Задача

В олимпиадах

Заключительный этап ВОШ - 2018

Раздел

Баллы

6

Темы

Сложность

0
Голосов еще нет
29.04.2018, 21:05 (Алёна Захарова)
29.04.2018, 21:06


(0)
Сельскохозяйственная отрасль страны $U$ выращивала только пшеницу ($W$), пока однажды король не увидел, как за океаном выращивают кукурузу ($C$). Правителю так понравилась эта культура, что он решил, что теперь она будет выращиваться и в стране $U$.
Оказалось, что урожайность кукурузы, как и пшеницы, зависит от того, в какой части страны ее выращивать – на севере страны или на юге. На одном гектаре северных полей можно вырастить 2 центнера пшеницы или 1 центнер кукурузы, а на одном гектаре южных полей – 1 центнер пшеницы или 2 центнера кукурузы. На каждом гектаре альтернативная стоимость центнера пшеницы в единицах кукурузы постоянна.
Издержки на возделывание $N$ гектаров северных полей (независимо от культуры) равны $TC(N) = N^2/2$ руб., а издержки возделывания $S$ гектаров южных полей равны $TC(S) = S^2 + 20 \cdot S$ руб. Страна настолько большая, что $S$ и $N$ не ограничены и могут быть любыми неотрицательными числами.
Несмотря на энтузиазм правителя, население страны скептически отнеслось к кукурузе, и поэтому не потребляет ее. Но кукурузу можно продавать на мировом рынке по цене $P_C = 40$ руб. за центнер. А вот к пшенице население привыкло, поэтому предъявляет на нее спрос $W = 120 − P_W$ (зато на международном рынке продать ее нельзя). Площадь возделываемых полей и ее распределение между пшеницей и кукурузой определяется королем, который максимизирет прибыль, получаемую страной от обеих культур.
а) (1 балл) Предположим, значения $S$ и $N$ определены. Как будет в зависимости от них выглядеть КПВ страны $U$ в координатах ($W$, $C$)? Приведите графический вид (укажите координаты ключевых точек).
б) (5 баллов) Какую максимальную прибыль может получить король, если оптимальным образом выберет $S$, $N$, $W$ и $C$?