Время составлять задачки

Задача

Московская олимпиада (МОШ) — 2019

7 класс

математика

микроэкономика

производитель и рынки

производственный процесс

издержки

Голосов еще нет

17.03.2019, 15:12 (Рита Голуб)
12.05.2019, 23:28

(0)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Двум составителям заданий олимпиады «Верная победа» (которую сокращенно называют ВП) — Александру и Максиму — необходимо составить некоторое количество задачек для этой олимпиады.
Александр, который параллельно пишет дипломную работу, на составление одной хорошей задачи для ВП тратит 5 часов, а Максим, который занят несколько меньше, — всего 3 часа.
Максим и Александр работают в команде и стремятся распределить работу так, чтобы их суммарное время на составление задач для ВП было как можно меньше: всё остальное время каждый из них планирует составлять задания для Московской олимпиады школьников по экономике.

Пусть Александру и Максиму необходимо составить $Q$ хороших задач для ВП ($Q$ — количество задач, которые им нужно составить). Сколько часов каждый из них потратит на составление?
Предположим, что олимпиада ВП уже очень скоро, и Александру с Максимом необходимо объединить усилия. Если они будут работать вместе и составят при этом $Q$ хороших задач, сколько часов они потратят суммарно на эту работу? Сколько часов потратит каждый из них?
Предположим, что у Максима на составление задач для ВП имеется всего 21 час, а у Александра — 20 часов. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление $Q$ задач для ВП?
Предположим, что у Максима на составление задач имеется всего $M$ часов, а у Александра — $N$ часов. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление $Q$ хороших задач для ВП?

Решение и ответ

Так как Александр и Максим пытаются свести к минимуму суммарное время, оно же сумма времён, то очевидно следующее: каждую дополнительную задачу должен решать Максим в силу того, что если дополнительную задачу делает Максим, то суммарное время увеличивается на $3$ часа, а если Александр, то на $5$ часов. Поэтому все задачки должен сделать Максим, а Александр не делает задачки. Итого: время Максима $ = 3Q$ ч., время Александра $ = 0$ ч.
Производительность Александра ($AP_{Александра}$) $ =1/5$ (задач/час); производительность Максима ($AP_{Максима}$) $=1/3$ (задач/час); Общая производительность при одновременной работе ($AP_{А+М}$) $=1/3+1/5=8/15$ (задач/час); следовательно время, которое потратят ребята при параллельной работе над задачками $ = Q/(8/15)=15Q/8$ ч. Но найденное время – это время каждого по отдельности, а суммарное $15Q/8\cdot 2=15Q/4$ часов.
Если $Q < 11$, то аналогично пункту $2$ время каждого $15Q/8$, а суммарное $15Q/4$.
Если $Q=11$: Максим успеет $21/3=7$ задач, а Александр $20/5=4$ задачи, следовательно, $4+7=11$ задач.
Если $Q > 11$, то они ничего не успеют
Максимально возможное количество задач $Q_{max}=M/3+N/5$.
Если $Q_{max} > Q$, $N < 1.875Q$ и $M < 1.875Q$, то ограничение на нас не влияет и всё как в пункте $2$ и $15Q/8$ часов для каждого и $15Q/4$ часов суммарно.
Если $Q_{max} > Q$ и $N < 1.875Q < M$: Александр успеет сделать $N/$5 задач, тогда на Максима приходятся $Q-N/5$ задач и его время составит $3Q-(3N/5)$ часов и суммарное время составит $3Q+2N/5$ часов.
Если $Q_{max} > Q$ и $M < 1.875Q < N$: Максим успеет сделать $M/3$ задач, тогда на Александра приходятся $Q-M/3$ задач и его время составит $5Q-(5M/3)$ часов и суммарное время составит $5Q-2M/3$ часов

Все задачи этой олимпиады

10 класс

Задача	Баллы
GDP — это не всё	20
Балансировка бюджета и поддержка населения	20
Дисбалансы в мировой экономике	20
Максимальный профицит	20
Прорыв и стабильность	20

11 класс

Задача	Баллы
Балансировка бюджета и поддержка населения	20
Дисбалансы в мировой экономике	20
Максимальный профицит	20
Политика отрицательных процентных ставок	20
Прорыв и стабильность	20

5 класс

Задача	Баллы
Бесплатный сыр? — 5 класс	20
Время на задачки — 5 класс	20
Разве можно списывать?! — 5 класс	20
Справедливые пельмени вскладчину	20
Ягодный пирог — 5 класс	20

6 класс

Задача	Баллы
Бесплатный сыр? — 6 класс	20
Время на задачки — 6 класс	20
Разве можно списывать?! — 6-7 класс	20
Справедливые пельмени вскладчину	20
Ягодный пирог — 6 класс	20

7 класс

Задача	Баллы
Время составлять задачки	20
Два зайца против курения	20
Разве можно списывать?! — 6-7 класс	20
Страховая асимметрия?	20
Ягодный пирог — 7 класс	20

8 класс

Задача	Баллы
Государство и дороги	20
Далёкая страна	20
Инвестирование	20
Прогрессивная или пропорциональная?	20
Стройка	20

9 класс

Задача	Баллы
Государство и дороги	20
Далёкая страна	20
Налог в модели межвременного выбора	20
Прогрессивная или пропорциональная?	20
Стройка	20

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Сложность

Все задачи этой олимпиады