Задача

В олимпиадах

Раздел

Баллы

30

Темы

Сложность

5.66667
Средняя: 5.7 (6 оценок)

Автор

18.04.2017, 00:07 (Елизавета Демьяненко)
02.05.2017, 23:05


(0)
По случаю Чемпионата мира 2018 года футбольный клуб «Забивака» решил построить новый стадион вместо того, на котором он играет сейчас. Спрос на посещение матчей предъявляют две группы болельщиков –– фанаты клуба и просто ценители красивой игры. Фанаты предъявляют спрос при любой игре команды; их функция спроса имеет вид $q_{1}(p)=60-p$, где p –– цена абонемента на посещение матчей в течение сезона, $q_{1}$ –– количество купленных абонементов. Ценители красивой игры предъявляют спрос на абонементы, только если клуб играл красиво в предыдущем сезоне. Красота игры определяется случайными факторами; вероятность красивой игры равна 1/2. Функция спроса второй группы имеет вид $q_{2}(p)=100-p$.Издержки на строительство стадиона вместимости x равны $C=5000+100x$. Клуб принимает решение о вместимости стадиона и тратит деньги на его строительство в начале периода $t=0$ (в будущем достраивать стадион нельзя), а получает выручку от продажи билетов в начале каждого периода $t=1,2 . . .$ (до бесконечности). Клуб максимизирует ожидаемую приведенную стоимость денежного потока, то есть величину
$$
-C+\dfrac{0.5TR_{1}+0.5TR_{1+2}}{1+r}+\dfrac{0.5TR_{1}+0.5TR_{1+2}}{(1+r)^2}+\dfrac{0.5TR_{1}+0.5TR_{1+2}}{(1+r)^3}+. . .
$$
где $TR_{1}$ –– выручка от продажи абонементов только фанатам, $TR_{1+2}$ –– выручка от продажи билетов как фанатам, так и ценителям красивой игры. Множители 0,5 присутствуют в силу того, что каждый из двух случаев реализуется с вероятностью 1/2. Ставка процента r равна 10 %. Клуб принимает решение о ценах в начале каждого периода, когда уже известно, будут предъявлять спрос ценители красивой игры или нет.
а) (15 баллов) Предположим, что фанаты любят смотреть матч только из-за ворот, а цени-
тели красивой игры –– только с центральной трибуны. Клуб может построить каждую трибуну
любой вместимости, а потом назначать разные цены на билеты на разные трибуны. Определи-
те оптимальные цены на билеты абонементов на разные трибуны (на центральную трибуну ––
только для случая, когда на нее есть спрос) и оптимальную вместимость каждой трибуны.
б) (15 баллов) Предположим, что клуб решает ту же задачу при условии, что любому зри-
телю безразлично, откуда смотреть матч, и поэтому проводить ценовую дискриминацию между
фанатами и остальными болельщиками не получится. Клуб назначает единую цену для всех мест
на стадионе. Найдите оптимальную цену абонемента (в зависимости от того, предъявляет спрос
вторая группа или нет), и оптимальную вместимость стадиона.

Комментарии