Задача

В олимпиадах

Заключительный этап ВОШ - 2018

Раздел

Баллы

6

Темы

Сложность

8
Средняя: 8 (2 оценок)
29.04.2018, 21:43 (Алёна Захарова)
29.04.2018, 21:44
Экономистов часто упрекают в том, что люди в их моделях –– эгоистичные создания, лишенные доброты, любви, эмпатии и чувства справедливости. Реальные люди, между тем, не такие, что подтверждается исследованиями их поведения. Так, в экспериментах (и в реальных жизненных ситуациях) участники зачастую принимают решения так, как будто их заботит не только собственный выигрыш, но и справедливость распределения. Причем неприязнь несправедливости может быть связана как с завистью (я не хочу, чтобы другие получили больше, чем я), так и со стыдом (я не хочу получить больше, чем другие).
Рассмотрим модель взаимоотношения двух инвесторов, Клары и Марфы, которые могут вложить деньги в совместный проект. Если Клара вложит K тыс. руб., а Марфа вложит M тыс. руб., то
проект принесет им общую сумму 1,6(K + M), которую они разделят пополам. Каждая из них может вложить любую сумму не больше 100 тыс. руб. Считайте, что если какая-то из девушек безразлична между несколькими вариантами вложения, она выбирает из них тот, в котором сумма вложения максимальна.
Совместное инвестирование предложила Клара, но Марфа не очень доверяет ей, поэтому поставила Кларе условие: «Сначала ты вносишь на банковский счет свою сумму K, а уже потом, когда я увижу эту сумму на счете, я добавлю к ней M». Так и договорились.
а) (0 баллов) Предположим, что каждая из девушек просто максимизирует сумму денег, которая останется у нее после реализации инвестиционного проекта. Доказать, что в этом случае
K = M = 0, слишком просто, поэтому составители решили не давать за это баллов.
б) (6 баллов) Предположим теперь, что у девушек есть и другие интересы, кроме личного обогащения. А именно, используем функцию полезности, предложенную Эрнстом Фером и Клаусом
Шмидтом:$^1$
$$U_K = x_K − \alpha max(x_M − x_K; 0) − \beta max(x_K − x_M; 0),$$
$$U_M = x_M − \alpha max(x_K − x_M; 0) − \beta max(x_M − x_K; 0),$$
где $U_K$ и $U_M$ – функции, которые девушки (Клара и Марфа соответственно) максимизируют, $x_K$ и $x_M$ – их выигрыш в деньгах (сумма, оставшаяся на руках после реализации проекта), $\alpha$ – параметр зависти, $\beta$ – параметр стыда ($\alpha, \beta > 0$). Функция $max(x; y)$ принимает значение $x$, если $x > y$, и значение $y$ в ином случае.
Оказывается, что забота не только о своем, но и о чужом выигрыше может хорошо сказаться на итогах инвестиционного проекта: в отличие от ситуации пункта а) (в котором $\alpha = \beta = 0$), девушки могут на нем заработать. Найдите ограничения на параметры $\alpha$ и $\beta$, при которых это произойдет.