Страна, в которой Вы отвечаете за социально-экономическую политику, разделена на четыре федеральных округа, отличающихся по степени неравенства доходов. Из проверенных статистических источников Вам известны уравнения кривых Лоренца, характеризующие неравенство дохода в этих округах.

Первый округ: $y=x^2$.
Второй округ: $y=\sqrt{\frac{x^6+x^2}{2}}$.
Третий округ: $y=\frac{x^3+x}{2}$.
Четвертый округ: $y=\frac{2x^3}{1+x^2}$.

Расположите округа по возрастанию неравенства доходов.

 

Комментарии

Сначала думал составить общую кривую, но как-то не сложилось)Поэтому есть вариант разграничить степень неравенства дохода, используя коэффициент Джинни(всем известо, что если он меньше,то доходы менее дефферинцированы, и наоборот).Используя данные функции можем вычеслить площадь которую образует линия равномерного распределения с самим луком Лоренца, для этого используя формулу Ньютона-Лейбница ограничение по Х возьмем от 0 до 1(для простаты вычисления,т.к. получется тоже самое что если бы мы брали до 100 и для этого мы бы брали площадь общего треугольника не 5000, а 1/2, но она нас впринципе не интересует,т.к. будем делить все четыре примера на одно и тоже число):
1)видно, что график у=х лежит выше квадратичной параболы , поэтому площадь будет равна=(х2)/2-(х3)/3|0;1=1/6, следовательно коэффициент=(1/6)/(1/2)=1/3

2)F(х) делим почленно и получаем (х/sqrt2)*sqrt(х4+1),следовательно площадь равна=(х2/2)-(х/sqrt2)*sqrt(х4+1)|0;1=-1/2, (но судя по всему график функции будет лежать выше у=х..поэтому не знаю что делать??!)
3)тоже делим почленно и получаем=(х2/2)-[(х4)/8+(х2)/4]|0;1=1/8, отсюда коэф=(1/8)/(1/2)=1/4
4)(х2/2)-[((х4)/2)+2х]|0;1=-2!!!???
во втором и четвертом нельзя найти решения на интервале
хє[0;1]-допустимые значения коєффициента Джинни:1)либо не верны мои подсчеты(так как первообразные еще не учил), либо график функции лежит выше у=х, что поидее невозможно!
ну а если так, то исходя из получившихся данных ответим на вопрос: 4,2,3,1

Ответ 4,2,3,1
ЗЫ: не судите строго=)

Вот и мое решение:
Заметим, что все функции возрастающие проходят через точки (0;0) и (1;1)
у1=x2
y2= ((x6+x2)/2) 0, 5
y3=(x3+x)/2
y4=2x3/ (1+x2)
Степень неравенства доходов можно определить при помощи коэффициента Джинни. Чем он выше, тем степень неравенства доходов больше. Так как коэффициент Джинни определяется, как отношение площади, ограниченной кривой Лоренца и линией абсолютного равенства к площади плоского треугольника, ограниченного осью абсцисс, вертикальной прямой при х(население)=100% и линией абсолютного равенства.
То-есть чем больше площадь, ограниченная кривой Лоренца и линией абсолютного равенства, тем больше коэффициент Джинни, значит больше и степень неравенства доходов.
Нам надо распределить наши функции кривых Лоренца по возрастанию значений функций при всех значениях Х Є (0;1).
Чем меньше значение функции на этом отрезке, тем больше площадь, ограниченная кривой Лоренца и линией абсолютного равенства тем больше значение коэффициента Джинни, значит больше и степень неравенства доходов.
Распределим данные функции по возрастанию на Х Є (0;1):
1) у1 – y4 = x2 – 2x3/ (1+x2)= (x4–2x3+x2)/(1+x2)= x2(x2–2x+1)/(1+x2)= x2(x–1) 2/(1+x2)>=0
у1>=y4
2) у1 – y3 = x2–(x3+x)/2=-x/2*(x-1)2<=0
y3>=у1;
3) Так, как у1>=y4 , y3>=у1, то y3>=у1>=y4;
4) Докажем, что y2>= y3 при всех значениях Х Є (0;1):
((x6+x2)/2) 0, 5>=(x3+x)/2; так, как слева и справа - неотрицательные выражения, то возведем в квадрат левую и правую часть, получаем:
2x6+2x2>=4x4;
x6+x2>=2x4;
x6+x2–2x4>=0;
(x3–x)2>=0;
То-есть:
y2>= y3;
Поэтому мы получаем:
y2>= y3>=у1>=y4;
Теперь мы можем распределить округа по возрастанию неравенства доходов:
Второй, третий, первый,четвертый.
Но все же можно было проще - и без рассуждений про коэффициент Джини.

И еще: в следующий раз ставьте значок "^" для обозначения степени. Например "икс в кубе" - это x^3. Нижний же индекс можно обозначать как "_". "Икс третье" - это х_3.

Мне кажется, для тех, кто на самом деле знает первообразные, эта задача вообще чрезвычайно трудна. Далеко не каждый отличник-первокурсник сможет взять интеграл $\int\sqrt{x^6+x^2}dx$ - там решение на страницу.

Мораль: не ищите сложных путей!

Ну а график $y=\sqrt{\frac{x^6+x^2}{2}}$ находится все же под $y=x$. Это легко проверить, подставив, например, 0,5.

Да я уже понял, что тут можна было обойтись и без интегралов, ведь по сути Валера зделал тоже самое что и я, только вот я не додумался что вместо вычеслений площадей и сравнивания их,можно было просто сравнить нижние функции.В следующий раз буду внимательней=)
Зы:спасибо за такой замечательный сайт))
Данная задача изначально была опубликована на сайте без решения, и в ниже-(выше-)следующих комментариях вы можете посмотреть, как проходил процесс ее решения пользователями сайта.
неравенство Коши, ммм, круто-круто))