Коэффицент Джини и рокировка

Рассчитаем первоначальное значение индекса Джини по формуле: G=2*S
G=2*(0,5-(0,5*0,5*X+0,5*0,5*(1-X)+0,5*X)) = 0,5-X (можете проверить)

Теперь рассмотрим 2 случая:
1) доходы бедных упали на 19% (стали равными 0,81*X), а богатых – на 64% (стали равными 0,36*(1-Х))

Здесь: G=2*(0,5-(0,5*0,5*0,81*X+0,5*0,5*0,36*(1-X)+0,5*0,81*X)) =
= 0,82-1,035*X

0,82-1,035*X = 0,5-X, откуда X приближенно равен 9 (чего быть не может)

2) доходы бедных упали на 64% (0,36*X), а доходы богатых – на 19% (0,81*(1-X))

Здесь: G=2(0,5-(0,5*0,5*0,36*X+0,5*0,5*0,81*(1-X)+0,5*0,36*X)) =
=0,595 – 0,135*X

0,595 – 0,135*X = 0,5-X, откуда Х=-0,11 (чего опять же быть не может)

А как будет ситуация выглядеть, если богатые станут бедными?

Кстати, есть основания предполагать, что G=1 (ведь если доходы одной группы нулевые, то величина, на которую они снизились, не имеет значения)

Пусть богатым принадлежит A рублей, а бедным – В рублей (А>B)
Долю доходов бедных обозначим за Х, а долю богатых – (1-Х)
Выразим первоначальное значение коэффициента Джини через Х и (1-Х):

G0=2S=2(0,5-(0,25X+0,25(1-X)-0,5X)=1-1,5X-0,5(1-X)

Скобки не раскрывал, чтобы была видна зависимость между коэффициентом и долями богатых и бедных.

Теперь выразим Х и (1-Х) через А и В (это пригодится при оценке долей)

X=B/(A+B);(1-X)=A/(A+B)

Тогда:
G0=1-(1,5B+0,5A)/(A+B)

Мы будем рассматривать 3 случая:
Бедные остались бедными, доходы бедных сократились на 19%, а богатых – на 64%
Бедные остались бедными, доходы бедных сократились на 64%, а богатых – на 19%
Бедные стали богатыми, а богатые – бедными: в этом случае именно доход богатых сократится на 64%. В противном случае, если A>B, то 0,81A>0,34B, и тогда бы группы местами не поменялись.

1. Доход бедных – 0,81В, а богатых – 0,36А, G=const:

1-(1,5B+0,5A)/(A+B)=1-(1,5*0,81B+0,5*0,36A)/(0,81B+0,36A)

Путем нехитрых упрощений, получаем, что АВ=0. Поскольку А>B и один из множителей равен 0, то есть основания предполагать, что B=0 и G=1, то есть доходы распределены абсолютно неравномерно.

2. Доход бедных – 0,36В, а богатых – 0,81А, G=const:

1-(1,5B+0,5A)/(A+B)=1-(1,5*0,36B+0,5*0,81A)/(0,36B+0,81A)

В ходе упрощений снова получаем, что АВ=0. По той же причине, B=0 и G=1, то есть доходы опять же распределены абсолютно неравномерно.

3. Теперь общий вид коэффициента Джини изменится. То есть, если смотреть на картинку, Х заменяется на (1-Х), ведь доля доходов богатых теперь меньше:

G=1-1,5(1-X)-0,5X= 1-(1,5A+0,5B)/(A+B)
Доход бедных равен 0,81B, а богатых – 0,64A (см. выше), G=const:

1-(1,5A+0,5B)/(A+B)=1-(1,5*0,36A+0,5*0,81B)/(0,81B+0,36A)

1,62B2=0,72A2

3,24B2=1,44A2

Все неотрицательное, извлекаем корень:

1,8B=1,2A

A=1,5B
Подставляем в G0:
G0=1-(1,5B+0,75B)/(1,5B+B)=1-0,9=0,1