Большой Кокосовый Храм - продолжение

1. Слава супер-демократии!
Вдохновленный выводом задачи Большой Кокосовый Храм, Мудрый Вождь решил написать книгу о том, что Супер-Демократия -- лучшая форма правления. Благо, времени у него теперь предостаточно, ведь люди на острове абсолютно счастливы. Цель книги: помочь другим, менее мудрым вождям, примирить любые, даже самые гордые деревни.

Вождь знает, что краткость - сестра таланта, поэтому его книга состоит всего из двух коротких глав.
Полный текст первой главы:

Свойства задачи: 
Можно решить без знания производной

Охота на слонов

Истребление живой природы является серьезной проблемой в Африке. Например, популяция слонов на этом континенте сократилась с более чем 1 млн особей в 1970-х гг. до 600 тыс. сейчас. Правительства разных стран пытаются бороться с браконьерством по-разному, и эта политика зачастую приводит к парадоксальным, на первый взгляд, результатам. Оказывается, что наименьшие проблемы с сокращением популяции слонов испытывают те страны, где... разрешена охота на них!
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2012
Свойства задачи: 
Качественная задача
Можно решить без знания производной
Можно решить без знания экономической теории

Большой Кокосовый Храм

На далеком острове в океане есть две деревни: большая деревня A и маленькая (но гордая) деревня B.  Жители деревни А собирают 20 кокосов в год, деревни В - 10 кокосов в год. Кокосы можно есть, а можно строить из них Большой Кокосовый Храм (БКХ). В конце каждого года наступает сезон дождей, во время которого храм уносит в океан, поэтому каждый год жители острова строят храм заново.

Счастье каждого жителя зависит только от количества съеденных им кокосов ($x$) и от красоты храма ($G$). Суммарное счастье деревни А можно посчитать по формуле $u_a(x_a,G)=x_a+ 6\sqrt{G}$, деревни В - по формуле $u_b(x_b,G)=x_b+2\sqrt{G}$. Храм у всех общий, еда у каждого своя.

Даньель, поездка в Германию и оптимальный выбор.

Даниэль работает в ресторане официантом. Процесс принятия заказов выглядит так:
1)клиент говорит свою функцию полезности U=f(a1,a2,a3,a4..), где a1, a2 и т.д. – различные блюда.
2) Клиент называет различные сочетания блюд, которые он хотел бы съесть. Например, (a1,a3,a7) или (а2,а3,а5).
3) Даниэль должен максимизировать полезность клиента, тогда он получает чаевые 20% от стоимости заказа. В ином случае он получает 3%.
4)Даниэль идет на кухню, где тратит время на нахождение наилучшего варианта.
Также известно, что Даниэль может не находить оптимальный набор, а угадать его с вероятностью 10%. Он не любит работать, но ему необходимо как можно быстрее накопить деньги на поездку в Германию.
В ресторане работают еще N официантов(N>100). Каждый получает свои чаевые. На одного официанта за день приходится в среднем 20 клиентов, величина среднего заказа – 600 у.е. Официанты не получают зарплату, а только чаевые. Все работают 30 дней в месяц. Определите:
а) Месячный размер заработка Даниэля.
б) Директор ресторана решает ввести новую систему: все чаевые складываются в одну коробку, а в конце рабочего дня делятся на всех поровну. Опишите процесс нахождения месячного заработка Даниэля в этом случае, если известно, что у других работников предпочтения схожи с Даниэлем. И определите наиболее вероятный заработок Даниэля в этом случае.

Рациональная уборка

В крайнем подъезде трехэтажного общежития живут три студента-медика, каждый на своем этаже. Лифта в подъезде нет. Студенты не любят грязь, поэтому они решили скинуться и нанять уборщицу, которая бы мыла лестничные площадки напротив каждой квартиры.

Удовольствие студента зависит от того, сколько чистых площадок он встречает на пути домой. Кроме того, чем больше лестничных площадок проходит студент, пока идет домой, тем более он терпим к грязи.

В олимпиадах: 
Конкурс РЭШ — 2012

Весенняя Олимпиада

На некоторой плоскости есть четыре города, расположенные в вершинах выпуклого четырехугольника $ABCD$. Города впервые в истории решают провести между собой спортивное соревнование — Весеннюю Олимпиаду. Поскольку ни один из городов изначально не обладает необходимой для Олимпиады инфраструктурой, на то, чтобы быть местом ее проведения, претендует любая точка плоскости (в том числе, и сами города). Каждый город хотел бы, чтобы Олимпиада прошла как можно ближе к нему.
В олимпиадах: 
Конкурс РЭШ — 2012
Свойства задачи: 
Можно решить без знания производной
Можно решить без знания экономической теории

Борьба с курением

Для борьбы с курением в США используют самые разные меры. Одной из популярных мер последних лет стал запрет на курение в ресторанах и барах. В основном такие запреты принимаются на уровне городов, поселков и округов. Исследования показали, что запрет на курение в барах и ресторанах приводит к снижению как процента курящих, так и интенсивности курения среди тех, кто продолжает курить. Впрочем, эта мера имела и побочные эффекты: оказалось, что она привела к уменьшению потребления пива и крепких спиртных напитков.
В олимпиадах: 
Конкурс РЭШ — 2012
Свойства задачи: 
Качественная задача
Можно решить без знания производной
Можно решить без знания экономической теории

Мумба-Юмба

В племени Мумба-Юмба $N$ человек ($N\geqslant1$), каждый из которых ходит на охоту в лес. $i$-й соплеменник каждый день тратит на охоту долю $c_{i}$ своего времени ($0\leqslant c_{i}\leqslant 1$) и приносит $y_{i}$ условных единиц добычи, при этом его производственная функция задается формулой $y_{i}=\sqrt{c_{i}}$. Каждый вечер, после возвращения охотников из леса, все соплеменники собираются вокруг костра и съедают всю принесенную за день добычу (каждый — свою), танцуя ритуальные танцы.
В олимпиадах: 
Сибириада. Шаг в мечту — 2011

Дружелюбные соседи

Два соседа имеют следующие функции полезности:
Ua=$\frac{Xa+Xb}{Xb}$*Ya
Ub=$\frac{Ya+Yb}{Ya}$*Xb
Где Xa и Ya - объёмы потребления благ X и Y первым соседом, Xb и Yb - объёмы потребления благ X и Y вторым соседом.
Px=1, Py=2
Оба соседа обладают полной информацией о предпочтениях друг друга.
Доход первого соседа равен 100; он предполагает, что доход второго Ib=200.
а) посчитать значения Xa и Ya если соседи закупают блага по очереди, начинает первый.

Игра потребителей

Даны функции полезности индивидов А и B:

$U_{A}(X,y_{A})=3ln(X) +2ln(y_{A})$
$U_{B}(X,y_{B})=2ln(X) +3ln(y_{B})$

Где X - объём общественного блага X, причем $X=X_A + X_B$, где индивид A определяет $X_A$ , а индивид B определяет $X_B$, $y_{A}$ - объём частного блага y, потребляемого индивидом A, $y_{B}$ - объём частного блага y, потребляемого индивидом B.

$P_{X}=5, P_{y}=10$

Их доходы равны

$I_{A}=I_{B}=300$