Однажды Старый экономист, перебирая старые вырезки из журналов, нашел среди них нечто, что показалось ему странным. Чтобы разобраться, что же он всё-таки нашел, он решил обратиться к наивному Юному экономисту.
Предметом обсуждения был следующий график:
С обратной стороны было указано, что $R_i(Q)$ - рентабельность некоторой фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, и имеющей строго возрастающие по объему выпуска предельные издержки.В процессе обсуждения возник резонный вопрос: что же особенного в точке $M$?Вооружившись линейкой без делений Юный экономист, что-то нарисовав, прищурился и воскликнул : "Так ведь это же оптимум!"-"Из этого графика оптимум не найти, это я точно знаю" - сухо ответил Старый Экономист.
Предметом обсуждения был следующий график:
С обратной стороны было указано, что $R_i(Q)$ - рентабельность некоторой фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, и имеющей строго возрастающие по объему выпуска предельные издержки.В процессе обсуждения возник резонный вопрос: что же особенного в точке $M$?Вооружившись линейкой без делений Юный экономист, что-то нарисовав, прищурился и воскликнул : "Так ведь это же оптимум!"-"Из этого графика оптимум не найти, это я точно знаю" - сухо ответил Старый Экономист.
Кто же из экономистов прав и почему? Обоснуйте свою точку зрения.
Совет:
Внимательно прочитайте темы, к которым относится задача. Для достижения верного ответа практически необходимо сначала доказать некоторую лемму, связанную с функцией рентабельности в точке оптимума, а лишь затем найти графическое подтверждение своему предположению, аккуратно выполнив все построения.
+Бонус.Попробуйте придумать экономическую интерпретацию указанной рентабельности при нулевом выпуске.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Эластичность рентабельности в точке maxП Отрицательная величина , отсюда следует , что точка оптимума на графике рентабельности должна лежать на убывающем участке графика рентабельности. Т.е +1 в пользу Юного экономиста.
Кому не понятно почему так, предлагаю сначала доказать это утверждение.
Хотя это еще не лемма которую я хочу из вас выбить, она является более "фундаментальным" чтоли утверждением, более конкретным уж точно.
P.S( Про ДОД) Я припоминал, что там что-то с эластичность ,но с какой именно не помнил =)
Да и у тебя не возникло вопроса для чего единица обозначена, есть в этом какая-то романтика?
Единица, думаю для чего-то она дана, ну так как Юный пользовался линейкой без размерности то по единице он оринтировался))
Я сейчас думаю, как-то сюда связать максимальное значение рентабельности.
Теперь нужно сделать микрооткрытие об эластичности гладкой функции в некоторой точке.
Сурен, чего отчаялся, ты самое сложное уже сделал - почти распознал что и с чем нужно связать.
Попробуй выразить рентабельность через эластичности каких-либо функций.
Числовое значение эластичностей тут не столь важно, доказательство леммы будет визуальным, поэтому предлагаю перестать сидеть с линеечкой)
И оно будет верным, если ты его верно выдвинешь) другое дело как доказать именно такую форму леммы, которую я не совсем предполагал.
Затем все таки подумай как связать эластичность чего-то и рентабельность.
P.S Это должно быть верно. Я просто вычислениями всё делал, ведь в задаче не сказано как решать, поэтому мой ответ Юный экономист прав таким и остаётся. =)
Суть не в том чтобы ответить на вопрос а в том, как это доказать, если ты внимательно читал, то делений на линейке не было, поэтому твое решения я не могу засчитать.
Да и лемма то какая? она выглядит как формула
Как сама задача?
При составлении задачи я опирался на точные расчеты и функции, поэтому точку M я не графически нашел, а через банальный оптимум.
Но это лишь проверка решения. Само решение не требует измерений.
P/AC=Em. Саму эластичность можно найти с помощью тангеса наклона касательной ну и значений количества и рентабельности, она у меня 2.4 (по модулю) получилась. Вообщем я зашёл в тупик, чувствую, что уносит меня не в ту сторону. Вообще возможно по данному графику примерно АС нарисовать по двум точкам? Но думаю это в решение всё равно не входит, надо что-то новенькое искатью
Поэтому предлагаю углубиться в анализ эластичностей и самой рентабельности. Те числа, которые нашел Сурен могут навести вас на неплохую идею, дальше я постараюсь вас верно направить.
Григорий выше написал, что решение не требует измерений. Визуальное сходство - да, но сравнить два отрезка визуально очень сложно, другое дело, параллельность или перпендикулярность.
Но вы забыли главное - сначала лемма - потом подтверждение на графике, а вы хотите наоборот.
$R=E(TC)-1$
Поясню, что я имел в виду на примере
Чтобы решить ур-е,
$2Sin^3{x}+Cos^3{x}-Cos{x}=0$
Один из способов сделать его однородным, вопрос, как? Раздуйте уже из мухи слона!)Математики точно должны такой приемчик знать)
$$1*Cos(x)=(Cos^{2}x+Sin^2{x})Cosx = Cos^{3}x+ Sin^2{x}\cdot Cosx$$
тогда кое-что сократится и можно легко решить. В равенстве которое Леонид привел, нужно сделать похожий ход, чтобы прийти к тому, что можно изобразить.
лучше все равно не придумаю
Значит мы пришли к тому что $R=E(TC)-E(TR)$ последнее преобразование осталось, господа!)
Перепишу так $R=E(TC)+E(1/TR)$
Готово!
$ R=E(TC/TR)=E(R+1) $
Ну теперь приложите все свои силы, ощутите самый сок графического доказательства!!) Геометрический смысл эластичности, и не забывайте про единицу, она тут пригодится!
$-R=E(R+1) $
Для доказательства достаточно взять оба выражения по модулю
естественно
а не R+1
проведём отрезок из нуля в М ,тангенс угла между этим отрезком и осью выпуска нам и нужен
а второй угол не могу найти толком)
Намекаешь на то, что это сложно? Тот участок, что тебе пригодится ты наверняка сможешь нарисовать с достаточной точностью. А в принципе и всю кривую. Подобное встречалось в каком-то из всеросов или московских олимпиад - там кривую VC надо было "поднять", так что это законный шаг.
P.S. Смотри всерос 2002 года, последняя, самая баллоносная(25) задача - "на основании VC постройте TC", так там еще от аккуратности зависело то, что выйдет в итоге в других пунктах.
наверно следует,чтобы построить правую часть леммы)
Поэтому если в этом ключе соображать, то постарайся придумать жизненную ситуацию.Твой пример слишком абстрактный.
Но я в одном месте подглядел в рассуждения.
один лежит , а другой стоит ?
Может , перпендикуляр и не должен был туда попадать , у меня все равно лишь линейка при себе
Щас попробую еще как-нибудь покрутить , может , найду
Эластичность R+1 по Q в этой точке равна отношению (Q_m) к (A-Q_m) где A - абсцисса точки пересечения касательной к R+1 c осью Q
Предполагаю , что дальше так: Qm/B = 1+R0 A/C = 1+R0 ( где И отрезок параллельный Qm( который является частью отрезка исходящего из R0 и заключённого между перепендикуляром из точки M к оси Q и лучом из начала координат в точку M , а точка C это отрезок заключённый между тем же перпендикуляром и касательной в точке M . A- это отрезок который раве A-Qm - в твоём написании )) Нам надо доказать , что Qm/A=R0 Положим, что это так , тогда Qm/B -Qm/A=1 A/C -Qm/A=1 => Qm/B=A/C - а это верно. Может что-то так?
Схема простейшая, я не понимаю, что не получается. Эластичность касательной (это прямая) в точке равна отношению двух отрезков из оси Q, ну это же тривиально(!), то же самое мы всегда для спроса делаем.А ты какие-то эфемерные равенства выводишь)
Значит пусть это отношение равно a/b, геометрически оно просто выглядит на рисунке, по условию a/b = |R|, теперь займись правой частью равенства. И не забывай про единицу.))и не выходи из себя))
b- Q0 ,
a - Qmax-Q0 ,
P - внутренний угол между касательной к (R+1) и осью Q
$ |E|=tgP*\frac{R_0+1}{b}$ ; $R_0+1=b* tgP$ => $|E|= tgP*\frac{b*tgP}{b}=tg^2P$
Тут же нет ошибки ! , что дальше делать , просто ума не приложу
Т.е. действия такие смотришь и говоришь: вот эти прямые явно параллельны(визуально) значит выполняется лемма, значит это оптимум.
1)Rm и Qm
2)Rm+1 и Qmax (R+1) - касательной
Прямые параллельны {if a || b then txtbox1.txt="эврика"}
Теорема Фалеса
конец .{end if}
Это только визуально , хотя вроде то , что нам и нужно ; формальнее - построить перпендикуляр к какой-нибудь одной прямой и перпендикуляр к перпендикуляру через соответствующую точку на оси . должна пересечь другую соответствующую точку
Брависсимо, Дима)