На некотором рынке в несколько периодов менялся спрос, а предложение оставалось неизменным. Все эти кривые были линейны.
Рассмотрим на оси P 3 различные точки: P1, P2, P3, и на оси Q 3 различные точки: Q1, Q2, Q3.
Будем описывать кривые спроса парой (Pi, Qj) для i!=j - такой паре будет соответствовать кривая спроса, пересекающая ось P в Pi, а ось Q в Qj.
Пусть в первый период спрос описывался как (P1, Q2), во второй период - как (P2, Q1).
Спрос в третий период описывался как (P1, Q3), в четвертый период - как (P3, Q1).
Аналогично спрос в пятый период (P2, Q3), в шестой - (P3, Q2).
Известно, что в первый и второй период цена, установившаяся на рынке, была одинаковой.
Также в третий и четвертый период равновесное количество было одним и тем же.
Верно ли, что в пятый и шестой период равновесная цена будет одинаковой?
Рассмотрим на оси P 3 различные точки: P1, P2, P3, и на оси Q 3 различные точки: Q1, Q2, Q3.
Будем описывать кривые спроса парой (Pi, Qj) для i!=j - такой паре будет соответствовать кривая спроса, пересекающая ось P в Pi, а ось Q в Qj.
Пусть в первый период спрос описывался как (P1, Q2), во второй период - как (P2, Q1).
Спрос в третий период описывался как (P1, Q3), в четвертый период - как (P3, Q1).
Аналогично спрос в пятый период (P2, Q3), в шестой - (P3, Q2).
Известно, что в первый и второй период цена, установившаяся на рынке, была одинаковой.
Также в третий и четвертый период равновесное количество было одним и тем же.
Верно ли, что в пятый и шестой период равновесная цена будет одинаковой?
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Аналогично находим точку пересечения спросов в 3 и 4 периодах и в 5 и 6 периодах. $P^*_2 = \frac{P1*P3*(Q3 - Q1)}{P3*Q3 - P1*Q1}$, $Q^*_2 = \frac{Q1*Q3*(P3 - P1)}{P3*Q3 - P1*Q1}$. $P^*_3 = \frac{P3*P2*(Q2 - Q3)}{P2*Q2 - P3*Q3}$, $Q^*_3 = \frac{Q3*Q2*(P2 - P3)}{P2*Q2 - P3*Q3}$.
Точки $(P^*_1;Q^*_1)$, $(P^*_2;Q^*_2)$ и $(P^*_3;Q^*_3)$ являются точками пересечения спросов в соответствующих периодах. Первая и вторая точки лежат на графике предложения, по условию. Предложение - прямая функция. Если доказать, что все три точки лежат на одной прямой, то и все они будут лежать именно на прямой, являющей графиком спроса, спросы в 5 и 6 периоде будут пересекать предложение в одной и той же точке, следовательно, равновесные $P$ и $Q$ будут одинаковыми.
Осталось только доказать, что все точки лежат на одной прямой. Это можно сделать, доказав равенство:
$\frac{P^*_2 - P^*_1}{Q^*_2 - Q^*_1} = \frac{P^*_3 - P^*_2}{Q^*_3 - Q^*_2}$
Данное равенство доказывается путём раскрытия скобок. Перепечатывать весь ход решения на сайт слишком долго.
видимо, она действительно делается ручками