Андрей и Вася поступили в ВШЭ и поселились в общежитии. Каждый из них любит две вещи: отдых и чистоту. На всё вместе у каждого по 10 часов времени в неделю (остальное уходит на учебу). Функция полезности Андрея имеет вид $U^A(x^A,G) = x^A + 2\ln(G)$, Васи — $U^B(x^B,G) = x^B + 3\ln(G)$, где $x$ — отдых (у каждого он свой), $G$ — чистота. Для простоты будем считать, что чистота равна числу часов, потраченных на уборку в сумме Андреем и Василием.
- Пусть Андрей и Василий принимают решения одновременно. Сколько каждый из них будет отдыхать и делать уборку?
- На первой лекции по микроэкономике наши студенты узнали, что такое Парето-оптимальность, и решили выяснить, является ли их поведение оптимальным по Парето. Что они выяснили?
- В погоне за оптимальностью Андрей и Василий решили выбрать такое распределение, в котором сумма их полезностей максимальна, и после уборки у них остается одинаковое количество свободного времени. Сколько времени они теперь тратят на уборку? Верно ли, что новая ситуация лучше старой для каждого из студентов?
- На очередной лекции по микроэкономике профессор Линдаль рассказал им про интересный механизм, который помогает эффективно устроить производство общественного блага. Каждый из студентов должен представить себе, что чистота $G$ — частное благо, которое можно купить по цене $P$ часов за единицу времени (раньше для обоих студентов было $P=1$). Хитрость механизма в том, что цены для Андрея и Василия разные ($P^A$ и $P^B$) и подбираются так, чтобы оба студента выбрали оптимальную чистоту (найденную в предыдущем пункте). Найдите $P^A$ и $P^B$.
- Студенты уже было обрадовались, как вспомнили об одной маленькой детали: убираться всё равно нужно. Ведь "технология" $ $ уборки не изменилась, поэтому чтобы механизм сработал, общего времени, "потраченного" $ $ студентами на чистоту, должно хватить, чтобы достичь "купленного" $ $ ими уровня чистоты. Если времени хватит, они решили в знак благодарности назвать цены в честь профессора — ценами Линдаля, написать об этом в университетскую газету и тайно положить последний номер газеты на стол профессору. Если нет — сделать, наконец, уборку, собрать весь мусор и... тоже положить его профессору на стол. Что найдет профессор на своем столе?
Примечания:
- Для функции полезности ln(x) предельная полезность имеет вид 1/x, а само значение функции можно посчитать на любом инженерном калькуляторе. Это всё, что нужно знать про натуральный логарифм для решения данной задачи.
- Если Вы не знаете, что такое Парето-оптимальность, второй пункт можно пропустить: остальные пункты решаются независимо от него.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
1. Заметим, что best response Андрея $t_a=2-t_b$, а Василия - $t_b=3-t_a$. Данная система несовместна. Тогда найдём равновесные $t_a$ и $t_b$ по-другому.
Допустим, $t_b>2$. Тогда $t_a=0, t_b=3$.
В противном случае рассмотрим $U^A$. $U^A=10-t_a+2ln(t_a+t_b)$. Рассмотрим наиболее приемлимое для Алексея значение $t_b=2$ (ведь это максимальное из всех значений $t_b$ при нынешнем ограничении ($t_b\le 2$)). $U^A=10-t_a+2ln(2+t_a)$. Оптимальное значение $t_a=0$. Очевидно, в этом случае полезности обоих молодых людей будут меньше, чем при $t_a=0, t_b=3$. Это и есть равновесное количество уборки.
2. $U^A=10-t_a+2ln(3+t_a)$. Оптимальное значение $t_a=0$, все другие значения сделают Андрея несчастным.
$U^B=10-t_b+3ln(t_b)$. Оптимальное значени $t_b=3$, в противном случае полезность Василия будет меньше.
Таким образом, сложившееся количество уборки является оптимальным по Парето.
3. Пусть каждый трудится по $t$ часов.
$TU=20-2t+5ln(2t)$. Оптимальное значение $t=2.5$. Тогда несложно посчитать полезности каждого из студентов. Полезность Андрея ($U^A=7.5+2ln(5)$)окажется меньше его полезности из пункта 1, а полезность Василия ($U^B=7.5+3ln(5)$) - наоборот, выше.
4. $t_a+t_b=5$,
$U^A=10-P^At_a+2ln(t_a+t_b)$. Возьмём производную по $t_a$ и приравняем к нулю. Получим $P^A=0.4$. Аналогично получим $P^B=0.6$.
5. ???