Путешествие Карлсона

Б) Предложение продавца варенья расширит множество доступных Карлсону наборов. Если он будет покупать меньше 10 баночек варенья, то бюджетное ограничение у него будет описываться прежней функцией Y=40-X, а дальше начинает действовать дисконтная карта продавца варенья – теперь одна баночка варенья будет стоить для Карлсона только 10 крон. Снижая объем покупки меда на 1 баночку, он теперь имеет возможность дополнительно купить 2 баночки варенья. И если Карлсон все деньги потратит на варенье, то сможет купить $10+\frac{800-10 \cdot 20}{10}=70$ баночек.
В общем виде бюджетное ограничение в данном случае можно записать следующим образом:
$$Y = \begin{cases}
70-2X, & при \ 0 \le X \le 30 \\
40-X, & при \ 30 \le X \le 40
\end{cases} $$
Множество доступных Карлсону наборов – это четырехугольник $A_1OBC$. Линия, соответствующая рациональному выбору Карлсона пересекает новую бюджетную линию при объемах покупки варенья больше 10, а значит, мы может получить оптимальный набор, приравняв соответствующие функции 70-2X=1,5X.
Оптимальное решение в данном случае будет – купить 20 баночек меда и 30 баночки варенья.
С таким запасом Карлсон может путешествовать уже 10 дней.

Б) Предложение продавца меда еще больше расширит множество доступных Карлсону наборов. Если он будет покупать меньше 25 баночек меда, его бюджетное ограничение будет описываться прежней функцией Y=70-2X. А при покупке 25 баночек меда (т.е. целой коробки), у него появляются дополнительные возможности, связанные с возможностью экономии. Экономия составит (70-0,26*20)=130 крон. На эти деньги дополнительно можно приобрести 13 баночек варенья, т.е. теперь при покупке 25 баночек меда Карлсон имеет возможность купить уже не 20, а 33 баночки варенья. Если же Карлсон захочет большее количество меда, то в дальнейшем ради дополнительной баночки меда ему придется снижать количество закупаемого варенья на 2 баночки. Такое положение дел будет продолжаться до тех пор, пока количество закупаемых баночек варенья не сократится до 10. При покупке менее 10 баночек варенья Карлсон остается без дисконтной карты и вынужден за каждую баночку варенья, как и за баночку меда, платить 20 крон. Однако из-за того, что он сэкономил 130 крон на покупке коробки с медом, он дополнительно может купить 130/20=6,5 баночек меда. (Нецелое количество баночек – это, конечно, не очень хорошо, но что делать – таковы оказались условия сделки). Итак, при условии расходования всех денег на мед, Карлсон потенциально может приобрести 46,5 баночек меда.
В общем виде бюджетное ограничение в данном случае можно записать следующим образом:
$$Y = \begin{cases}
70-2X, & при \ 0 \le X \le 25 \\
83-2X, & при 25 \ \le X \le 36,5\\
46,5-X, & при 36,5 \ \le X \le 46,5\\
\end{cases} $$
И такое бюджетное ограничение расширяет возможности использования наборов для Карлсона. Наиболее наглядно это можно увидеть на рисунке. Теперь множество доступных Карлсону наборов – это многоугольник $A_1OB_1C_1DF$. Следует обратить особое внимание на то, что множество доступных наборов расширилось не только за счет наборов, которые можно купить, но и за счет наборов, которые купить нельзя, но которые оказались доступны в силу того, что при покупке набора, соответствующего точке на плоскости с координатами (X,Y), потребителю оказываются доступны наборы с координатами (x,y), где $x \le X$ и $y \le Y$. А это значит, что множество доступных наборов для Карлсона расширилось и на треугольник FDG. Теперь приобретая набор, соответствующей точке D (25 баночек меда и 33 баночки варенья), Карлсону становится доступен набор (22 баночки меда и 33 баночки варенья).
Итак, у Карлсона появилась возможность использовать набор - 22 баночки меда и 33 баночки варенья, и с таким запасом он может путешествовать на один день больше, т.е. путешествие может длиться 11 дней. При этом у него остаются 3 баночки меда, которые хотя и пригодятся Карлсону по возвращению из путешествия, но в рамках поставленной задачи не имеют для него никакой ценности. Вот если бы можно было обменять у Фрекен Бок одну баночку меда на 3 дополнительные баночки варенья… Тогда можно было бы путешествовать еще на один день больше.

Ответ на вопрос, сколько дней будет путешествовать Карлсон, также можно получить, если выполнить совсем несложные расчеты по сути не требующих никаких специальных знаний.
А) Без скидки расходы Карлсона на покупку «дневного» набора составляют:
$Q_{меда}P_{меда}+Q_{варенья}P_{варенья}$=2*20+3*20=100 крон. Значит, он сможет путешествовать 800/100=8 дней, купив (2·8)=16 баночек меда и (3·8)=24 баночки варенья.
Б) Получив предложение скидки от продавца варенья, Карлсон мог рассуждать примерно так: «И без скидки я могу путешествовать 8 дней, значит со скидкой наверное смогу купить продуктов больше и тогда удастся продлить путешествие. На 8 дней мне теперь потребуется всего (10*20)+(24-10)(20*0,05)+16*10=200+140+320=660 крон.
Экономия составила 800-660=140 крон.
Поскольку «дневной» набор теперь стоит (2*20+3*(20*0,5))=70 крон, то это значит, что сэкономленных денег хватит еще на 140/70=2 дня путешествия. Итак, теперь можно путешествовать 10 дней, купив (2·10)=20 баночек меда и (3·10)=30 баночки варенья».
В) Что дает оптовая скидка продавца меда? Покупать больше 20, но меньше 25 баночек меда Карлсону совсем не выгодно, так как придется сокращать объем покупки варенья, а значит и путешествовать 10 дней уже не получится. А вот если купить коробку меда (25 баночек), то с учетом оптовой скидки (26%) расходы на покупку меда составят (25·20·0,74)=370 крон. Посчитаем, сколько теперь можно купить варенья. Купив коробку меда и 10 баночек варенья (без скидки) Карлсон израсходует: 370+10*20=570 крон. На оставшиеся деньги (800-570)=230 крон Карлсон может купить 230/10=23 баночки варенья. Всего получается (10+23)=33 баночки варенья. Оценим, сколько дней с таким набором (25 баночек меда и 33 баночки варенья) сможет путешествовать Карлсон. Варенья ему хватает на 33/3=11 дней, а меда на 25/2=12,5 дней. Найдем минимум из этих двух чисел min{11 B 12,5}=11 дней Итак, Карлсон может продлить путешествие еще на один день. На 11 дней ему требуется 33 баночки варенья и 22 баночки меда. Еще осталось 3 баночки меда, их хватило бы еще на один день, но на покупку дополнительного варенья уже нет денег.