Г-н Хухры-Мухры продолжает поиски нечистых наруку монополистов.
На этот раз он зашёл в гости к г-ну Стану. Г-н Стан, всё также производит свои орешки.
-Мне нужно знать какова выручка в точке максимальной прибыли - грозно воскликнул Хухры-Мухры
-Ничем не могу помочь - мило ответил Стан, хотя вот возьмите.
Г-н Стан дал Хухре-Мухре листочек А4 , на котором было нарисовано:
 оригинал.JPG
-Здесь всё точно нарисовано.
-Ладно и не с таким сталкивались - гордо сказал Хухры-Мухры.
По слухам, ему было известно, что спрос обладает постоянной эластичностью равной -2 и , что
$MC(Q)=B*Q^\frac{9}{5}$
$\frac{P_2}{Q_2}=6.75$
Помогите Хухре-Мухре справиться с задачей.

Комментарии

Ура!
Прямая p2 27 и правда касается спроса?
По графику видно, что да.)А что ты радуешься? :-)
Что продолжение вышло :)
путем логических рассуждений пришел к выводу, что а=4, q2=3... но доказать не могу)
А что такое A?
И каких рассуждений?
ой) действительно не написал) Q=$\frac{a}{p^2}$ в точке р2 имее что ((р2)^3)/a=6,75 прикинув, что p2 и а скорее всего натуральные числа я подобрал а=4 и р2=3
Нет.
сейчас забил на логику и посчитал нормально... получилось Q=$\frac{2916}{p^2}$ q2=4 и p2=27
Да. Но всё же , мне не очень нравится это решение.)
ну это еще не до конца) нужно еще посчитать выручку
Дело техники)
))
Ещё нужно чётко написать решение.)
выручка 35?
нет.Подумайте. не спишите.
я из индекса лернера нашел отношение р к МС и потом получил уравнение из которого можно посчитать b... но b получается страшное
это тебя пугает.
теперь 49,77 получилось)
Антон. Подумай.
там число хоть целое?
выручка 162?
Да. Пиши решение от начала до конца))
УРА!) щас напишу но только там львиная доля предположений)
Посмотрим)
Из графика видно, что прямая, соединяющая точки р=$p_2$ и Q=27 касается кривой спроса Q=$\frac{a}{p^2}$(т.к. эластичность спроса постоянна и равна 2) в некоторой точке $р_0$. Напишем уравнение этой касательной:
Q=$\frac{a}{(p_0)^2}$ -$\frac{2a}{(p_0)^3}$(p-p_0)=$\frac{3a}{(p_0)^2}$-$\frac{2ap}{(p_0)^3}$
Из графика видно, в каких точках данная прямая прямая пересекает оси. Получаем 2 уравнения:
$\frac{3a}{(p_0)^2}$=27
$\frac{2ap_2}{(p_0)^3}$=$\frac{3a}{(p_0)^2}$
также, по условию нам известно, что $\frac{p_2}{q_2}$=6,75, то есть $\frac{(p_2)^3}{a}$=6,75 если применить уравнение кривой спроса. Решая систему из этих 3 уравнений, находим, что а=2916. Значит Q=$\frac{2916}{p^2}$, MR=$\frac{27}{Q^0,5}$
Дальше я сделал предположение, помогающее найти Q в точке оптимума: т.к. Q^$\frac{9}{5}$ число мягко говоря некрасивое, то коэффициент b должен его "упрощать". Из равенства MR и MC получаем $Q^(23/10)$b=27 и тут уже подбором и учитывая, что Q<27 и Q>4 согласно графику, находим, что Q=9, отсюда находим Q=162.
Как я уже сказал основная часть решения строится на догадке, так что назвать это полным решением, которое можно применить на олимпиаде я не могу) Так что буду благодарен, если кто-нибудь выложет полностью обоснованное решение.
Да, это решение безусловно неполное. И оно не схоже с моим решением. Поэтому думаем братцы))Тем более Антон уже назвал ответ.)
похоже я начинаю ненавидеть этот латекс... никак не получается дробные степени писать)
Сурен, ты как-то графически решал?
Красивое решение оно почти всегда графическое))
ммм... мне кажется в том, что прямая через р2 и 27 касается кривой спроса именно в точке q=9 что то есть...
стопудово придется еще какую-нибудь касательную проводить
А глазом нельзя прикинуть , где в на графике P будет в два раза выше МС лежать ?
))Знал, что догадаешься. Продолжай..
из точки касания проводим перпендикуляр и замечаем ,что отрезки , на которые делит кривая МС перпендикуляр , равны , тогда цена в два раза больше предельных издержек , а это мы вывели из уравнения оптимума или индекса лернера
в точке касания кол-во равно 9 (выводить не буду, лень)) , находим функцию выручки и подставляем
Дальше...
все , она там равна 162 , если не ошибаюсь)
кто она? Ты только нашёл точку оптимума =9 А цену не нашёл, найди её))
ты хочешь , чтобы я написал целиком решение ???)))))
Сурен, я немного не втыкаю) проведя касательнуй p2 27 мы через геометрический смысл эластичности получаем точку q=9. Затем находим точку пересечения прямых, проведённых параллельно осям из точек пэ два и ку два, и находим, что точка пересечения принадлежит функции спроса, а потом можно заметить, что через эту точку проходит касательная к функции спроса, которая выходит из точки ку = 9(по крайней мере я распечатал рисунок, и у меня так получилось)) но когда начинаешь использовать опять геометрический смысл эластичности, чтобы найти пэ нулевое, пэ два и ку два, то мой ответ с вашим не сходится(( может всё таки вторая касательная вовсе не касательная?
Андраник эта касательная не в точке (p2,q2) каснётся Qd. По крайней мере такого не должно быть))
всё тогда вопрос снят) но у меня она прям чисто точно касается))
Хотя подожди, ты меня правильно понял, что я имею в виду не первую касательную, а вторую, которая выходит из точки ку =9 и проходит через точку пэ два ку два? то что первая не пройдёт через эту точку эт понятно) если хочешь, можешь сам попробовать построить)
Возможно не точность построения ( я замучался эти графики рисовать ), но это всё равно не нужно.
Дима в правильном направлении копает)
Ну ладно, присоединюсь к нему, будем вместе копать))
А зачем тебе эта касательная, она ведь ничего существенного не даст.
так гораздо проще можно вывести функицю спроса, найти а.
Я вроде все раскопал , в подробности не вдавался , изложил лишь суть
Ничего ты не раскопал, где цена в точке максимума прибыли?Как ты её нашёл?Всё должно быть подробно и чётко изложено.
ОК
цену найдём через геометрический смысл эластичности)) и она равна 18.
Вам известно только q=27 и точка оптимума = 9 . Напиши как ты нашёл цену?
напиши плиз чуть поподробнее как ты его используешь?
ну так мы можем сразу найти пэ два и ку два, так как у нас есть соотношение и функция спроса, получаем, что P2=27,
(Pопт/P2-Pопт)=2 => Pопт=18.
РЕШЕНИЕ:
1)обозначим $P_2$ за М (мне так удобнее)
подставим в отношение цены к кол-ву =6.75 и функцию спроса.
Отсюда следует , что M^3=6.75A

2)В точке касания йункции равны и их производные равны , отсюда выведем систему , решим ее , узнаем , что в точке касания P=18 , Q=9 , М=27.

3)Подставим М в уравнение выше и найдем А (54^2)

4)из функции спроса выведем функцию совокупной выручки.

5)Любым удобным способом (индексом Лернера или путем максимизацией прибыли)
найдем отношение цены к МС в точке оптимума , оно равно 2)

6)Видим , что данному условию на графике удовлетворяет лишь одна точка , которая лежит в середине перпендикуляра на ось Q , опущенного из точки касания.

7)про эту точку мы все знаем , в ней Q=9 , подставим в функцию совокупной выручки и получим ответ

Я думал ты всё графически решишь) А ты только доказал, что Q=9 оптимум)Ок, я обязан принять решение. Но здесь есть ещё одно решение, оно только графическое. Причём оно настолько графическое, что задачу можно решить устно, без калькулятора и приравниванием производных) Подумайте как.
Сурен , если ты обратил внимание , то у тебя числа на осях расставлены непропорционально , поэтому отрезки тут вряд ли можно сравнивать ;я бы аналитическое решение с одним сравнением отрезков не считал бы верным , не говоря уже про чисто графическое
какая разница как числа стоят)) Я ведь единичный отрезок не задавал. Просто я не овладел программой посторитель графиков, поэтому мне не удаётся всё сделать корректно) Но графики построены точно, поэтому отрезки , которые ты сравниваешь на самом деле равны.
можешь попробовать построить в программе графики , потом нажми
CTRL+PrintScreen , вставь картинку в Paint или фото*оп, и там подправь , что тебе надо)
Я так и делал, там проблема в другом.)
в чем же ?
не нравятся мне все таки графические решения) тут все наглазок) как в школе на алгебре сказали, что график не является решением, так я и решаю аналитически)
Ты решал задачу Тимура, Геометрия Рентабельности http://iloveeconomics.ru/zadachi/z436 ?Думаю здесь тебе алгебра не поможет))
после того как я просмотрел коменты к этой задаче я себя стал каким-то неполноценным чувствовать... там прям какой-то высший пилотаж если честно... и кстати раньше никогда не встречался с понятием рентабельности, оно на всеросе может быть?
вообще может
просто на мой взгляд это какая то сомнительная, чисто статистическая переменная... ни одной формулы, кроме леммы Тимура, с ней не встречал
Леммы уж точно не будет(только если на вступительный в магистратуру)), но я на всякий случай на твоем месте бы выучил
проблема в том, что в моем распоряжение только учебник нуреева, а в нем этого нет. хотя там же только 1 формула R=$\frac{Pr}{TC}$
вот ее и надо знать , я про нее говорил , а не про лемму)
по-моему очевидно , что условий не хватает без графика
пойду заплачу за интернет...:)по-моему вы зря сетуете на что-то
не плачь , Тимур)
Да, всё гладко, вроде бы.
А как вам такой ход: MR = MC; P=2MC => находим B, получаем MC=27/2?:)
что-то не то)Это MC при каком выпуске?
Чёрт! Без калькулятора я плох! ))))
МС=9 я имел ввиду.
Да при оптимальном выпуске всё)
Тоже решение, но вы все находите B, а , попробуйте решить геометрически.)
я знаю , но не скажу)
Ещё бы не знаешь, ты меня ,можно сказать, под дулом пистолета вынудил написать решение)))
Находим Q, при котором 2MC=P. Проводим прямую, параллельную p2 27 через эту точку. Находим MC в этой точке.... =)
как?)
Параллельно сдвигая спрос сравним отрезок на который мы сдвинули спрос с p2 или 27. Так - же по расстоянию отрезками.
Это не оригинальное решение)Я не думал сдвигать спрос :-)
Предлагаю ещё один способ решения.
1) Проводим касательную, через геометрический смысл эластичности находим Q=9.
2) Пусть точка K имеет координаты (9;P1), тогда должно выполняться
P1/(P2-P1)=2, получаем, что P1=P2/1.5, зная, что P2/Q2=6.75, получим, что P1/Q2=4.5.
3) Опять же замечаем,что ку равное девяти является точкой оптимума, так как в ней цена в 2 раза больше предельных издержек.
4) Теперь можем составить два очень простых уравнения, подставив две точки, (перед этим всё выразив через P1 и a) и сразу найдя P1=18, даже не находя а).
Ок. Но это не геометрическое решение, а я жду геометрического.)

Если бы я написал в условии, что Хухры-Мухры не знает алгебру, но знает геометрию, что бы вы делали?))

прошли бы экспресс курс по алгебре))
В смысле он бы прошёл, а не мы)
А если из 27 провести перпендикуляр до пересечения со спросом, а из точки пересечения - горизонтальную прямую влево, эта прямая пройдет через ту самую точку (где Р=2МС)?
нет