Вова Гореплюйкин, как вы знаете, получает огромное удовольствие от еды, особенно тогда, когда он хорошенько наедается. Разумеется, Вова имеет функцию полезности от потребления товаров Х и У (это опять бессмертные бесконечно делимые "БорБориски" разных вкусов): $TU(x,y)= 12 \ln x + 18 \ln y$. Цена товара Х составляет 4 афро, товара У — 9 афро. Поразгружав ночью вагоны, Вова смог заработать 90 афро.
Наш Вова — большой любитель жвачки. Жует он ее исключительно перед едой. Но, как известно, жевание жвачки перед едой дико подхлестывает аппетит, и это находит такое отражение на функцию полезности Вовы от поедания Х и У: если он хоть чуть–чуть пожевал свой любимый бабл–гам, то теперь, когда он съест некое количества товара Х или У, он получит полезность такую же, как если бы съел количество, в k раз меньшее, ($k>1$).

То бишь теперь он прежним количеством еды наедается меньше, чем раньше. Однако само поедание жвачки в количестве $g$ добавляет ровно $g$ к его полезности. Цена одной жвачки равна 3.
Как верный друг Вовы, подскажите ему, стоит ли жевать жвачку перед едой и, если да, то сколько? Какое количество Х и У он приобретет?

Предположим теперь, что его доход вырос на 999 афро. Как он ими распорядится?

Комментарии

1)Жвачку жевать не стоит, x=9, y=6 ?
Да, верно, пиши решение.
Без жвачки,бюджетное ограничение Вовы задается уравнением У=10 - (4/9)х
Два пути нахождения оптимума
1)Тогда полезность = 12ln(x)+18ln(10-(4/9)x), возьмем производную, она равна 12/х - 8/(-4/9*х+10), приравняем ёё к нулю, получим х=9,у=6.

2)Приравняем отношения предельных полезностей к цене 12/4х=18/9у, подставим в бюджтное ограничение найдем х=9,у=6

Теперь о жвачке, отношение предельной полезности потребления жвачки к ее цене постоянно и равно = (g/g)/3= 1/3, а в предыдущей ситуации у нас такие отношения равны и равны=12/4*9= 1/3, но тогда смысла замещать потребление сладостей потреблением жвачки, при этом делить полезность еще на К, естественно нет.

Просто браво!

Если честно, то не думал, что первый же человек решит эту задачу без максимизации функции от двух переменных.

Вообще, если вы внимательно присмотритесь, то увидите, что предельная полезность от потребления Х и У не поменяется после жевания жвачки. Только общая (ведь ln(kx) = lnk +lnx). Но ход мысли абсолютно правильный. А ответ на второй вопрос? Кстати, а пусть жевание жвачки вообще не влияет на полезность от Х и У. Тогда смысл жевать появится или все равно нет?

Если честно,я и говорил об общей полезности :)

Согласно закону убывающей предельной полезности, после данной "точки" предельные полезности от потребления Х и У будут убывать, то есть и отношения к цене будут убывать в то время как у жвачки этот показатель будет всё еще равен 1/3, тогда смысл однозначно появится, но вот в какой пропорции распределится потребление это надо еще посчитать...
"на вскидку" могу предположить что потребление х и у сохранится на уровне 9 и 6,дабы не уменьшать заветное соотношение пред. утилити/цена , а оставшиеся 909 рублей он потратит на жвачку получив от нее еще 303 дополнительных утилей...

И опять верно. Да, действительно, именно такие рассуждения там и нужны: ведь он пускает каждый свой рубль туда, где больше с него отдача. Вот он их вложил так, чтобы иметь 9 Х и 6 У, думает, как дальше вложить. Ну и очевидно, что купив еще Х или У он получит меньше полезности, чем "пожевав". =)
И я повторю другой свой вопрос. Пусть, если он жует жвачку, то его функция полезности от Х и У остается такой же, как и без жвачки, то бишь U(x,y,g)= 12lnx + 18lny + g. Применяя прежний метод рассуждения, докажите, что потреблять жвачку он все равно не будет.

Да, и еще вопрос, для статистики: долго ли заняло все решение? С временем на "подумать" и прочее? Все равно вы решили ее первым, так что не грех сознаться. =)

Ответ на другой вопрос : из равенства 12/4х = 18/9у = 1/3 (учитываем потребление 3х благ) вытекает х = 9, у = 6, а тогда потребление жвачки с учетом ограниченного бюджета равно = (90-9*4-6*9)/3 =0/3= 0,кстати по этой формуле и второй вопрос решается собственно говоря.

По поводу времени: вчера потратил минут сорок,за полминуты найдя бюджетное ограичение как У=9 - 0,4 х ( НЕПРАВИЛЬНО, как обычно ошибся в элементарном) а потом двумя способами находил оптимум - ответ не сходился, я был в диком недоумении =) потратил часть времени именно на недоумение.
Сегодня после школы сел,все заново посчитал проверил, ушло где то полчаса, а на второй вопрос ушло мунут 5-10 размышлений.
Классная задача кстати, так ровненько всё сходится,загляденье)!

Спасибо.

Насчет рассуждений: тут есть неточность. Ведь и у жвачки отношение полезности к цене равно 1/3. Почему бы тогда нам не купить сколько-нибудь?

Боюсь загоните меня в тупик =)
Но ведь тогда бюджет оставшийся на сладости уменьшится и равенство отношений предельных полезностей и цен не будет выполняться(потребление х и / или у уменьшится) 12/4х=18/2у уже никак не будет равен 1/3,тогда потребление блага будет распределено неэффективно.
Хм, ну да, близко, близко. Но это равенство может не всегда выполняться ведь, да и вы (если не против, то можем перейти "ты" далее =)) не совсем уверены, как мне кажется. (Кстати, насчет выполнения данного равенства: посмотрите следующие задачи с сайта: "Рациональный потребитель Петров" и "Ни одной конфетины". Попробуйте использовать анализ предельных величин. Ответьте на вопрос: где на рубль будет больше полезности? Что будет, если мы хоть чуть-чуть купим жвачки?
Насчет выполнения равенства, впринипе потребитель максимизирует свою полезность когда для его набора благ выполняется равенство
MUa/Pa = MUb/Pb = MUc/Pc = MUd/Pd (к примеру Микроэкономика Майкла Каца и Харви Роузена)если оно может выполняться(к счастью в этой задаче это именно так)то рациональный потребитель будет его соблдать, если же совсем не может( я так понимаю ты об этом случае) ... то это совсем другая история=)Завтра обязательно попытаюсь решить названные тобой задачи...
Если хоть чуть чуть купим то у жевачки будет меньше полезности на рубль чем у икс и игрек, ну это и есть следствие из того что равенство не выполняется,только лишь знак неравенства теперь уточнён. Ну и соответственно вывод : жевачка тут ни к чему. Спасибо за разьяснение, такой вывод действительно боле чист и прозрачен =)
Не выдержал до завтра
По поводу Конфетин,знакомая задача, это ведь задача с Москвы 2008, она кстати у меня получилась,там ведь одно МУ/Р всегда больше другого,отсюда и нулевое потребление вторго блага, а вот про Петрова очень необычная штука, ведь то же самое что и про конфеты только "с другого конца" условие, только попастся в ловушку очень легко.
Да, очень легко, это правда.

Насчет "конфетин". Реши эту задачу через порядковую теорию полезности, используя кривые безразличия и бюджетного ограничения. Посмотри, почему там не выполняется равенство.

В данной задаче действительно другого равновесия не придумаешь, наверное, так как предельные полезности принимают любое положительное значение, так что касание кривой безразличия и бюджетного ограничения будет неминуемо, что с двумя товарами, что с тремя. Ведь даже, если полезность от жвачки на рубль была бы равна 0.5, то она как бы "задает" границу остальным полезностям, так что равенство бы выполнялось, да.

Потребитель спокойно может не выбирать набор исходя из равенства MUx/Px = MUy/Py, даже если есть точка, в которой оно выполняется. Пример: U(x,y) = x^2+y^2. Px=Py=1, доход равен 10. Тогда если руководствоваться правилом MUx/Px = MUy/Py, то нужно купить по 5 единиц каждого и получить полезность 50. Легко, однако проверить, что если потратить весь доход, к примеру, только на икс и купить 10 его единиц (и 0 игрека), то можно получить полезность аж 100. Так что с "золотым" правилом MUx/Px = MUy/Py нужно быть очень осторожным.

Постарайтесь понять, откуда (я имею в виду смысл, а не математику) это правило берется, и тогда сформулируйте, при каких условиях его можно применять.

Кажется я начинаю потихоньку понимать, ведь в данном примере, с помощью такого соотношения мы находим экстремальное значение, а точнее минимум TU,отнюдь не максимум? Видимо это все от того,что в данном примере не работает закон убывающей предельной полезности, здесь графики предельных полезностей возрастающие.То есть, чем больше потребление одного из благ, тем больше полезности оно приносит на рубль затрат.
Да, выполнение закона убывающей предельной полезности - это необходимое условие. Если ты решал бы "конфетины" через кривые безразличия, то увидел бы, как там выглядят кривые безразличия. Здесь они будут иметь похожий вид. Если быть точнее, то это будут четверти окружностей с радиусом равным корню из полезности и координатами центра (0.0). Из рисунка видно, что в случае касания бюджетного ограничения и кривой безразличия (а именно это и задает условие равенства отношений предельной полезности к цене) не будет оптимума, так как мы при данном бюджете можем потреблять, находясь на более высокой кривой безразличия - той, которая проходит через точки (0.10) и (10.0)
в примере с квадратами не выполняется условие выпуклости функции полезности вверх, иначе - убывания предельной полезности. так что пользоваться "золотым" правилом можно лишь при выполнении очень строгих предпосылок
Евгений, а не могли бы вы привести пример, когда в случае невыполнения закона убывающей предельной полезности можно пользоваться правилом? Как я себе это представляю, если кривая безразличия имеет выпуклый вид, то бишь закон убывания предельной полезности не выполняется, то всегда найдется более высокая кривая безразличия, общие точки с которой будет иметь наше бюджетное ограничение.
Ребята, так называемый "закон" убывания предельной полезности - рудимент умершей в 1930-х годах количественной теории полезности. Рассмотрим две функции:
$U_1(x,y)=\sqrt{xy}$
$U_2(x,y)=x^2y^2$

Какие два набора (x1,y1) и (x2,y2) ни возьми, наши две функции дадут одинаковые выводы о том, какой из этих наборов лучше. Другими словами, эти две функции представляют одни и те же предпочтения на множестве наборов (x,y). Соответственно, у них будут одинаковые карты кривых безразличия. Оптимум потребителя будет в одной и той же точке - точке касания кривой безразличия и бюджетной линии. И возрастание (как у U2) или убывание (как у U1) предельной полезности, как видите, никакой роли не играет.

Можно сформулировать какой-нибудь набор предпосылок, при выполнении которых равенство MU1/P1=MU2/P2 будет необходимым и достаточным условием оптимума.
Например, такой:
1) кривые безразличия дифференцируемы и выпуклы (вниз);
2) в оптимуме потребление обоих товаров положительно.

Да, тут не поспоришь. Ну эти функции - это почти одно и то же, просто два раза возвели в квадрат первую из них и получили вторую. =) Но пример наглядный, спасибо!
Да уж, действительно интересно), спасибо!
В следующий раз, когда вам захочется сказать "закон убывающей предельной полезности", лучше скажите "закон убывающей предельной нормы замещения" - он тоже, конечно, не всегда выполняется, но, по крайней мере, имеет отношение к оптимизации, в отличие от его кардиналистского (количественного) коллеги.
Все так увлеклись маржинальным анализом, что во втором случае забыли сравнить выгоду от потребления 333 единиц жвачки (по сравнению с оптимумом с 1089 рублями без жвачки) с $30ln(k)$ - потерями от потребления жвачки в принципе.

Потреблять жвачку во втором случае (да-да, и есть ее ровно 333 единицы) имеет смысл только если $k<\frac{e^{11,1}}{12,1}=5468,69092$.

Но я подозреваю что k таким большим итак не бывает =)

Согласен, что во втором пункте по $k$ должны быть ограничения. Но я решал немного по-другому, и у меня получилось что при $K>13,1$ ему становится невыгодно жевать жвачку.
Да, кажется, в этой задаче была такая проблема!
Можешь сказать, какое все таки правильное максимальное $k$?
Буду очень благодарен)