Балансировка бюджета и поддержка населения

Задача

Московская олимпиада (МОШ) — 2019

10 класс

11 класс

монополия

налоги и субсидии

открытая экономика и платежный баланс

Можно решить без знания производной

Средняя: 9 (5 оценок)

17.03.2019, 16:59 (Рита Голуб)
14.04.2019, 16:10

(1)

Ася Липатова

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

В стране Z товар X производится единственной фирмой, причём производство $q$ единиц продукции связано с издержками в размере $q^2$ д. е. Внутри страны Z спрос на продукцию фирмы определяется как $q_d = 35-p$, но есть ещё и конкурентный мировой рынок, на котором фирма может продать любое количество продукции по цене 60 д. е. (эту цену фирма воспринимает как заданную), а производители с мирового рынка не могут зайти в страну Z.
Государство обеспокоено обнищанием населения: готовность потребителей внутри страны платить за товар X намного ниже, чем цена на мировом рынке. Государство хочет повысить благосостояние своих граждан, однако лишних денег на это нет, поэтому необходимые средства придётся собирать на этом же рынке. Государство желает добиться того, чтобы внутри страны продавалось как можно больше единиц товара X, поэтому оно вводит потоварную субсидию потребителям по ставке $s$ д. е. за каждую купленную внутри страны единицу продукции. Чтобы финансировать программу субсидирования, государство вводит потоварный налог на экспорт по ставке $t$ д. е. за каждую вывезенную из страны единицу продукции. При этом общая сумма денег, потраченная на предоставление субсидии, не должна превышать сумму, полученную благодаря налогу.

По какой ставке следует ввести субсидию? По какой ставке следует ввести налог? Сколько единиц продукции будет продаваться внутри страны, а сколько — отправляться на экспорт? Сколько составят расходы на предоставление субсидии и доходы от взимания налога?
Если бы государство рассматривало только вариант введения потоварного налога на экспорт с целью максимально возможного пополнения бюджета, то по какой ставке следовало бы ввести такой налог?

Решение и ответ

Заметим, что у фирмы предельная выручка на внутреннем рынке убывает, на мировом рынке постоянна, а предельные издержки производства возрастают, поэтому в оптимуме будет $MR_h = MR_f = MC$. При субсидировании внутренний спрос становится равным $q_d = 25+s-5$, тогда $MR_h = 35+s-2q$. Предельная выручка на конкурентном внешнем рынке равна мировой цене за вычетом экспортного налога, т.е. $MR_f = p_w-t = 60-t$. Наконец, $MC = 2q$, где $q = q_h+q_f$. Таким образом, оптимум фирмы описывается равенством $35+s-2q_h = 60-t = 2(q_h+q+f)$. Фактически это система двух уравнений с двумя неизвестными ($q_h$ и $q_f$) и двумя параметрами ($s$ и $t$). Решив систему относительно выпусков, получим $q_h = \frac{s+t-25}{2}$, $q_f= \frac{85-s-2t}{2}$.
Естественно, это при $s+t-25 \geqslant0$ и $85-s-2t\geqslant0$ – выпуск продукции не может быть отрицательным (случаи, когда один из выпусков равен нулю, тоже нет смысла рассматривать в этой задаче). Всё это можно было получить и без знания о предельных издержках и предельной выручке, а просто рассматривая квадратичную функцию прибыли от двух аргументов. Теперь можно записать, как от ставок субсидии и налога зависят расходы на субсидирование и доходы от налогообложения: $S = q_h s = s \frac{s+t-25}{2} \leqslant T = q_f t = t\frac{85-s-2t}{2}$.
Это неравенство можно привести к виду $25s+85t -s^2-2st-2t^2 \geqslant 0$.
Это будет «бюджетное ограничение» государства. Задача государства – максимизировать количество продаж на внутреннем рынке: $$q_h = \frac{s+t-25}{2} \rightarrow \max_{s, t}$$
Это равносильно максимизации суммы $s+t$; эту величину можно назвать $u=s+t$. Преобразуем бюджетное ограничение: $25u+60t-u^2-t^2 \geqslant 0$.
Таким образом, надо относительно $u$ решить квадратное неравенство $u^2 - 25u +(t^2-60t) \leqslant 0$, но не просто решить, а так, чтобы во множество решений вошло как можно большее значение $u$. Это означает, что неравенство будет выполнено как равенство и что искомое $u$ – это правый корень квадратного уравнения $u^2-25u+(t^2-60t) = 0$. Видим, что при $u^2$ и при $u$ стоят уже известные коэффициенты, а $t$ влияет только на параллельный сдвиг графика вверх-вниз, поэтому чтобы правый корень был как можно больше, надо сдвинуть график – параболу с ветвями вверх – как можно ниже, а для этого, очевидно, минимизировать $t^2-60t$.
Минимум достигается в $t=30$. Далее можно различным путями найти ставку субсидии. Например, подставить $t=30$, получить уравнение $u^2-25u -900 = 0$ и увидеть, что интересующий нас корень составляет $u=45$, откуда $s=15$. Значит, $q_h = 10$, $q_f = 5$, при этом $S=T = 150$. Достигнутый внутренний выпуск $q_h$ больше, чем можно было бы добиться простым запретом торговать на мировом рынке: в таком случае фирма внутри страны продавала бы $q_h = 8.75 < 10$.
Если налог вводится по ставке не выше чем $t=25$, то фирма по-прежнему будет работать только на внешнем рынке, как и в отсутствие государственного вмешательства. Оптимум фирмы будет определяться равенством мировой цены за вычетом налога и предельных издержек: $60-t = 2q_f$, откуда $q_f = \frac{60-t}{2}$, $T = tq_f = t\frac{60-t}{2}$.
Если налог вводится по ставке выше $t = 25$, то фирма будет работать уже на обоих рынках, как в пункте 1, только этот случай будет отличаться отсутствием субсидии. Оптимум фирмы будет определяться равенством внутренней предельной выручки, мировой цены за вычетом налога и предельных издержек. Таким образом, можно просто в выкладки пункта 1 подставить $s=0$ и получить $q_f = \frac{85-2t}{2}$, $T = tq_f = t\frac{85-2t}{2}$.
Это будет продолжаться до тех пор, пока мировая цена минус налог не опустится ниже значения внутренней предельной выручки, которую в оптимуме получала бы фирма, если бы совсем не торговала на мировом рынке: $MR_h(8.75) = 17.5$. Таким образом, фирма будет торговать на двух рынках, если $60-t \geqslant 17.5$, или $t\leqslant 42.5$. При дальнейшем повышении ставки налога фирма перестаёт работать на мировом рынке: $q_f = 0$, $T=0$.
Итак,
$T = 0.5t(60-t)$ при $0\leqslant t \leqslant 25$
$T = 0.5t(85-2t)$ при $25\leqslant t \leqslant 42.5$
$T = 0$ при $ t \geqslant 42.5$.
Таким образом, вершина первой параболы с ветвями вниз находится правее границы, а вершина второй параболы с ветвями вниз находится левее границы. Это значит, что максимум будет достигаться в точности на границе промежутков при $t=25$.

Все задачи этой олимпиады

10 класс

Задача	Баллы
GDP — это не всё	20
Балансировка бюджета и поддержка населения	20
Дисбалансы в мировой экономике	20
Максимальный профицит	20
Прорыв и стабильность	20

11 класс

Задача	Баллы
Балансировка бюджета и поддержка населения	20
Дисбалансы в мировой экономике	20
Максимальный профицит	20
Политика отрицательных процентных ставок	20
Прорыв и стабильность	20

5 класс

Задача	Баллы
Бесплатный сыр? — 5 класс	20
Время на задачки — 5 класс	20
Разве можно списывать?! — 5 класс	20
Справедливые пельмени вскладчину	20
Ягодный пирог — 5 класс	20

6 класс

Задача	Баллы
Бесплатный сыр? — 6 класс	20
Время на задачки — 6 класс	20
Разве можно списывать?! — 6-7 класс	20
Справедливые пельмени вскладчину	20
Ягодный пирог — 6 класс	20

7 класс

Задача	Баллы
Время составлять задачки	20
Два зайца против курения	20
Разве можно списывать?! — 6-7 класс	20
Страховая асимметрия?	20
Ягодный пирог — 7 класс	20

8 класс

Задача	Баллы
Государство и дороги	20
Далёкая страна	20
Инвестирование	20
Прогрессивная или пропорциональная?	20
Стройка	20

9 класс

Задача	Баллы
Государство и дороги	20
Далёкая страна	20
Налог в модели межвременного выбора	20
Прогрессивная или пропорциональная?	20
Стройка	20

Балансировка бюджета и поддержка населения

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Свойства

Сложность

Все задачи этой олимпиады