D}=-3$