Задача

В олимпиадах

Сибириада. Шаг в мечту — 2018

Раздел

Баллы

25

Сложность

8.5
Средняя: 8.5 (8 оценок)
28.02.2018, 14:11 (Анастасия Таратутенко)
01.03.2018, 10:15


(0)
В некотором городе действуют два предприятия, которые производят только два товара: товар X и товар Y. Для производства этих товаров используются ресурсы альфа и бета. Количества товаров X и Y, ресурсов альфа и бета беконечно делимые.
Известно, что на первом предприятии для производства двух единиц товара Y нужно затратить одну единицу ресурса альфа и четыре единицы ресурса бета, а для производства единицы товара X потребуется только одна единица ресурса альфа.
На втором предприятии из единицы ресурса альфа и четырёх единиц ресурса бета можно получить одну единицу товара Y, а из единицы ресурса альфа можно произвести две единицы товара Х.
Также известно, что в процессе производства товара X образуется некоторое количество ресурса бета. Так на первом предприятии при производстве трёх единиц товара Xобразуются 4 единицы ресурса бета, а на втором предприятии при производстве трех единиц товара X образуются две единицы ресурса бета.
В начале каждого месяца город поставляет каждому предприятию 30 единиц ресурса альфа и 40 единиц ресурса бета, передавать и обменивать ресурсы предприятия не могут. Если на конец месяца у предприятия остаются ресурсы, то город их забирает. Т.е. в начале каждого месяца каждое предприятие имеет в своём распоряжении ровно 30 единиц ресурса альфа и ровно 40 единиц ресурса бета.

1. Постройте график КПВ каждого предприятия.
2. Предположим, в результате острой конкурентной борьбы произошло объединение этих двух предприятий в производственное объединение (ПО). Теперь ПО на тех же условиях получает от города каждый месяц 60 единиц ресурса альфа и 80 единиц ресурса бета. Постройте КПВ производственного объединения.
3. Пусть товар Y продается на рынке по цене 30, а товар X – по цене 10. Какой объём производства каждого товара позволит ПО получить наибольшую выручку и чему будет в этом случае равна выручка?
4. Как должна измениться цена товара Х, чтобы ПО изменило свой выбор относительно объемов производства товаров по сравнению с решением, принятым в п.3?
5. Предположим, что помимо товаров X и Yпроизводственное объединение может также продавать ресурс бета. Пусть цены на товары X и Y соответствуют пункту 3. При какой цене ресурса бета предприятие будет производить товар Y?

Комментарии

Пункты 1. и 2. (как минимум) решены неправильно (если я не ошибаюсь). Во-первых, в пункте 1. итоговые КПВ обоих предприятий не будут содержать возрастающего участка, т.к. можно просто произвести на 1 предприятии 15, на 2 предприятии 30 иксов и дальше, при получившихся максимальных игреках, не потреблять произведённые иксы. В таком случае вместо возрастающего участка будет горизонтальный, ограничивающий действительно множество всех доступных комплектов (x,y). Во-вторых, даже если пренебречь вышесказанным, во втором пункте задачи в итоговой КПВ ПО недоступна, допустим, точка (30,60), получаемая работой только 1 предприятия, т.к. некорректно обосновано производство иксов только на 2 предприятии. В связи с этим, итоговая КПВ должна получиться двугорбой (здесь я мог ошибиться, но, по крайней мере, КПВ должна содержать точку (30,60)). Надеюсь, я в обоих местах ошибаюсь в своей критике.
По первому пункту вы не правы: «не потреблять произведенные иксы» нельзя, поскольку речь идет о кривой производственных возможностей. КПВ ограничивает множество наборов, доступных для производства, а не для потребления. Со вторым пунктом я не разбирался; возможно, составители придут и ответят.
То есть нам к потреблению может быть каким-то образом доступна точка выше КПВ?
Ну, если такая странная КПВ, то получается так. Вообще, это не очень интересно обсуждать, поскольку это вопросы определений, а не смыслов.
Не может КПВ содержать возрастающий участок!!! Так как КПВ - это эффективные точки, а точки на возрастающем участке доминируют предыдущие по Парето. Нужно срочно это убрать из решений. В остальном все правильно.
А разве, когда у нас нет возможности "выкинуть" часть произведенного товара, не может возрастать?
А почему в ответах нигде не учитывается, что одно из предприятий даёт не $2/3$ a $4/3$ беты за икс? Например в пятом и втором пунктах
если будем производить x на заводе, где х даёт $4/3$ беты, то разве не будет функция $ y=min(40+2x/3;120-2x) $ и она будет частично выше той что в ответе