Ягодный пирог — 7 класс

1. Обратим внимание, что девочки собирают ягоды с постоянной скоростью.
   Заметим тогда, что, собирая единицу черники, Даша теряет возможность собрать $2$ единицы земляники, а Катя – $135/40=27/8$ (то есть больше $2$) единиц земляники.
   Поэтому землянику в первую очередь собирает Катя, а чернику – Даша.
   Предположим, что Даша собирает только чернику. Тогда за день она соберет черники на $3/(1/3) = 9$ пирогов.
   В этом случае Маше необходимо собрать для $9$ пирогов $9 \cdot (1/2) = 4,5$ килограмма земляники.
   На это у Маши уйдет $4,5/13,5 = 1/3$ дня.
   Еще $2/3$ дня Маша будет собрать и землянику, и чернику.
   Найдем, что $1$ килограмм черники Маша будет собирать за $1/4$ дня, а земляники – за $10/135 = 2/27$ дня.
   Для одного пирога нужно: $1/2$ килограмма земляники и $1/3$ килограмма черники. На сбор ингредиентов для одного пирога уйдёт: $1/2 \cdot 2/27 = 1/27$ дня на сбор земляники, $1/3 \cdot 1/4 = 1/12$ дня на сбор черники.
   Тогда общее время на сбор Машей ингредиентов для одного пирога составит $1/27 + 1/12 = 13/108$ дня.
   За $2/3$ дня Маша сможет собрать ягоды для $(2/3)/(13/108)=(2\cdot 108)/(3\cdot 13)=(2\cdot 36)/13=72/13$ пирога.
   То есть для $5$ целых и $7/13$ пирога.
   Маша за $2/3$ дня соберет $(72/13) \cdot (1/2) = 36/13=2\frac{10}{13}$ килограмма земляники. Маша за $2/3$ дня соберет $(72/13) \cdot (1/3) = 24/13 = 1\frac{11}{13}$ килограмма черники.
   В итоге за день: Даша соберет $3$ килограмма черники и $0$ килограммов земляники Маша соберет $24/13=1\frac{11}{13} килограмма черники.
   Маша соберет $4,5 + 2\frac{10}{13} = 6 + (1/2 + 10/13) = 6 + 33/26 = 7\frac{7}{26}$ килограмма земляники.
2. Бабушка сможет испечь $14\frac{7}{13}$ килограммовых пирогов (как указано выше).
3. Пирог состоит из $3$ частей и весит $1$ килограмм.
   Земляника и черника весят $1/2 + 1/3 = 5/6$ килограмма.
   Так как сказано, что «масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов», тогда значит тесто в пироге весит $1/6$ килограмма
   Всего для изготовленных пирогов требуется $14\frac{7}{13}\cdot 1/6 = 2\frac{11}{26}$ килограмма теста.
   Если было округление до целого, то $14 \cdot 1/6 = 7/3$ килограмма теста.

Способ 2.

1. Обратим внимание, что девочки собирают ягоды с постоянной скоростью.
   Построим КПВ Даши и Кати. Они линейны, так как скорость постоянна
   Найдем альтернативные издержки Даши и Кати, $В$ – черника, $S$ – земляника. У Даши: $АИ (1B) = 2 (S)$. У Кати: $АИ (1B) = 27/8 (S)$.
   Альтернативные издержки у Даши ниже, поэтому чернику в первую очередь собирает она.
   Построим общую КПВ.
   По условию в пироге $S/B = (1/2)/(1/3)\Leftrightarrow S/b = 3/2 \Leftrightarrow B=(2/3)S$.
   Заметим, что земляники в полтора раза больше, чем черники, поэтому следует учитывать ограничение на «участке Кати» общей КПВ
   Уравнение на участке Кати имеет вид $B = 7 – (40/135)S$.
   При этом $B=(2/3)S$.
   Решая систему, получим $S = 7\frac{7}{26}$, откуда $B = 4\frac{11}{13}$.
   В итоге за день: Даша соберет $3$ килограмма черники и $0$ килограммов земляники
   Маша соберет $24/13 = 1\frac{11}{13}$ килограмма черники.
   Маша соберет $7\frac{7}{26}$ килограмма земляники
2. Тогда бабушка сможет испечь $4\frac{11}{13} \cdot 2 + 5 = 14\frac{7}{13}$ килограммовых пирогов.
3. Пирог состоит из $3$ частей и весит $1$ килограмм.
   Земляника и черника весят $1/2 + 1/3 = 5/6$ килограмма.
   Так как сказано, что «масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов», тогда значит тесто в пироге весит $1/6$ килограмма
   Всего для изготовленных пирогов требуется $2\frac{11}{26}$ килограмма теста.