Если на рынке установится цена $P$, то максимальная прибыль, которую сможет получить совершенно конкурентная фирма "Трюк", будет равна
$\pi _{\max } (P) = 125P^2 + 2,25P - 2009$.
Определите минимальное значение средних издержек данной фирмы.
Максимальная прибыль и минимум средних издержек
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ поддерживает сайт с 2010 года
По вопросам сотрудничества — ile@iloveeconomics.ru
Политика обработки персональных данных
АНО «Ай Лав Экономикс»
Комментарии
Если знать теорему об огибающей, то и функцию издержек можно однозначно восстановить.
Нетрудно проверить, что при неотрицательной функции предельных издержек $MC(Q)=\max\{\frac{Q-2,25}{250};0\}$ и $FC=2009$ функция прибыли также будет ровно такой, какая дана в условии.
Замечу, что кривые предложения, выходящие из горизонтальной оси - частые гости в школьных олимпиадах и не должны вызывать смущения.
Почему же при составлении я, выбирая из разных линейных функций, не сделал функцию предложения выходящей из оси цен? Просто в этом случае функция прибыли будет задана кусочно, что показалось мне лишним нагромождением, отвлекающим от сути задания.
Описать все функции ТС, которым будет соответствовать приведенная выше функция максимальной прибыли, при условии, что:
вариант а) ТС является выпуклой неотрицательной функцией;
вариант б) ТС является неубывающей неотрицательной функцией;
вариант в) ТС является выпуклой неубывающей неотрицательной функцией.
Определите диапазон значений, которые могут принимать FC в каждом из описанных случаев.
Попробую без него)
Для удобства предположим, что функция общих издержек принадлежит классу C2.
а)Любая функция такая, что при $Q\in(0;2,25)$ $MC(Q) \leq 0$ и $MC(Q)$ не убывают, а при $Q\geq 2,25$ $MC(Q)=\frac{Q-2,25}{250}$.
б)Функция $MC(Q)=\max\{\frac{Q-2,25}{250};0\}$.
в)то же, что б)
При этом в первом случае $FC\geq 2009$, во втором и третьем - $FC=2009$.
А вообще в методических целях я бы выкинул оба термина из учебников, и говорил просто "по теореме об огибающей":)
$FC=-\pi_{\max}(0)$ следует с очевидностью из экономической логики.
Какова максимально возможная прибыль фирмы, если цена равна 0?
Понятно, что если общие издержки не убывают, то при нулевой цене фирме не будет выгодно увеличивать выпуск сверх нуля: выручки она точно не получит, но, вероятно, понесет дополнительные положительные издержки. Поэтому $\pi_{\max}(0)=\pi(0)=-FC$.
это то же самое для дифференцируемой функции
Запишем, что из себя представляет функция максимальной прибыли от цены.
Profite_max = P* Q( P ) - TC(Q( P ))
Как это выходит? У нас есть некое TC(Q), мы находим MC(Q) и приравниваем к параметру Р (так как Р=МС в оптимуме). Таким образом мы получаем функцию P(Q) и находим соответствующую ей функцию Q( P ), которая показывает, какое количество нужно произвести для получения максимальной прибыли при цене Р.
Теперь возьмем производную этой функции по Р.
(Profite_max)'= P*Q'( P ) + Q( P ) - MC(Q( P ))*Q'( P )
Но в оптимуме (а эта функция как раз рассматривает оптимум фирмы) MC(Q) = P. Тогда первый и последние члены сокращаются и получается, что (Profite_max)'= Q( P ) или Q(MC).
Для данной задачи выходит, что Q(MC) =250MC +2.25
MC(Q) = 0.004Q - 0.009
Эта функция действительно является отрицательной при Q от 0 до 2.25. Значит при цене равной 0 фирма будет производить не 0, а 2.25, и будет нести убыток в размере меньшем, чем убыток при производстве 0, который численно равен FC (это может быть вызвано потоварной субсидией, к примеру, так что большого греха здесь нет).
Как же найти FC? Нам просто нужно найти прибыль при Q=0. А для этого надо найти такую цену, при которой Q=0 было бы оптимальным. МС(0)=-0.009. Значит при цене=-0.009 оптимальным количеством будет именно 0(в данном случае неважно, что цена не может быть отрицательной, это уже чистая математика). Объяснить это можно так: если мы за каждую проданную штучку будем сами платить 0.009, то в качестве субсидии мы будем получать меньшее количество денег, значит 0 - это оптимум.
прибыль от P=-0.009 равна -2009.010125
Надеюсь, что это правильно)))
Выведя равенство $\pi_{\max}'(P)=Q_s(P)$, ты, кстати, доказал в частном случае пресловутую теорему об огибаюшей!
Кстати, можешь объяснить, почему в данном случае твое равенство не совсем сработало (получилось несколько вариантов для кривой предложения, см. мой более ранний пост)?
Приравняв производную к 0 мы найдем такую цену, при которой выпуск равен 0. Подставляем эту цену в функцию прибыли - и находим FC.