Заоч. задача 5 НОЦ ВолНЦ РАН (10-11 класс, часть Б)

Приравняем спрос и предложение (составляющее соответственно 90 и 140 человек) для каждой из баз отдыха и решим полученную систему уравнений:
\begin{cases}
150 – 0,2p_1 + 0,1p_2 = 90 \\
250 – 0,15p_2 + 0,05p_1 = 140
\end{cases}
$\Rightarrow 475 - 0,25p_1 = 275 \Rightarrow p_1^* = 800$ руб., $p_2^* = (0,2*800 + 90 - 150)/0,1 = 1000$ руб.
Если «Мимоза» построит дополнительный коттедж на 20 человек, ее предложение составит 160 человек. Решим систему.
\begin{cases}
150 – 0,2p_1 + 0,1p_2 = 90 \\
250 – 0,15p_2 + 0,05p_1 = 160
\end{cases}
$\Rightarrow 475 - 0,25p_1 = 295 \Rightarrow p_1^* = 720$ руб., $p_2^* = (0,2*720 + 90 - 150)/0,1 = 840$ руб.
Суточная выручка «Мимозы при полной загрузке в исходной ситуации составляла $140*1000 = 140$ тыс. руб., а в новой – $160*840 = 134,4$ тыс. руб. Таким образом, произошло сокращение выручки при одновременном росте издержек (новый коттедж нужно построить). Без увеличения спроса базе это не выгодно.
Обозначим количество мест на «Мимозе» за $x$. Снова решим систему.
\begin{cases}
150 – 0,2p_1 + 0,1p_2 = 90 \\
250 – 0,15p_2 + 0,05p_1 = x
\end{cases}
$\Rightarrow 475 - 0,25p_1 = 135 + x \Rightarrow p_1^* = 1360 - 4x$ руб., $p_2^* = (0,2*(1360 - 4x) + 90 - 150)/0,1 = 2120 - 8x$ руб.
Найдем, при каком значении $x$ выполняется неравенство $p_2^* < p_1^*$:
$2120 - 8x < 1360 - 4x$
$x > 190$
Если на «Мимозе» будет больше 190 мест, цена станет ниже, чем на «Ветерке».