Задача 1 ОЧ-2015 (11 класс)

1. Определим, сколько человек живет на острове.
Пусть $a_{i}$ – доля (в %) дохода i-ого островитянина в общей доле доходов острова.
Используя формулу n-ого члена арифметической прогрессии $(a_{n}=a_{1}+d(n-1))$, а также очевидный факт, что сумма всех долей жителей должна составлять 100% получаем систему уравнений:
\begin{cases}
a_{n}=0.01+0.02(n-1)\\
\dfrac{0.01+a_{n}}{2}n=100\\
\end{cases}
Решая, которую получаем, что $n=100, a_{100}=1,99%.$

2. Вычисление индекса Джини.
Каждый индивид образует группу, которая составляет 1% в общей численности населения.
Доли доходов индивидов соответственно равны : 0,01%; 0,03%; 0,05%…1,97%;1,99%.

Накопленные доли доходов тогда равны: 0,01%; 0,01%+0,03% ;0,01%+0,03%+ 0,05%; …;…1,97%+1,99%.

Вычислим площадь под кривой Лоренца (S), которая состоит из одного треугольника и 99 трапеций: $S=12\times[1\times0,01+1\times(0,01+(0,01+0,03))+1\times((0,01+0,03)+ (0,01+0,03+0,05))+⋯ ]$

Выражение в квадратных скобках можно преобразовать следующим образом: каждая из долей 0,01%; 0,03%; 0,05%…1,97%;1,99% входит в него 1 раз (когда появляется впервые) плюс число раз, равное удвоенному количеству скобок, в которые она входит после первого своего появления.

Поэтому:

$$[…]=0,01(1+2∗99)+0,03(1+2∗98)+0,05(1+2∗97)+⋯+1,97(1+2∗1)+1,99$$
$$0,01+0,03+⋯+1,99=100$$
$$2(0,01∗99+0,03∗98+⋯1,97∗1)=$$
$$=2(0,01∗99+(0,01+0,02)∗98+⋯(0,01+0,02∗98)∗1)$$
$$0,01∗(99+98+⋯+1)=1+992∗99∗0,01$$
$$0,02∗(98+97+⋯+1)=1+982∗98∗0,02$$
$$0,02∗(97+96+⋯+1)=1+972∗97∗0,02$$
$$...$$
$$[…]=2∗(−0,01∗1+992∗99+0,02∗12∗[(1+99)∗99+(1+98)∗98+⋯+(1+1)∗1])=$$
$$=2(−0,01∗1+992∗99+0,01(1+992∗99+(992+982+⋯+12))=$$
$$=2∗(992+982+⋯+12)=33∗199$$
Итак, $S=12∗(33∗199+100).$
Тогда коэффициент Джини равен $G=1-\dfrac{S}{0.5\times100\times100}=0.3333.$

3. Стоит ли правителю что-либо менять?
Напомним, что a – доля доходов правителя в общем доходе острова. После объединения $99$ человек в одну партию и равномерного распределения доходов между ее членами правитель останется наиболее богатым на острове. Поэтому индекс Джини теперь будет равен:
$S=12∗99∗(100−a)+12∗1∗(100−a+100)=5050−50a$ - сумма площади треугольника с катетами $99$ и $(100-a)$ и площади трапеции с основаниями $(100-a)$ и $100$.
$$
G=1-\dfrac{S}{0.5\times100\times100}=\dfrac{a-1}{100}
$$
Тогда функция полезности правителя будет равна:
$U=10(a+1)-1000\times\left(\dfrac{a-1}{100}\right)^{2}$

Максимум этой функции достигается при $a=51%$. И полезность будет равна $U=517,5$
Полезность до действий правителя была равна $U=−81,18889$.
Сравнивая полезности, получаем, что правителю выгодно нарушить существующее распределение доходов (точное значение функции полезности вычислять необязательно, можно просто сказать, что выражение $10∗(1,99+1)−1000∗0,33332<517,5$).