Задача

В олимпиадах

Олимпиада ICEF Evening School — 2018

Раздел

Баллы

20

Темы

Сложность

0
Голосов еще нет
24.04.2018, 18:00 (Дарья Елицур)
24.04.2018, 18:02


(0)
Вы когда-нибудь мечтали стать руководителем крупного банка? Представим, что Вы являетесь им. Вам открыты на выбор две инвестиционные технологии, различающиеся, естественно, доходностью, которая определяется периодом инвестирования. Пусть существуют 3 периода $(T=i, \text{ где } i={0,1,2})$. Первый вариант подразумевает вложение средств в $T = 0$ и получение ровно такой же суммы в периоде $T = 1$. Напротив, вторая опция предлагает вложиться в $T = 0$ и выручить средства в $T = 2$, причём в размере $R\cdot S$,где S-сумма вложений, $R>1$. Если проект завершается раньше $T = 2$, то инвестор ничего не получает и теряет все вложения в данный проект.

Пусть существуют вкладчики, которые разделяются на два типа: рискованные и менее рискованные. Последние не предпочитают держать деньги на счёте: наличные для них спокойнее. Предположим, что функцию полезности вкладчиков: $u(x_i)=\dfrac{x_i^{1-\alpha}}{1-\alpha}$, где $x$-уровень потребления, $i={1,2}$ - тип вкладчика, $\alpha$ - некий параметр.

Пусть в $T=0$ вкладчик не знает к какому типу он относится, но начиная с $T=1$ и вероятностью $p$, он осознает, что он «менее рискованный». Такой вкладчик склонен забирать свой вклад в периоде $T=1$, предпочитая потратить деньги на текущее потребление. Однако вкладчик иного типа готов ждать до $T=2$ (при условии, что не боится за свои средства)$^2$. Как руководитель банка, вы хотите определить оптимальную инвестиционную стратегию при данных рисках.

А) Предположим, что депозиты вкладчиков $d_i \; (d_1\neq d_2)$, которые могут быть сняты. Изначально у банка находится в распоряжении сумма A, такая, что банк способен выдать только $d_1$. Определите условия, при которых банк может провести инвестиционную политику и не обанкротиться.
Б) Результат, полученный построением финансовой модели на основе данных условий и максимизации общей функции полезности по уровню потребления двух групп, привёл к следующему соотношению: $\dfrac{u' (x_1 )}{u' (x_2 ) } =R$.
Используя данное соотношение и условия из пункта A), определите оптимальные $d_1^*$ и $d_2^*$.
В) На основе условий прошлых пунктов и результатов, полученных Вами, объясните (интуитивно), почему данные значения являются оптимальными.

_______________________
$^2$ Вкладчик не боится банкротства банка, которое может случиться при большом набеге других вкладчиков в T=1.