Спрос на скафандры предоставляют все планеты во Вселенной, пронумерованные от 1 до ∞. Обратная функция спроса планеты с номером n равна $P=100- \frac{Q}{0,5^{(n-1)}}$, где P=цена 1 скафандра в галактических тугриках, а Q=кол-во скафандров. Продает данный товар только одна фирма, FC которой пренебрежимо малы, а на производство k скафандров необходимо потратить $0,5k^2$ денег.
А.) Найдите равновесную цену на межгалактическом рынке скафандров и кол-во, проданное монополистом. Найдите количество импортируемого товара в страну номер n.
Б.) Правительство всех планет решило стимулировать конкуренцию: теперь любой житель за 2222 галактических тугрика может купить право продавать скафандры на своей планете. При этом издержки производства Q единиц для него составят $0,25\cdot Q^2$ Жители же смогут покупать скафандры как у новых производителей, так и у монополиста из пункта (А). Найдите новое равновесие.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Докажем, что даже на первой планете невыгодно открывать производство. Запишем функцию прибыли, получим что ее максимум в точке Q=40. Прибыль будет равна 2000. Но надо еще выложить 2222, поэтому уйдем в минус. Значит, не надо открывать производство и на этой и на других планетах, где спрос меньше. Значит, исходное равновесие не поменяется.
Верно ли это?
Таким образом при цене $P=99$, купят $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}=\lim_{n -\to \infty}{\frac{1}{2^n}}+1=2$$
Если мы понизим цену на $\epsilon$, то $$\Delta Q(\epsilon)=\epsilon+\epsilon(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n})=2\epsilon$$
Таким образом $$Q_d=(100-P)\cdot 2$$
Теперь запишем прибыль фирмы. $$PR=100Q-0.5Q^2-0.5Q^2 \to \max$$
$$100-2Q=0$$
$$Q^*=50$$
$$P^*=75$$
$$Q_n=25 \cdot (0,5)^{(n-1)}.$$
Пункт б) не решал. Кстати делал похожую задачку https://iloveeconomics.ru/z/7394